【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 判定。 【分析】 （ 1）在 △ BDE 和 △ CDF 中， ∵∠ BDE=∠ CDF， ∠ BED=∠ CFD=90176。， ∴△ BDE∽△ CDF； （ 2）在 △ ABF 和 △ ACE 中， ∵∠ A=∠ A， ∠ AFB=∠ AEC=90176。， ∴△ ABF∽△ ACE。 14. （ 2020山東濟(jì)寧 3分） 如圖，在等邊三角形 ABC中， D 是 BC邊上的一點(diǎn)，延長(zhǎng) AD 至 E，使 AE=AC，∠ BAE 的平分線交 △ ABC 的高 BF 于點(diǎn) O，則 tan∠ AEO= ▲ ． 16 【答案】 33 。 【考點(diǎn)】 等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形 的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。 【分析】 ∵△ ABC 是等邊三角形， ∴∠ ABC=60176。， AB=BC。 ∵ BF⊥ AC， ∴∠ ABF=12 ∠ ABC=30176。 ∵ AB=AC， AE=AC， ∴ AB=AE。 ∵ AO 平分 ∠ BAE， ∴∠ BAO=∠ EAO。 ∵ 在 △ BAO 和 △ EAO 中， AB=AE， ∠ BAO=∠ EAO， AO=AO， ∴△ BAO≌△ EAO（ SAS）。 ∴∠ AEO=∠ ABO=30176。 ∴ tan∠ AEO=tan30176。= 33 。 15. （ 2020山東日照 4分） 如圖，過(guò) A、 C 、 D 三點(diǎn)的圓的圓心為 E，過(guò) B、 F、 E 三點(diǎn)的圓的圓心為 D，如果 ∠ A=63176。，那么 ∠ θ= ▲ ． [來(lái)︿源 【答案】 180。 【考點(diǎn)】 等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角定理。 【分析】 如圖，連接 CE， DE， ∵ 過(guò) A、 C 、 D 三 點(diǎn)的圓的圓心為 E，過(guò) B、 F、 E 三點(diǎn)的圓的圓心為 D， ∴ AE=CE=DE=DB。 ∴∠ A=∠ ACE， ∠ ECD=∠ CDE， ∠ DEB=∠ DBE=∠ θ。 ∵∠ A=63176。， ∴∠ AEC=1800－ 2630=540。 又 ∵∠ ECD=∠ CDE=2∠ θ， ∴∠ AEC=∠ ECD＋ ∠ DBE=3∠ θ，即 3∠ θ=540。 ∴∠ θ=180。 16. （ 2020山東棗莊 4分） 如圖所示， DE為 △ ABC 的中位線，點(diǎn) F 在 DE 上，且 ∠ AFB＝ 90176。，若 AB＝ 5，BC＝ 8，則 EF 的長(zhǎng)為 ▲ _． 17 【答案】 32 。 【考點(diǎn)】 三角形中位線的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)。 【分析】 由于 DE為 △ ABC 的中位線， BC＝ 8，從而 根據(jù)三角形中位線平行于第三邊并且等于第三邊一半的性質(zhì)，得 DE＝ 4；又由于 ∠ AFB＝ 90176。，點(diǎn) D 為 AB 的中點(diǎn)， AB＝ 5，從而 根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半的性質(zhì)，得 DF＝ 52 。因此 EF＝ DE－ DF＝ 4－ 52 ＝ 32 。 17. （ 2020 廣西來(lái)賓 3 分） 如圖，為測(cè)量旗桿 AB 的高度，在與 B 距離為 8 米的 C 處測(cè)得旗桿頂端 A 的仰角為 56176。，那么旗桿的高度約是 ▲ 米（結(jié)果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)： sin56176?！郑?cos56176?！?，tan56176。≈） 【答案】 12。 【考點(diǎn)】 解直角三角形的應(yīng)用（仰角仰角問(wèn)題），銳角三角函數(shù)定義。 【分析】 直接根據(jù)正切函數(shù)定義求解： AB=BCtan∠ ACB=8tan56176?！?≈12（米）。 18. （ 2020河北省 3分） 用 4個(gè)全等的正八邊形進(jìn)行拼接，使相等的兩個(gè)正八邊形有一條公共邊，圍成一圈后中間形成一個(gè)正方形，如圖 1，用 n 個(gè)全等的正六邊形按這種方式進(jìn)行拼接，如圖 2，若圍成一圈后中間形成一個(gè)正多邊形，則 n 的值為 ▲ 。 【答案】 6。 【考點(diǎn)】 正多邊形內(nèi)角和定理，周角定義。 