【文章內(nèi)容簡介】 （ 3）連接 AD，過 D 點作 DG⊥ EF， DH⊥ BF，垂足分別為 G， H． ∵ AB=AC， D 是 BC 的中點， ∴ AD⊥ BC， BD=12 BC=6。 在 Rt△ ABD 中， AD2=AB2﹣ BD2，即 AD2=102﹣ 62， ∴ AD=8。 ∴ S△ ABC=12 ?BC?AD=12 128=48， S△ DEF=14 S△ ABC=14 48=12。 14 又 ∵ 12 ?AD?BD=12 ?AB?DH， ∴ A D B D 8 6 2 4DH A B 1 0 5??? ? ?。 ∵△ BDF∽△ DEF， ∴∠ DFB=∠ EFD。 ∵ DH⊥ BF， DG⊥ EF， ∴∠ DHF=∠ DGF。 又 ∵ DF=DF， ∴△ DHF≌△ DGF（ AAS）。 ∴ DH=DG=245 。 ∵ S△ DEF=12 EFDG=12 EF245 =12， ∴ EF=5。 【考點】 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)。 【分析】 （ 1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定得出 △ ADE∽△ ABD∽△ ACD∽△ DCE： ∵ AB=AC， D 為 BC 的中點， ∴ AD⊥ BC， ∠ B=∠ C， ∠ BAD=∠ CAD。 又 ∵∠ MDN=∠ B， ∴△ ADE∽ ABD。 同理可得： △ ADE∽△ ACD。 ∵∠ MDN=∠ C=∠ B， ∠ B+∠ BAD=90176。， ∠ ADE+∠ EDC=90176。， ∠ B=∠ MDN， ∴∠ BAD=∠ EDC。 ∵∠ B=∠ C， ∴△ ABD∽△ DCE。 ∴△ ADE∽△ DCE。 （ 2）利用已知首先求出 ∠ BFD=∠ CDE，即可得出 △ BDF∽△ CED，再利用相似三角形的性質(zhì)得出 BD DF=CE ED ，從而得出 △ BDF∽△ CED∽△ DEF。 （ 3）利用 △ DEF 的面積等于 △ ABC的面積的 14 ，求出 DH的長，從而利用 S△ DEF的值求出 EF即可。 10. （ 2020湖北天門、仙桃、潛江、江漢油田 12分） 如圖，拋物線 y=ax2+bx+2 交 x軸于 A（﹣ 1， 0），B（ 4， 0）兩點，交 y 軸于點 C，與過點 C 且平行于 x軸的直線交于另一點 D，點 P是拋物線上一動點． （ 1）求拋物線解析式及點 D 坐標； 15 （ 2）點 E 在 x 軸上，若以 A， E， D， P 為頂點的四邊形是平行四邊形，求此時點 P 的坐標； （ 3）過點 P作直線 CD 的垂線，垂足為 Q，若將 △ CPQ 沿 CP 翻折，點 Q 的對應點為 Q′．是否 存在點P，使 Q′恰好落在 x 軸上？若存在，求出此時點 P 的坐標；若不存在，說明理由． 【答案】 解：（ 1） ∵ 拋物線 y=ax2+bx+2 經(jīng)過 A（﹣ 1， 0）， B（ 4， 0）兩點， ∴ a b+2=016a+4b+2=0????，解得：1a=23b=2? ???????。 ∴ 拋物線解析式為 213y x x 222? ? ? ?。 當 y=2 時， 213x x 2 222? ? ? ?，解得： x1=3， x2=0（舍去）。 ∴ 點 D 坐標為（ 3， 2）。 （ 2） A， E 兩點都在 x 軸上， AE 有兩種可能： ① 當 AE 為一邊時， AE∥ PD， ∴ P1（ 0， 2）。 ② 當 AE 為對角線時，根據(jù)平行四邊形對頂點到另一條對角線距離相等，可知 P 點、D 點到直線 AE（即 x 軸）的距離相等， ∴ P 點的縱坐標為﹣ 2。 代入拋物線的解析式： 213x x 2 222? ? ? ? ?，解得：123+ 41 3 41xx22???。 ∴ P 點的坐標為（ 3+ 412 ，﹣ 2），（ 3 412? ，﹣ 2） 。 綜上所述： P1（ 0， 2）； P2（ 3+ 412 ，﹣ 2）； P3（ 3 412? ，﹣ 2）。 （ 3）存在滿足條件的點 P，顯然點 P 在直線 CD 下方。 