【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 是等腰直角三角形．12．（2019浙江杭州市九年級(jí)其他模擬）如圖，在正方形中，點(diǎn)E在邊上（不與點(diǎn)B，C重合），交于點(diǎn)F，垂足為點(diǎn)G．（1）求證：．（2）連結(jié)，交于點(diǎn)H．①若，求的值．②設(shè)與的面積之差為，的面積為，求的最大值．【答案】（1）見解析；（2）①；②解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ABC=∠BCD=90176。，AB=BC，∴∠ABG+∠FBC=90176。，∵BF⊥AE，∴∠EAB+∠ABG=90176。，∴∠EAB=∠FBC，在△ABE和△BCF中，∠EAB=∠FBC，AB=BC，∠ABE=∠BCF，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF；（2）①∵BF⊥AE，∴∠AGB=∠AGH=90176。，又∵AG=AG，BG=HG，∴△AGB≌△AGH（SAS），∴AB=AH，∠ABG=∠AHG，設(shè)AB=a，則AC=a，AH=AB=BC=a，∴CH=AC=AH=（1）a，∵∠AHG=∠CHF，CF∥AB，∠ABG=∠AHG，∴∠CFH=∠CHF，∴CF=CH=（1）a，∴tan∠FBC=；②過(guò)H作MN∥BC，交AB于M，交CD于N，設(shè)AB=1，CF=k，∵CF∥AB，∴∠CFH=∠ABH，∠FCH=∠BAH，∴△CFH∽△ABH，∴，∵HM+HN=MN=BC=AB=1，∴HM=，HN=，∴S2=S△ABH=，S1=S△BCHS△CFH=S△BCF2S△CFH===∴∴的最大值為．13．（2020四川南充市九年級(jí)一模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），EG⊥BF于H，與直線CD交于G．（1）求證：EG＝BF；（2）若AF＝x，CG＝y(tǒng)，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）求DH的最小值．【答案】（1）證明見解析；（2）y＝﹣x；（3）2．（1）證明：如圖1，過(guò)G作GK⊥AB于K，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠DCB＝90176。，∴四邊形BCGK是矩形，∵AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90176。，∴KG＝BC＝AB，∠EKG＝90176。，∴∠1+∠2＝90176。，∵EG⊥BF，∴∠1+∠3＝90176。，∴∠3＝∠2，∴△KGE≌△ABF（AAS），∴EG＝BF；（2）解：如圖1，由（1）知，KE＝AF＝x，BK＝CG＝y(tǒng)，∴x+y＝BE＝，∴當(dāng)0＜x≤時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣x；如圖2，過(guò)G作GP⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于P，同理，四邊形BCGP是矩形，△PGE≌△ABF，∴PE＝AF＝x，BP＝CG＝y(tǒng)，∴x﹣y＝BE＝，∴當(dāng)＜x＜2時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣x；（3）解：如圖1，取BE的中點(diǎn)O，連接OH，OD，則DH≥OD﹣OH，∵EG⊥CF，∴OH＝BE＝OE，∵BE＝AE＝，∴OH＝OE＝，∴OA＝，∵AD＝AB＝2，∴OD2＝OA2+AD2＝6+46＝6，∴OD＝，∴DH≥﹣＝2，∴DH的最小值是2．14．（2021全國(guó)九年級(jí)專題練習(xí)）（發(fā)現(xiàn)問(wèn)題）（1）如圖， 已知和均為等邊三角形，在上，在上， 易得線段和的數(shù)量關(guān)系是 ．（2）將圖中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖的位置， 直線和直線交于點(diǎn)①判斷線段和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．②圖中的度數(shù)是 ．（3）（探究拓展）如圖3，若和均為等腰直角三角形，， 直線和直線交于點(diǎn)， 分別寫出的度數(shù)， 線段、之間的數(shù)量關(guān)系 ．【答案】（1）；（2）①，證明見解析；②；（3），（1）∵和均為等邊三角形∴CA=CB，CD=CE∴ACCD=BCCE，即AD=BE∴AD=BE；（2）①AD=BE證明：∵和均為等邊三角形∴CA=CB，CD=CE，∴∴∴AD=BE②∵∴設(shè)BC和AF交于點(diǎn)O，如圖2∵∴，即∴；（3）結(jié)論，證明：∵，AB=BC，DE=EC∴，∴∴，∴∵∴15．（2020武漢二中廣雅中學(xué)九年級(jí)二模）如圖，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90176。，D為BC邊上一點(diǎn)，連接AD．（1）如圖1，作BE⊥AD延長(zhǎng)線于E，連接CE，求證：∠AEC＝45176。；（2）如圖2，P為AD上一點(diǎn)，且∠BPD＝45176。，連接CP．①若AP＝2，求△APC的面積；②若AP＝2BP，直接寫出sin∠ACP的值為______．【答案】（1）證明見解析；（2）①△APC的面積＝1；②．證明：（1）∵等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90176。，∴AC＝BC，∠ABC＝∠CAB＝45176。，AB＝BC，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90176。＝∠ACB，∴點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)E，點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，∴∠AEC＝∠ABC＝45176。