【分析】 ∵ 正六邊形的每個(gè)內(nèi)角為 62 18 0 12 06?? ? ? ? ?， 18 ∴ 圍成一圈后中間形成的正多邊形的一個(gè)內(nèi)角 3 6 0 2 1 2 0 1 2 0? ?? ? ? ? ?，它也是正六邊形。 ∴ n=6。 19. （ 2020新疆區(qū) 5分） 如圖所示，分別以直角三角形的三邊為直徑作半圓，其中兩個(gè)半圓的面積1 25S=8?，S2=2π，則 S3是 ▲ ． 【答案】 98? 。 【考點(diǎn)】 勾股定理。 【分析】 如圖，由圓的面積公式得 211 1 c 25S = =2 2 2 8????????， 221 1 aS = =22 2 2????????， 解得， 22c =25 a =16， 。 根據(jù)勾股定理，得 2 2 2b =c a =9? 。 2 23 1 b 1 9S = = b =2 2 8 8? ? ???????。 20. （ 2020 黑龍江哈爾濱 3 分） 如圖。四邊形 ABCD 是矩形，點(diǎn) E 在線段 CB 的延長(zhǎng)線上，連接 DE 交AB 于點(diǎn) F， ∠ AED=2∠ CED，點(diǎn) G 是 DF 的中點(diǎn)，若 BE=1， AG=4，則 AB 的長(zhǎng)為 ▲ 【答案】 15 。 【考點(diǎn)】 矩形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理。 【分析】 ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴ AD∥ BC。 ∴∠ CED=∠ ADE。 ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴∠ BAD=900。 19 ∵ 點(diǎn) G 是 DF 的中點(diǎn)， ∴ AG=12 DF=DG。 ∴∠ CGE=2∠ ADE=2∠ CED。 又 ∵∠ AED=2∠ CED， ∴∠ CGE=∠ AED。 ∴ AE=AG。 又 ∵ BE=1， AG=4， ∴ AE=4。 ∴ 2 2 2 2A B A E B E 4 1 1 5? ? ? ? ?。 21. （ 2020黑龍江大慶 3分） 用八個(gè)同樣大小的小立方體粘成一個(gè) 大立方體如圖 1，得到的幾何體的三視圖如圖 2所示，若小明從八個(gè)小立方體中取走若干個(gè)，剩余小立方體保持原位置不動(dòng)，并使得到的新幾何體的三視圖仍是圖 2，則他取走的小立方體最多可以是 ▲ 個(gè)． 【答案】 2。 【考點(diǎn)】 由三視圖判斷幾何體，簡(jiǎn)單組合體的三視圖。 【分析】 由于從八個(gè)小立方體中取走若干個(gè)，剩余小立方體保持原位置不動(dòng)，并使得到的新幾 何體的三視圖都相同，由主視圖可知有 2 層 2列，由左視圖可知有 2 層 2 行，由俯視圖可知最少有 4個(gè)小立方體，所以下層 4個(gè)小立方體不變，同時(shí)上層每一橫行和每一豎列上都有一個(gè)小立方體。因此，取走的小立方體最多可以是 2 個(gè)，即上層一條對(duì)角線上的 2 個(gè)。 三、解答題 1. （ 2020 山東淄博 9 分） 在矩形 ABCD 中， BC=4， BG 與對(duì)角線 AC 垂直且分別交 AC， AD 及射線 CD于點(diǎn) E， F， G， AB=x． （ 1）當(dāng)點(diǎn) G 與點(diǎn) D 重合時(shí)，求 x的值； （ 2）當(dāng)點(diǎn) F 為 AD 中點(diǎn)時(shí)，求 x的值及 ∠ ECF 的正弦值． 20 【答案】 解：（ 1）當(dāng) 點(diǎn) G 與點(diǎn) D 重 合時(shí)，點(diǎn) F 也與點(diǎn) D 重合。 ∵ 矩形 ABCD 中， AC⊥ BD， ∴ 四邊形 ABCD 是正方形。 ∵ BC=4， ∴ x= AB= BC=4。 （ 2） ∵ 點(diǎn) F 為 AD 中點(diǎn)， BC=4， ∴ AF=2。 ∵ 矩形 ABCD 中， AD∥ BC， ∴△ AEF∽△ BEB。 ∴ A E F E A F 2 1C E B D C B 4 2? ? ? ?。 ∴ CE=2AE BD=2FE， 。 ∴ AC=3AE BF=3FE， 。 ∵ 矩形 ABCD 中， ∠ ABC=∠ BAF=900， ∴ 在 Rt△ ABC 和 Rt△ BAF 中由勾股定理得 2 2 2 2 2 2A C = A B + B C B F = A F + A B， 即 ? ? ? ?222 2 2 23 A E = x + 4 3 F E = 2 + x ， 。 兩式相加，得 ? ?2 2 29 A E + F E = 2 x + 2 0。 