【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 1 )11y x xxy x x??? ? ? ? ? ??? ， ∴ 21yy 有最小值為 2 4 4? 。 當(dāng) 14x?? ，即 1x? 時(shí)取得該最小值。 實(shí)際應(yīng)用： 設(shè)該汽車(chē)平均每千米的運(yùn)輸成本為 y 元，則 20 . 0 0 1 1 . 6 3 6 0 3 6 0 3 6 0 0 0 00 . 0 0 1 1 . 6 0 . 0 0 1 ( ) 1 . 6xxy x xx x x??? ? ? ? ? ? ?， ∴ 當(dāng) 360000 600x ??(千米 )時(shí) , 該汽車(chē)平均每千米的運(yùn)輸成本 y 最低 ， 13 最低成本為 0 .0 0 1 2 3 6 0 0 0 0 1 .6 2 .8? ? ?元。 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)的應(yīng)用，幾何 不等式。 【分析】 直接運(yùn)用：可以直接套用題意所給的結(jié)論，即可得出結(jié)果： ∵ 函數(shù) ( 0 , 0)ay x a xx? ? ? ?,由上述結(jié)論可知：當(dāng) xa? 時(shí) ,該函數(shù)有最小值為2a ， ∴ 函數(shù) 1 ( 0)y x x??與函數(shù)2 1 ( 0)yxx??，則當(dāng) 11x??時(shí)， 12yy? 取得最小值為 2 1 2? 。 變形運(yùn)用：先得出 21yy 的表達(dá)式，然后將 1x? 看做一個(gè)整體，再運(yùn)用所給結(jié)論即可。 實(shí)際運(yùn)用：設(shè)該汽車(chē)平均每千米的運(yùn)輸成本為 y 元，則可表示出平均每千米的運(yùn)輸成本，利用所 給的結(jié)論即可得出答案。 7. （ 2020四川 內(nèi)江 12分） 如果方程 2 0x px q? ? ? 的兩個(gè)根是 12,xx，那么 1 2 1 2, . ,x x p x x q? ? ? ?請(qǐng)根據(jù)以上結(jié)論，解 決下列問(wèn)題： （ 1） 已知關(guān)于 x 的方程 2 0 , ( 0 ),x m x n n? ? ? ?求出一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分別是已知方程兩根的倒數(shù)； （ 2） 已知 a、 b 滿(mǎn)足 221 5 a 5 0 , 1 5 5 0a b b? ? ????,求 a bba? 的 值 ； （ 3） 已知 a、 b、 c 滿(mǎn)足 0 , 1 6a b c abc? ? ? ?求正數(shù) c 的最小值 。 【答案】 解：（ 1）設(shè)關(guān)于 x 的方程 2 0 , ( 0 )x m x n n? ? ? ?的兩根為 12,xx，則有： 1 2 1 2,.x x m x x n? ? ? ?，且由已知所求方程的兩根為1211,xx ∴ 121 2 1 211 xx mx x x x n? ?? ? ?，1 2 1 21 1 1 1x x x x n? ? ?。 ∴ 所求方程為 2 1 0mxxnn?? ? ?，即 2 1 0 ( 0 )nx mx n? ? ? ?。 （ 2） ∵ a、 b 滿(mǎn)足 221 5 5 0 , 1 5 5 0a a b b? ? ? ? ? ?， ∴ a、 b 是方程 2 15 5 0xx? ? ? 的兩根。 ∴ 15, 5a b ab? ? ? ? 。 14 ∴ ? ? ? ?222 2 22 152 2 4 75a b a b a ba b a bb a a b a b a b? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ??。 （ 3） ∵ 0 , 1 6a b c abc? ? ? ?且 0c? ∴ 16,a b c abc? ? ? ?。 ∴ a、 b 是一元二次方程 ? ? ? ?2 16 00x c x cc? ? ? ? ?