【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 P為正方形ABCD的對(duì)稱中心，A（0，3），B（1，0），直線OP交AB于N，DC于M，點(diǎn)H從原點(diǎn)O出發(fā)沿x軸的正半軸方向以1個(gè)單位每秒速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)R從O出發(fā)沿OM方向以個(gè)單位每秒速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t。求：（1）C的坐標(biāo)為 ▲ ；COABDNMPxyRH（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△ANO與△DMR相似？（3）△HCR面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；并求以A、B、C、R為頂點(diǎn)的四邊形是梯形時(shí)t的值及S的最大值。解：（1）Ｃ（４，１）；（2）當(dāng)∠MDR＝45０時(shí)，ｔ＝2,點(diǎn)Ｈ（2，0）當(dāng)∠DRM＝45０時(shí)，ｔ＝3,點(diǎn)Ｈ（3，0）（3）Ｓ＝－ｔ２＋２ｔ（０＜ｔ≤４）；（1分）Ｓ＝ｔ２－２ｔ（ｔ＞４）當(dāng)ＣＲ∥ＡＢ時(shí)，ｔ＝，Ｓ＝當(dāng)ＡＲ∥ＢＣ時(shí)，ｔ＝，Ｓ＝當(dāng)ＢＲ∥ＡＣ時(shí)，ｔ＝，Ｓ＝ ★★1（2010恩施）如圖11，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)， A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于C（0，3）點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn).（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．（2）連結(jié)PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POPC， 那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POPC為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形 ABPC的面積最大并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.解：（1）將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得解得：所以二次函數(shù)的表達(dá)式為： （2）存在點(diǎn)P，使四邊形POPC為菱形．設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，），PP交CO于E，若四邊形POPC是菱形，則有PC＝PO．連結(jié)PP 則PE⊥CO于E，∴OE=EC=∴=．∴= 解得=，=（不合題意，舍去）∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）（3）過點(diǎn)P作軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q，與OB交于點(diǎn)F，設(shè)P（x，），易得，直線BC的解析式為，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x－3）.=當(dāng)時(shí)，四邊形ABPC的面積最大此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，四邊形ABPC的面積． ★★1（2010廣安）如圖，直線y = x1與拋物線y=ax2+bx4都經(jīng)過點(diǎn)A(1, 0)、B(3, 4)．（1）求拋物線的解析式；（2）動(dòng)點(diǎn)P在線段AC上，過點(diǎn)P作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)E，求線段PE長(zhǎng)度的最大值；（3）當(dāng)線段PE的長(zhǎng)度取得最大值時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△PCQ是以PC為直角邊的直角三角形?若存在，請(qǐng)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在．請(qǐng)說明理由．解：（1）由題知，解得a=1, b= 3 ，∴拋物線解析式為y=x23x4 （2）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)(m, m1)，則E點(diǎn)坐標(biāo)(m, m23m4)∴線段PE的長(zhǎng)度為：m1 (m23m4)= m2+2m+3 = (m1)2+4∴由二次函數(shù)性質(zhì)知當(dāng)m=1時(shí)，函數(shù)有最大值4，所以線段PE長(zhǎng)度的最大值為4。 （3）由（2）知P(1, 2)①過P作PC的垂線與x軸交于F，與拋物線交于Q， 設(shè)AC與y軸交于G，則G(0, 1)，OG=1，又可知A(1, 0) 則OA=1，∴△OAG是等腰直角三角形，∴∠OAG=45o∴△PAF是等腰直角三角形，由對(duì)稱性知F(3, 0)設(shè)直線PF的解析式為y=k1x+b1，則，解之得k1=1, b1= 3，∴直線PF為y=x3由解得 ∴Q1(2+, 1) Q2(2, 1)②過點(diǎn)C作PC的垂線與x軸交于H，與拋物線交點(diǎn)為Q，由∠HAC=45o，知△ACH是等腰直角三角形，由對(duì)稱性知H坐標(biāo)為(7, 0)，設(shè)直線CH的解析式為y=k2x+b2，則，解之得k2=1, b2= 7，∴直線CH的解析式為y=x7解方程組得 當(dāng)Q(3, 4)時(shí)，Q與C重合，△PQC不存在，所以Q點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 6)綜上所述在拋物線上存在點(diǎn)Q1(2+, 1)、Q2(2, 1)、Q3(1, 6)使得△PCQ是以PC為直角邊的直角三角形?！铩?（2010廣州）如圖，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn)，弦AB垂直平分線段OP，點(diǎn)D是上任一點(diǎn)（與端點(diǎn)A、B不重合），DE⊥AB于點(diǎn)E，以點(diǎn)D為圓心、DE長(zhǎng)為半徑作⊙D，分別過點(diǎn)A、B作⊙D的切線，兩條切線相交于點(diǎn)C．（1）求弦AB的長(zhǎng)；（2）判斷∠ACB是否為定值，若是，求出∠ACB的大??；否則，請(qǐng)說明理由；（3）記△ABC的面積為S，若＝4，求△ABC的周長(zhǎng).CPDOBAE解：（1）連接OA，取OP與AB的交點(diǎn)為F，則有OA＝1．FCPDOBAEHG∵弦AB垂直平分線段OP，∴OF＝OP＝，AF＝BF．在Rt△OAF中，∵AF＝＝＝，∴AB＝2AF＝．（2）∠ACB是定值.理由：由（1）易知，∠AOB＝120176。，因?yàn)辄c(diǎn)D為△ABC的內(nèi)心，所以，連結(jié)AD、BD，則∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，因?yàn)椤螪AE＋∠DBA＝∠AOB＝60176。