又 ∵ AC⊥ BG， ∴ 在 Rt△ ABE 中， 2 2 2 2AE +FE =AB =x。 ∴ 229x =2x +20 ，解得 2x= 357 （已舍去負(fù)值）。 ∴ 2 2 2 21 2 0 1 3 2 1 2 0 4 8 1 3 2 5 2 8A E = + 1 6 = F E = 4 + = C E = 4 A E = 4 =9 7 6 3 9 7 6 3 6 3 6 3? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ， 。 ∴ 在 Rt△ CEF 中由勾股定理得 2 2 2 4 8 5 2 8 5 7 6C F = F E + C E = +6 3 6 3 6 3?。 ∴ ? ? 22248C F 163s in E C F = = =57612EF48? 。 ∴ 3sin ECF= 6? 。 【考點(diǎn)】 矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義。 【分析】 （ 1）由點(diǎn) G 與點(diǎn) D 重合得出四邊形 ABCD 是正方形即可求得 x的值。 （ 2）由點(diǎn) F 為 AD 中點(diǎn)和矩形的性質(zhì)，得 △ AEF∽△ BEB，從而得 AC=3AE BF=3FE， 。在Rt△ ABC、 Rt△ BAF 和 Rt△ ABE 應(yīng)用勾股定理即可求得 x的值。在 Rt△ CEF 中應(yīng)用勾股定理求得 CF， 21 根據(jù)銳角三角函數(shù)定義即 可求得 ∠ ECF 的正弦值。 2. （ 2020山西省 12分） 問(wèn)題情境：將一副直角三角板（ Rt△ ABC 和 Rt△ DEF）按圖 1 所示的方式擺放，其中 ∠ ACB=90176。， CA=CB， ∠ FDE=90176。， O 是 AB 的中點(diǎn)，點(diǎn) D與點(diǎn) O重合， DF⊥ AC 于點(diǎn) M， DE⊥ BC于點(diǎn) N，試判斷線段 OM 與 ON 的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由． 探究展示：小宇同學(xué)展示出如下正確的解法： 解： OM=ON，證明如下： 連接 CO，則 CO 是 AB 邊上中線， ∵ CA=CB， ∴ CO 是 ∠ ACB 的角平分線．（依據(jù) 1） ∵ OM⊥ AC， ON⊥ BC， ∴ OM=ON．（依據(jù) 2） 反 思交流： （ 1）上述證明過(guò)程中的 “依據(jù) 1”和 “依據(jù) 2”分別是指： 依據(jù) 1： 依據(jù) 2： （ 2）你有與小宇不同的思考方法嗎？請(qǐng)寫出你的證明過(guò)程． 拓展延伸： （ 3）將圖 1 中的 Rt△ DEF 沿著射線 BA的方向平移至如圖 2 所示的位置，使點(diǎn) D 落在 BA的延長(zhǎng)線上，F(xiàn)D 的延長(zhǎng)線與 CA的延長(zhǎng)線垂直相交于點(diǎn) M， BC的延長(zhǎng)線與 DE 垂直相交于點(diǎn) N，連接 OM、 ON，試判斷線段 OM、 ON 的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并寫出證明過(guò)程． 【答案】 （ 1）解：等腰三角形三線合一（或等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合）；角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等。 （ 2）證明： ∵ CA=CB， ∴∠ A=∠ B。 ∵ O 是 AB 的中點(diǎn)， ∴ OA=OB。 ∵ DF⊥ AC， DE⊥ BC， ∴∠ AMO=∠ BNO=90176。 ∵ 在 △ OMA和 △ ONB 中， ∠ A=∠ B， OA=OB， ∠ AMO=∠ BNO， 22 ∴△ OMA≌△ ONB（ AAS） 。 ∴ OM=ON。 （ 3）解： OM=ON， OM⊥ ON。理由如下： 連接 CO，則 CO 是 AB 邊上的中線。 ∵∠ ACB=90176。， ∴ OC=12 AB=OB。 又 ∵ CA=CB， ∴∠ CAB=∠ B=45， ∠ 1=∠ 2=45176。， ∠ AOC=∠ BOC=90176。 ∴∠ 2=∠ B。 ∵ BN⊥ DE， ∴∠ BND=90176。 又 ∵∠ B=45176。， ∴∠ 3=45176。 ∴∠ 3=∠ B。 ∴ DN=NB。 ∵∠ ACB=90176。， ∴∠ NCM=90176。 又 ∵ BN⊥ DE， ∴∠ DNC=90176。 ∴ 四邊形 DMCN 是矩形。 ∴ DN=MC。 ∴ MC=NB。 ∴△ MOC≌△ NOB（ SAS）。 ∴ OM=ON，