；（2）①如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD于F，∵∠BPD＝45176。，BE⊥AD，∴∠PBE＝45176。＝∠ABC，∴∠ABP＝∠CBE，∵∠AEB＝90176。＝∠ACB，∴點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)E，點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，∴∠BAE＝∠BCE，∠AEC＝∠ABC＝45176。，∴△APB∽△CEB，∴CE＝＝，∵CF⊥AD，∠AEC＝45176。，∴∠FCE＝∠CEF＝45176。，∴CF＝EF＝CE＝1，∴△APC的面積＝APCF＝1；②如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD于F，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC于H，設(shè)AP＝2a，則BP＝a，由①可知，CE＝＝a，CF＝EF＝a，∵BP＝a，∠BPE＝45176。，∠BEP＝90176。，∴BE＝PE＝a，∴AF＝AE﹣EF＝2a+a﹣a＝a+a，PF＝a﹣a，∴CP2＝CF2+PF2＝a2+（a﹣a）2＝a2﹣a2，AC2＝AF2+CF2＝a2+（a+a）2＝a2+a2，∵S△ACP＝ACPH＝APCF，∴（AC?PH）2＝（AP?CF）2，∴PH2＝a2，∵（sin∠ACP）2＝＝＝，∴sin∠ACP＝，故答案為：．16．（2020河南九年級(jí)一模）已知AC＝AB，AD＝AE，∠CAB＝∠DAE＝α （0176。＜α≤90176。）．（1）觀察猜想如圖1，當(dāng)α＝90176。時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段CD與BE的數(shù)量關(guān)系：　 　，位置關(guān)系：　 ??；（2）類比探究如圖2，已知α＝60176。，F(xiàn)，G，H，M分別是CE，CB，BD，DE的中點(diǎn)，寫出GM與FH的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）解決問(wèn)題如圖，已知：AB＝2，AD＝3，F(xiàn)，G，H，M分別是CE，CB，BD，DE的中點(diǎn)，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，直接寫出四邊形FGHM的面積S的范圍（用含α的三角函數(shù)式子表示）．【答案】（1）BE＝CD，BE⊥CD；（2）GM＝FH，GM⊥FH，證明見解析；（3）sinα≤S≤sinα．解：（1）如圖，設(shè)CD與AB交于點(diǎn)N，與BE交于點(diǎn)O，∵∠CAB＝∠DAE＝90176?！唷螪AC＝∠EAB，又∵AC＝AB，AD＝AE，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴CD＝BE，∠ACD＝∠ABE，∵∠ANC＝∠BNO，∴∠CAN＝∠BON＝90176。，∴BE⊥CD，故答案為：BE＝CD，BE⊥CD；（2）如圖，結(jié)論：GM＝FH．GM⊥FH，理由：連接CD，BE，CD交BE于O，連接FG，GH，HM，MF，∵∠CAB＝∠EAD＝60176。，∴∠CAD＝∠BAE，∵AC＝AB，AD＝AE，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴CD＝BE，∠ACD＝∠ABE，∴∠BOC＝∠CAB＝60176。，∵F，G，H，M分別是CE，CB，BD，DE的中點(diǎn)，∴GF∥BE，HM∥BE，F(xiàn)M∥CD，GH∥CD，GF＝HM＝BE，F(xiàn)M＝GH＝CD，∴∠FGH＝60176。，GF＝FM＝MH＝HG，∴四邊形FGHM是菱形，△GFH是等邊三角形，∴FH⊥GM，∠GFH＝60176。，∴tan∠GFH＝＝，∴GM＝FH；（3）如圖，連接CD，BE，CD交BE于J，交AB于O，過(guò)點(diǎn)F作FT⊥GH于T，BE交GH于K，∵∠CAB＝∠EAD＝α，∴∠CAD＝∠BAE，∵AC＝AB，AD＝AE，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴CD＝BE，∠ACD＝∠ABE，∵∠AOC＝∠BOJ，∴∠BJC＝∠CAB＝α，∵F，G，H，M分別是CE，CB，BD，DE的中點(diǎn)，∴GF∥BE，HM∥BE，F(xiàn)M∥CD，GH∥CD，GF＝HM＝BE，F(xiàn)M＝GH＝CD，∴GF＝FM＝MH＝HG，∴四邊形FGHM是菱形，∴∠FGH＝∠AKH＝∠CJB＝α，∴四邊形FGHM的面積＝GH?FG?sinα＝GH2?sinα，∵AC＝2，AD＝3，∴1≤CD≤5，∵GH＝CD，∴≤GH≤，∴sinα≤S≤sinα．17．（2020石家莊市第四十一中學(xué)九年級(jí)其他模擬）已知在矩形中，，與對(duì)角線相切．（1）如圖1，求的半徑；（2）如圖2，點(diǎn)是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，若，求的度數(shù)和弧的長(zhǎng)；（3）如圖，對(duì)角線與交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出度數(shù)的取值范圍． 【答案】（1）；（2）；；（3），．解：（1）設(shè)切點(diǎn)為，連結(jié)，與圓相切于點(diǎn)，，，由，即半徑為，（2）連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，，四邊形是矩形，在，，在中，，即，又，，（3）作PF⊥AC于F，當(dāng)點(diǎn)F在AC延長(zhǎng)線上時(shí)，在Rt△CPF中，sin∠PCF=,，當(dāng)點(diǎn)F在CE上時(shí)，在Rt△CPF中，sin∠PCF=，即，綜合得，．18．（2012北京海淀區(qū)中考模擬）已知，正方形中，繞