的兩個(gè)根， 代簡(jiǎn)，得 ? ?22 1 6 0 0cx c x c? ? ? ? 。 又 ∵ 此方程必有實(shí)數(shù)根， ∴ 此方程的 0?? ，即 ? ?22 4 16 0cc? ? ? ?， ? ?3340cc??。 又 ∵ 0c? ∴ 3340c ??。 ∴ 4c? 。 ∴ 正數(shù) c 的最小值為 4。． 【考點(diǎn)】 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式，代數(shù)式化簡(jiǎn)。 【分析】 （ 1）設(shè)方程 2 0 , ( 0 )x m x n n? ? ? ?的兩根為 12,xx，得出1211 mx x n??? ，121 1 1x x n??，再根據(jù)這個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根分別是已知方程兩根的倒數(shù)，即可求出答案。 （ 2）根據(jù) a、 b 滿(mǎn)足 221 5 5 0 , 1 5 5 0a a b b? ? ? ? ? ?，得出 a、 b 是一元二次方程 2 15 5 0xx? ? ?的兩個(gè)根，由 15, 5a b ab? ? ? ?，即可求出 abba? 的值。 （ 3 ） 根 據(jù) 0 , 1 6a b c abc? ? ? ?， 得 出 16,a b c ab c? ? ? ?， a、 b 是 一 元 二 次 方 程22 16 0cx c x? ? ?的兩個(gè)根，再根據(jù) 0?? ，即可求出 c 的最小值。 8. （ 2020貴州銅仁 12分） 為了抓住梵凈山文化藝術(shù)節(jié)的商機(jī)，某商店決定購(gòu)進(jìn) A、 B兩種藝術(shù)節(jié)紀(jì)念品．若購(gòu)進(jìn) A種紀(jì)念品 8 件， B 種紀(jì)念品 3 件，需要 950 元；若購(gòu)進(jìn) A種紀(jì)念品 5 件， B 種紀(jì)念品 6 件，需要800 元． （ 1）求購(gòu)進(jìn) A、 B 兩種紀(jì)念品每件各需多少元？ （ 2）若該商店決定購(gòu)進(jìn)這兩種紀(jì)念品共 100 件，考慮市場(chǎng)需求和資金周轉(zhuǎn)，用于購(gòu)買(mǎi)這 100 件紀(jì)念品的資金不少于 7500 元，但不超過(guò) 7650 元，那么該商店共有幾種進(jìn) 貨方案？ （ 3）若銷(xiāo)售每件 A種紀(jì)念品可獲利潤(rùn) 20 元，每件 B種紀(jì)念品可獲利潤(rùn) 30元，在第（ 2）問(wèn)的各種進(jìn)貨方案中，哪一種方案獲利最大？最大利潤(rùn)是多少元？ 【答案】 解：（ 1）設(shè)該商店購(gòu)進(jìn)一件 A種紀(jì)念品需要 a 元，購(gòu)進(jìn)一件 B 種紀(jì)念品需要 b 元， 根據(jù)題意得方程組得： 8a 3b 9505a 6b 800???? ???， 解方程組得： a 100b 50??? ??。 15 ∴ 購(gòu)進(jìn)一件 A種紀(jì)念品需要 100 元，購(gòu)進(jìn)一件 B 種紀(jì)念品需要 50 元。 （ 2）設(shè)該商店購(gòu)進(jìn) A種紀(jì)念品 x個(gè)，則購(gòu)進(jìn) B 種紀(jì)念品有（ 100﹣ x）個(gè)， ∴ 1 0 0 x 5 0 (1 0 0 x ) 7 5 0 01 0 0 x 5 0 (1 0 0 x ) 7 6 5 0? ? ??? ? ? ??，解得： 50≤x≤53。 ∵ x 為正整數(shù)， ∴ x=50， 51， 52， 53。 ∴ 共有 4 種進(jìn)貨方案。 （ 3） ∵ B 種紀(jì)念品利潤(rùn)較高， ∴ B 種數(shù)量越多總利潤(rùn)越高。 ∴ 選擇購(gòu) A種 50 件， B 種 50 件。 總利潤(rùn) =5020+5030=2500（元）。 ∴ 當(dāng)購(gòu)進(jìn) A種紀(jì)念品 50 件， B種紀(jì)念品 50件時(shí)，可獲最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是 2500元。 