設直線 PQ 交 x 軸于 F，點 P 的坐標為（ 213a a a 222? ? ? ， ）， ① 當 P 點在 y 軸右側(cè)時（如圖 1）， CQ=a， PQ= 221 3 1 32 a a 2 = a a2 2 2 2??? ? ? ? ?????。 又 ∵∠ CQ′O+∠ FQ′P=90176。， ∠ COQ′=∠ Q′FP=90176。， ∴∠ FQ′P=∠ OCQ′， ∴△ COQ′∽ △ Q′FP， ∴ QC QP =CO FQ39。39。39。， 即 21 3 a a a 22= 2 FQ39。? ， 解得 F Q′=a﹣ 3 16 ∴ OQ′=OF﹣ F Q′=a﹣ （ a﹣ 3） =3， 2 2 2 2C Q = C Q = C O + O Q = 3 + 2 = 1 339。39。 。 此時 a= 13 ，點 P 的坐標為（ 9+3 1313 2? ， ）。 ② 當 P 點在 y 軸左側(cè)時（如圖 2）此時 a＜ 0， 213a a 222? ? ? ＜ 0， CQ=﹣ a， PQ= 221 3 1 32 a a 2 = a a2 2 2 2??? ? ? ? ?????。 又 ∵∠ CQ′O+∠ FQ′P=90176。， ∠ CQ′O+∠ OCQ′=90176。， ∴∠ FQ′P=∠ OCQ′， ∠ COQ′=∠ Q′FP=90176。 ∴△ COQ′∽ △ Q′FP。 ∴ QC QP =CO FQ39。39。39。， 即 21 3 a a a 22= 2 FQ39。?? ， 解得 F Q′=3﹣ a。 ∴ OQ′=3， 22C Q = C Q = 3 + 2 = 1 339。 。 此時 a=﹣ 13 ，點 P 的坐標為（ 9 3 1313 2??? ， ）。 綜上所述，滿足條件的點 P 坐標為（ 9+3 1313 2? ， ），（ 9 3 1313 2??? ， ）。 【考點】 二次函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標與方程的關(guān)系，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理。 【分析】 （ 1）用待定系數(shù)法可得出拋物線的解析式，令 y=2 可得出點 D 的坐標。 （ 2）分兩種情況進行討論， ① 當 AE為一邊時， AE∥ PD， ② 當 AE為對角線時， 根據(jù)平行四邊形對頂點到另一條對角線距離相等，求解點 P 坐標。 （ 3）結(jié)合圖形可判斷出點 P在直線 CD 下方，設點 P的坐標為（ 213a a a 222? ? ? ， ），分情況討論， ① 當 P 點在 y 軸右側(cè)時， ② 當 P 點在 y 軸左側(cè)時，運用解直角三角形及相似三角形的性質(zhì)進行求解即可。 11. （ 2020 湖北武漢 12 分） 如圖 1，點 A 為拋物線 C1： 21y= x 22 ? 的頂點，點 B 的坐標為 (1， 0)， 直線 AB 交拋物線 C1 于另一點 C． (1)求點 C 的坐標； (2)如圖 1，平行于 y 軸的直 線 x＝ 3 交直線 AB 于點 D，交拋物線 C1于點 E，平行于 y 軸的直線 x 17 ＝ a 交直線 AB 于 F，交拋物線 C1于 G，若 FG： DE＝ 4∶ 3，求 a 的值； (3)如圖 2，將拋物線 C1向下平移 m(m＞ 0)個單位得到拋物線 C2，且拋物線 C2 的頂點為點 P，交 x軸 于點 M，交射線 BC 于點 N， NQ⊥ x 軸于點 Q，當 NP 平分 ∠ MNQ 時，求 m 的值． 圖 1 圖 2 【答案】 解：（ 1） ∵ 當 x=0 時， y＝－ 2。 ∴ A（ 0，－ 2）。 設直線 AB 的解析式為 y=kx+b ，則 b= 2k+b=0????，解得 k=2b=2?? ??。 ∴ 直線 AB 的解析式為 y=2x 2? 。 ∵ 點 C 是直線 AB 與拋物線 C1的交點， ∴2y=2x 21y= x 22???? ???，解得 12x =4 x =0y =6 y = 2??????? ，（舍 去）。 ∴ C（ 4， 6）。 （ 2） ∵ 直線 x＝ 3 交直線 AB 于點 D，交拋物線 C1 于點 E， ∴DE5y =4 y = 2， ∴ DE=DE 53y y =4 22? ? ?。 ∵ FG： DE＝ 4∶ 3， ∴ FG=2。 ∵ 直線 x＝ a 交直線 AB 于點 F，交拋物線 C1 于點 G， ∴ 2F 1y = 2 a 2 y = a 22G??。 18 ∴ FG= 2F 1y y = 2 a a = 22G??。 解得 1 2 3a = 2 a = 2 + 2 2 a = 2 2 2?， 。 （ 3）設直線 MN 交 y 軸于點 T，過點 N 作 NH⊥ y 軸于點 H。 設點 M 的坐標為（ t,0），拋物線 C2 的解析式為 21y= x 2 m2 ??。 ∴ 210= t 2 m2 ?? 。 ∴ 212 m= t2? ? ? 。 ∴ 2211y= x t22? 。 ∴ P（ 0， 21t2? ）。 ∵ 點 N 是直線 AB 與拋物線 C2的交點， ∴22y=2x 211y= x t22???? ???，解得 12x = 2 t x = 2 + ty = 2 2 t y = 2 + 2 t???????? ，（舍去）。 ∴ N（ 2 t 2 2t?? ， ）。 ∴ NQ=22t? ， MQ=22t? 。 ∴ NQ=MQ。 ∴∠ NMQ=450。 ∴△ MOT， △ NHT 都是等腰直角三角形。 ∴ MO=TO， HT=HN。 ∴ OT=－ t， ? ? 21N T 2 N H = 2 2 t P T = t + t2? ? ?。 ∵ PN 平分 ∠ MNQ， ∴ PT=NT。 ∴ ? ?21t+ t 2 2 t2? ? ?，解得 12t = 2 2 t =2? ， （舍去）。 ∴ ? ? 22112 m = t = 2 2 = 422? ? ? ? ? ?。 ∴ m=2 。 【考點】 二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關(guān)系，解二元二次方程組，平移的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，平行的性質(zhì)。 【分析】 （ 1）由點 A 在拋物線 C1 上求得點 A 的坐標，用待定系數(shù)法求得直線 AB 的解析式；聯(lián)立直線AB 和拋物線 C1 即可求得點 C 的坐標。 （ 2）由 FG： DE＝ 4∶ 3求得 FG=2。把點 F和點 G的縱坐標用含 a 的代數(shù)式表示，即可得等式 FG= 2F 1y y = 2 a a = 22G??，解之即可得 a 的值。 19 （ 3）設點 M 的坐標為（ t,0）和拋物線 C2的解析式 21y= x 2 m2 ??，求得 t 和 m的關(guān)系。求出點 P 和點 N 的坐標（用 t 的代數(shù)式表示），得出 △ MOT， △ NHT 都是等腰直角三角形的結(jié)論。從而由角平分線和平行的性質(zhì)得到 PT=NT，列式求解即可求得 t，從而根據(jù) t 和 m 的關(guān)系式求出 m 的值。 12. （ 2020湖北宜昌 11 分） 如圖，在直角梯形 ABCD 中， AD∥ BC， ∠ ABC=90176。．點 E 為底 AD 上一點，將 △ ABE 沿直 線 BE 折疊，點 A 落在梯形對角線 BD 上的 G 處， EG 的延長線交直線 BC 于點 F． （ 1）點 E 可以是 AD 的中點嗎？為什么？ （ 2）求證： △ ABG∽△ BFE； （ 3）設 AD=a， AB=b， BC=c ① 當四邊形 EFCD 為平行四邊形時，求 a， b， c 應滿足的關(guān)系； ② 在 ① 的條件下，當 b=2 時， a 的值是唯一的，求 ∠ C 的度數(shù)． 【答案】 解：（ 1）不可以。理由如下： 根據(jù)題意得： AE=GE， ∠ EGB=∠ EAB=90176。， ∴ Rt△ EGD 中， GE＜ ED。 ∴ AE＜ ED。 ∴ 點 E 不可以是 AD 的中點。 （ 2）證明： ∵ AD∥ BC， ∴∠ AEB=∠ EBF， ∵ 由折疊知 △ EAB≌△ EGB， ∴∠ AEB=∠ BEG。 ∴∠ EBF=∠ BEF。 ∴ FE=FB， ∴△ FEB 為等腰三角形。 ∵∠ ABG+∠ GBF=90176。， ∠ GBF+∠ EFB=