，所以∠CAB＋∠CBA＝120176。，所以∠ACB＝60176。；（3）記△ABC的周長(zhǎng)為l，取AC，BC與⊙D的切點(diǎn)分別為G，H，連接DG，DC，DH，則有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.∴＝AB?DE＋BC?DH＋AC?DG＝(AB＋BC＋AC) ?DE＝l?DE．∵＝4，∴＝4，∴l(xiāng)＝8DE.∵CG，CH是⊙D的切線，∴∠GCD＝∠ACB＝30176。，∴在Rt△CGD中，CG＝＝＝DE，∴CH＝CG＝DE．又由切線長(zhǎng)定理可知AG＝AE，BH＝BE，∴l(xiāng)＝AB＋BC＋AC＝2＋2DE＝8DE，解得DE＝，∴△ABC的周長(zhǎng)為．★★1（2010廣州）如圖所示，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（3，0），（0，1），點(diǎn)D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)B、C不重合），過點(diǎn)D作直線＝－＋交折線OAB于點(diǎn)E．（1）記△ODE的面積為S，求S與的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，若矩形OABC關(guān)于直線DE的對(duì)稱圖形為四邊形OA1B1C1，試探究OA1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化，若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請(qǐng)說明理由.CDBAEO解：（1）由題意得B（3，1）．若直線經(jīng)過點(diǎn)A（3，0）時(shí)，則b＝若直線經(jīng)過點(diǎn)B（3，1）時(shí)，則b＝若直線經(jīng)過點(diǎn)C（0，1）時(shí)，則b＝1①若直線與折線OAB的交點(diǎn)在OA上時(shí)，即1＜b≤，如圖25a，圖1 此時(shí)E（2b，0）∴S＝OECO＝2b1＝b②若直線與折線OAB的交點(diǎn)在BA上時(shí)，即＜b＜，如圖2圖2此時(shí)E（3，），D（2b－2，1）∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE )＝ 3－[(2b－1)1＋(5－2b)()＋3()]＝∴（2）如圖3，設(shè)O1A1與CB相交于點(diǎn)M，OA與C1B1相交于點(diǎn)N，則矩形OA1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積即為四邊形DNEM的面積。本題答案由無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校金楊建老師草制！圖3由題意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四邊形DNEM為平行四邊形根據(jù)軸對(duì)稱知，∠MED＝∠NED又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四邊形DNEM為菱形．過點(diǎn)D作DH⊥OA，垂足為H，由題易知，tan∠DEN＝，DH＝1，∴HE＝2，設(shè)菱形DNEM 的邊長(zhǎng)為a，則在Rt△DHM中，由勾股定理知：，∴∴S四邊形DNEM＝NEDH＝∴矩形OA1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積不發(fā)生變化，面積始終為．★★1（2010桂林）如圖，過A（8，0）、B（0，）兩點(diǎn)的直線與直線交于點(diǎn)C．平行于軸的直線從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿軸向右平移，到C點(diǎn)時(shí)停止；分別交線段BC、OC于點(diǎn)D、E，以DE為邊向左側(cè)作等邊△DEF，設(shè)△DEF與△BCO重疊部分的面積為S（平方單位），直線的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．（1）直接寫出C點(diǎn)坐標(biāo)和t的取值范圍； （2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)P，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、O、F為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）C（4，），的取值范圍是：0≤≤4 （2）∵D點(diǎn)的坐標(biāo)是（，），E的坐標(biāo)是（，）∴DE== ∴等邊△DEF的DE邊上的高為： ∴當(dāng)點(diǎn)F在BO邊上時(shí)：=，∴=3 ① 當(dāng)0≤3時(shí)，重疊部分為等腰梯形，可求梯形上底為： S=== 當(dāng)3≤≤4時(shí)，重疊部分為等邊三角形S= = （3）存在，P（，0） …說明：∵FO≥，F(xiàn)P≥，OP≤4∴以P，O，F(xiàn)以頂點(diǎn)的等腰三角形，腰只有可能是FO，F(xiàn)P,若FO=FP時(shí)，=2（123），=，∴P（，0） ★★1（2010杭州）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的解析式是y =+1，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(–4，0)，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)A，B在拋物線上，AB與y軸交于點(diǎn)M，已知點(diǎn)Q(x，y)在拋物線上，點(diǎn)P(t，0)在x軸上. (1) 寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)； (2) 當(dāng)四邊形CMQP是以MQ，PC為腰的梯形時(shí).① 求t關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍；② 當(dāng)梯形CMQP的兩底的長(zhǎng)度之比為1：2時(shí)，求t的值.（第24題）解：(1) ∵OABC是平行四邊形，∴AB∥OC，且AB = OC = 4，∵A，B在拋物線上，y軸是拋物線的對(duì)稱軸，∴ A，B的橫坐標(biāo)分別是2和– 2， 代入y =+1得， A(2, 2 )，B(– 2，2)，∴M (0，2)， (2) ① 過點(diǎn)Q作QH ^ x軸，設(shè)垂足為H， 則HQ = y ，HP = x–t ，由△HQP∽△OMC，得：, 即： t = x – 2y , ∵ Q(x,y) 在y = +1上， ∴ t = –+ x –2，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，梯形不存在，此時(shí)，t = – 4，解得x = 1177。，當(dāng)Q與B或A重合時(shí)，四邊形為平行四邊形，此時(shí)，x = 177。 2∴x的取值范圍是x 185。 1177。, 且x185。177。 2的所有實(shí)數(shù).② 分兩種情況討論： 1）當(dāng)CM PQ時(shí)，則點(diǎn)P在線段OC上，∵ CM∥PQ，CM = 2PQ ，∴點(diǎn)M縱坐標(biāo)為點(diǎn)Q縱坐標(biāo)的2倍，即2 = 2(+1)，解得x = 0 ，∴t = –+