【考點(diǎn)】 二元一次方程組和一元一次不等式組的應(yīng)用。 【分析】 （ 1）方程（組）的應(yīng)用解題關(guān)鍵是找出等量關(guān)系，列出方程求解。本題等量關(guān)系為： 購(gòu)進(jìn) A種紀(jì)念品 8 件＋ B 種紀(jì)念品 3 件 =950 元 購(gòu)進(jìn) A種紀(jì)念品 5 件＋ B 種紀(jì)念品 6 件 =800 元。 （ 2）不等式的應(yīng)用解題關(guān)鍵是找出不等量關(guān)系，列出不等式求解。本題不等量關(guān)系為： 購(gòu)買(mǎi)這 100 件紀(jì)念品的資金不少于 7500 元，不超過(guò) 7650 元。 （ 3）因?yàn)?B 種紀(jì)念品利潤(rùn)較高，所以選取 B 種數(shù)量多的方案即可求解。 9. （ 2020浙江湖 州 10 分） 為進(jìn)一步建設(shè)秀美、宜居的生態(tài)環(huán)境，某村欲購(gòu)買(mǎi)甲、乙、丙三種樹(shù)美化村莊，已知甲、乙丙三種樹(shù)的價(jià)格之比為 2： 2： 3，甲種樹(shù)每棵 200元，現(xiàn)計(jì)劃用 210000元資金，購(gòu)買(mǎi)這三 種樹(shù)共 1000 棵． （ 1）求乙、丙兩種樹(shù)每棵各多少元？ （ 2）若購(gòu)買(mǎi)甲種樹(shù)的棵樹(shù)是乙種樹(shù)的 2 倍，恰好用完計(jì)劃資金，求這三種樹(shù)各能購(gòu)買(mǎi)多少棵？ （ 3）若又增加了 10120 元的購(gòu)樹(shù)款，在購(gòu)買(mǎi)總棵樹(shù)不變的前提下，求丙種樹(shù)最多可以購(gòu)買(mǎi)多少棵？ 【答案】 解：（ 1）已知甲、乙丙三種樹(shù)的價(jià)格之比為 2： 2： 3，甲種樹(shù)每棵 200 元， ∴ 乙種樹(shù)每棵 200 元，丙種樹(shù)每棵 32 200=300（元）。 （ 2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)乙種樹(shù) x棵，則購(gòu)買(mǎi)甲種樹(shù) 2x棵，丙種樹(shù)（ 1000－ 3x）棵． 根據(jù)題意： 2002x＋ 200x＋ 300（ 1000－ 3x） =210000， 解得 x=30。 ∴ 2x=600， 1000－ 3x=100， 答：能購(gòu)買(mǎi)甲種樹(shù) 600 棵，乙種樹(shù) 300 棵，丙種樹(shù) 100 棵。 16 （ 3）設(shè)購(gòu)買(mǎi)丙種樹(shù) y 棵，則甲、乙兩種樹(shù)共（ 1000－ y）棵， 根據(jù)題意得： 200（ 1000－ y）＋ 300y≤210000＋ 10120， 解得： y≤。 ∵ y 為正整數(shù)， ∴ y 最大為 201。 答：丙種樹(shù)最多可以購(gòu)買(mǎi) 201 棵。 【考點(diǎn)】 一元一次方程和一元一次不等式的應(yīng)用。 【分析】 （ 1）利用已知甲、乙丙三 種樹(shù)的價(jià)格之比為 2： 2： 3，甲種樹(shù)每棵 200 元，即可求出乙、丙兩種樹(shù)每棵錢(qián)數(shù)。 （ 2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)乙種樹(shù) x 棵，則購(gòu)買(mǎi)甲種樹(shù) 2x 棵，丙種樹(shù)（ 10003x）棵，利用（ 1）中所求樹(shù)木價(jià)格以及現(xiàn)計(jì)劃用 210000 元資金購(gòu)買(mǎi)這三種樹(shù)共 1000 棵，得出等式方程，求出即可。 （ 3）設(shè)購(gòu)買(mǎi)丙種樹(shù) y 棵，則甲、乙兩種樹(shù)共（ 1000－ y）棵，根據(jù)題意列不等式，求出即可。 10. （ 2020 內(nèi)蒙古赤峰 14分） 閱讀材料： （ 1）對(duì)于任意兩個(gè)數(shù) ab、 的大小比較，有下面的方法： 當(dāng) a b 0??時(shí)，一定有 ab? ； 當(dāng) a b 0??時(shí)，一定有 ab? ； 當(dāng) a b 0??時(shí)，一定有 ab? ． 反過(guò)來(lái)也成立．因此，我們把這種比較兩個(gè)數(shù)大小的方法叫做 “求差法 ”． （ 2）對(duì)于比較兩個(gè)正數(shù) ab、 的大小時(shí)， 我們還可以用它們的平方進(jìn)行比較： ∵ 22a b (a b) (a b)? ? ? ?， a b 0?? ∴ （ 22ab? ）與（ ab? ）的符號(hào)相同 當(dāng) 22ab? ＞ 0 時(shí)， ab? ＞ 0，得 ab? 當(dāng) 22ab? =0 時(shí)， ab? =0，得 ab? 當(dāng) 22ab? ＜ 0 時(shí)， ab? ＜ 0，得 ab? 解決下列實(shí)際問(wèn)題： （ 1）課堂上，老師讓同學(xué)們制作幾種幾何體，張麗同學(xué)用了 3 張 A4 紙， 7 張 B5 紙；李明同學(xué)用了 2 張A4 紙， 8 張 B5 紙．設(shè)每張 A4 紙的面積為 x，每張 B5紙的面積為 y，且 x＞ y，張麗同學(xué) 的用紙總面積為W1，李明同學(xué)的用紙總面積為 W2．回答下列問(wèn)題： ① W1= （用 x、 y 的式子表示） 17 W2= （用 x、 y 的式子表示） ② 請(qǐng)你分析誰(shuí)用的紙面積最大． （ 2）如圖 1 所示，要在燃?xì)夤艿?l上修建一個(gè)泵站，分別向 A． B 兩鎮(zhèn)供氣，已知 A． B 到 l的距離分別是 3km、 4km（即 AC=3km， BE=4km）， AB=xkm，現(xiàn)設(shè)計(jì)兩種方案： 方案一：如圖 2 所示， AP⊥ l于點(diǎn) P，泵站修建在點(diǎn) P 處，該方案中管道長(zhǎng)度 a1=AB+AP． 方案二：如圖 3 所示，點(diǎn) A′與點(diǎn) A關(guān)于 l對(duì)稱(chēng)， A′B與 l相交于點(diǎn) P，泵站修建在點(diǎn) P 處，該方案中管道長(zhǎng)度 a2=AP+BP． ① 在方案一中， a1= km（用含 x的式子表示）； ② 在方案二中， a2= km（用含 x的式子表示）； ③ 請(qǐng)你分析要使鋪設(shè)的輸氣管道較短，應(yīng)選擇方案一還是方案二． 【答案】 解：（ 1） ① 3x+7y； 2x+8y。 ② W1﹣ W2=（ 3x+7y）﹣（ 2x+8y） =x﹣ y， ∵ x＞ y， ∴ x﹣ y＞ 0。 ∴ W1﹣ W2＞ 0。 ∴ W1＞ W2， 所以張麗同學(xué)用紙的總面積大。 （ 2） ① x+3。 ② 2x 48? 。 ③∵ ? ? ? ? 222 2 2 2 212a a = x + 3 x + 4 8 = x + 6 x + 9 x 4 8 = 6 x 3 9? ? ? ? ? ∴ 當(dāng) 2212aa? ＞ 0（即 a1﹣ a2＞ 0， a1＞ a2）時(shí)， 6x﹣ 39＞ 0，解得 x＞ ； 當(dāng) 2212aa? =0（即 a1﹣ a2=0， a1=a2）時(shí)， 6x﹣ 39=0，解得 x=； 當(dāng) 2212aa? ＜ 0（即 a1﹣ a2＜ 0， a1＜ a2）時(shí)， 6x﹣ 39＜ 0，解得 x＜ 。 綜上所述，當(dāng) x＞ 時(shí)，選擇方案二，輸氣管道較短， 當(dāng) x= 時(shí)，兩種方案一樣， 當(dāng) 0＜ x＜ 時(shí)，選擇方案一，輸氣管道較短。 18 【考點(diǎn)】 整式的混合運(yùn)算，軸對(duì)稱(chēng)（最短路線問(wèn)題）。 【分析】 （ 1） ① W1=3x+7y， W2=2x+8y。 （ 2） ① a1=AB+AP=x+3。 ② 過(guò) B 作 BM⊥ AC 于 M， 則 AM=4﹣ 3=1， 在 △ ABM 中，由勾股定理得： BM2=AB2﹣ 12=x2﹣ 1， 在 △ A′MB中，由勾股定理得： AP+BP=A′B= 2 2 2A M B M x 4 839。 ? ? ?。 ③ 根據(jù)閱讀材料的方法求解。 11.