【正文】 ∴ 拋物線的解析式為： 211y x x 433? ? ?。即可證得 BD⊥ CF。 在 Rt△ ABM 中 ， A M 1t a n F C N t a n A B M A B 3? ? ? ? ?。 又 ∵∠ BMA=∠ CMG， ∴△ BMA∽△ CMG。＜ θ＜ 90176。 又 ∵ BA=BC， ∠ ABC=90176。 ∴∠ ABD＋ ∠ E’BA =12 ∠ ABC，即 ∠ E’BD=12 ∠ ABC。 17. （ 2020 江蘇宿遷 12 分） (1)如圖 1，在 △ ABC 中， BA=BC， D， E 是 AC 邊上的兩點(diǎn)，且滿足∠ DBE=12 ∠ ABC(0176。 綜上所述，當(dāng) 0t≤4 2 2? 時(shí)， S 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式為 28 ? ?? ?? ? ? ?221 t 0 t 22S 2 t 2 2 t 2 21 t + 2 + 2 2 t 6 2 2 t 4 2 22? ????? ? ???? ? ? ? ???。此時(shí) OE= t， OC=2。 ∴ G（ 2 ，－ 32）。 又 ∵ AD∥ BO， ∴ 四邊形 ABOD 是平行四邊形。 （ 2）首先根據(jù)平移條件表示出移動(dòng)后的函數(shù)解析式，從而用 m 表示出該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，將其 代入直線 AB、 AC 的解析式中，即可確定 P 在 △ ABC 內(nèi)時(shí) m 的取值范圍。 如圖，在 OA 上取 ON=OB=2，則 ∠ ONB=∠ ACB=45176。 15. （ 2020江蘇 南通 14分） 如圖，經(jīng)過點(diǎn) A(0，－ 4)的拋物線 y＝ 1 2 x2＋ bx＋ c 與 x 軸相交于點(diǎn) B(－ 0，0)和 C， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)． (1)求拋物線的解析式； (2)將拋物線 y＝ 1 2 x2＋ bx＋ c 向上平移 7 2 個(gè)單位長(zhǎng)度、再向左 平移 m(m＞ 0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新拋物 線 ．若 新拋物線的頂點(diǎn) P 在 △ ABC 內(nèi)，求 m 的取值范圍； (3)設(shè)點(diǎn) M 在 y 軸上， ∠ OMB＋ ∠ OAB＝ ∠ ACB，求 AM 的長(zhǎng)． 【答案】 解：（ 1）將 A（ 0，－ 4）、 B（－ 2， 0）代入拋物線 y= 1 2 x2+bx+c 中，得： 0 c 4 2 2b c 0? ???? ? ? ??，解得， b 1 c4???? ???。 （ 2） ∵ CD 平行 x 軸， P′（ 1， 3）在 CD 上， ∴ C、 D 兩點(diǎn)縱坐標(biāo)為 3。 （ 2） ① 如圖 4， AEB 與 CFD 所在圓外切于點(diǎn) P 時(shí)，過點(diǎn) O 作 EF⊥ AB 交 AEB 于點(diǎn) E，交 CFD于點(diǎn) F，根據(jù)垂徑定理及折疊，可求點(diǎn) O 到 AB． CD 的距離之和。 ② 如圖 5，當(dāng) AB 與 CD 不平行時(shí)，四邊形是 OMPN 平行四邊形。 ③ 如圖 3 所示，連接 OA， OB， ∵ OA=OB=AB=2， ∴△ AOB 為等邊三角形。 （ 3） ① 根據(jù)勾股定理求出 BD的長(zhǎng)度，再利用兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似得到 △ ABD和 △ DCB相似，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式計(jì)算即可得解。 ② 由 ① 和 b=2 得關(guān)于 a 的一元二次方程 a2﹣ ac+4=0， 由題意， a 的值是唯一的，即方程有兩相等的實(shí)數(shù)根， ∴△ =0，即 c2﹣ 16=0。 ∴△ ABG∽△ BFE。 ∵∠ ABG+∠ GBF=90176。．點(diǎn) E 為底 AD 上一點(diǎn)，將 △ ABE 沿直 線 BE 折疊，點(diǎn) A 落在梯形對(duì)角線 BD 上的 G 處， EG 的延長(zhǎng)線交直線 BC 于點(diǎn) F． （ 1）點(diǎn) E 可以是 AD 的中點(diǎn)嗎？為什么？ （ 2）求證： △ ABG∽△ BFE； （ 3）設(shè) AD=a， AB=b， BC=c ① 當(dāng)四邊形 EFCD 為平行四邊形時(shí)，求 a， b， c 應(yīng)滿足的關(guān)系； ② 在 ① 的條件下，當(dāng) b=2 時(shí)， a 的值是唯一的，求 ∠ C 的度數(shù)． 【答案】 解：（ 1）不可以。 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，解二元二次方程組，平移的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，平行的性質(zhì)。 ∴∠ NMQ=450。 ∴ 210= t 2 m2 ?? 。 ∴ C（ 4， 6）。 【分析】 （ 1）用待定系數(shù)法可得出拋物線的解析式，令 y=2 可得出點(diǎn) D 的坐標(biāo)。39。 此時(shí) a= 13 ，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ 9+3 1313 2? ， ）。 ∠ COQ′=∠ Q′FP=90176。 （ 2） A， E 兩點(diǎn)都在 x 軸上， AE 有兩種可能： ① 當(dāng) AE 為一邊時(shí)， AE∥ PD， ∴ P1（ 0， 2）。 ∵∠ B=∠ C， ∴△ ABD∽△ DCE。245 =12， ∴ EF=5。 ∵△ BDF∽△ DEF， ∴∠ DFB=∠ EFD。 ∴ BD DF=CE ED 。 （ 3）根據(jù)（ 1）可得出 AE=AB，從而在 Rt△ ADE 中，可判斷出 ∠ AED 為 30176。 ∴ AE=AB=4。 ∴∠ EFG=∠ EGF。由 OP∥ BC，利用兩直線平行同位角相等可得出 ∠ OBC=∠ AOP=60176。 又 ∵∠ OCD=90176。 又 ∵ OP∥ BC， ∴∠ OBC=∠ AOP=60176。 （ 3）證明： ∵ CD 為圓 O 的切線， ∴ OC⊥ CD。 7. （ 2020廣東珠海 9分） 已知， AB是 ⊙ O的直徑， 點(diǎn) P在弧 AB上（不含點(diǎn) A、 B），把 △ AOP 沿 OP對(duì)折，點(diǎn) A 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) C 恰好落在 ⊙ O 上． （ 1）當(dāng) P、 C 都在 AB 上方時(shí)（如圖 1），判斷 PO 與 BC 的位置關(guān)系（只回答結(jié)果）； （ 2）當(dāng) P 在 AB 上方而 C 在 AB 下方時(shí)（如圖 2），（ 1）中結(jié)論還成立嗎？證明你的結(jié)論； （ 3）當(dāng) P、 C都在 AB上方時(shí)（如圖 3），過 C 點(diǎn)作 CD⊥ 直線 AP 于 D，且 CD是 ⊙ O的切線，證明：AB=4PD． 10 【答案】 解：（ 1） PO 與 BC 的位置關(guān)系是 PO∥ BC。 ∵ EF 垂直平分 AD， AB⊥ AD， ∴ HF 是 △ ABD 的中位線。 在 △ ABG≌△ C′DG 中， ∵∠ BAG=∠ C， AB= C′D， ∠ ABG=∠ AD C′， ∴△ ABG≌△ C′DG（ ASA）。 ∴ EF=EH+HF= 7 25+3=66。 設(shè) AG=x，則 GB=8﹣ x， 在 Rt△ ABG 中， ∵ AB2+AG2=BG2，即 62+x2=（ 8﹣ x） 2，解得 x=74 。 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，解方程組，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。 4. （ 2020 福建南平 12 分） 在平面直角坐標(biāo)系中，矩形 OABC 如圖所示放置，點(diǎn) A 在 x 軸上，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ m， 1）（ m＞ 0），將此矩形繞 O 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。 ∴△ PC′E∽△ C′QA。 【分析】 （ Ⅰ ）根據(jù)題意得， ∠ OBP=90176。 ∴∠ BOP=∠ CPQ。 在 Rt△ OBP 中，由 ∠ BOP=30176。 【分析】 （ 1）由矩形和翻折對(duì)稱 的性質(zhì)，用 ASA 即可得到 △ AND≌△ CBM。 在 △ NHM 中， NH=3， HM=1， 由勾股定理，得 NM= 10 。 又 ∠ NFA=∠ ACD＋ ∠ CNF=∠ BAC＋ ∠ EMA=∠ MEC， ∴ FN∥ EM。＜ α＜ 60176。 （ 2）首先由已知得出 △ APD≌△ CPD，從而得出 ∠ PAD+∠ PQD=∠ PQC+∠ PQD=180176。 【考點(diǎn)】 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)。 ∴∠ ADC=180176。 （ 2）作線段 CQ 的延長(zhǎng)線交射線 BM 于點(diǎn) D，連接 PC， AD， ∵ AB=BC， M 是 AC 的中點(diǎn)， ∴ BM⊥ AC。 ∴ AD=CD， AP=PC， PD=PD。－ ∠ APQ=180176。 【分析】 （ 1）利用圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的判定得出 △ CMQ 是等邊三角形，即 可得出答案： ∵ BA=BC， ∠ BAC=60176。即可求出。 2. （ 2020 海南省 I11 分） 如圖（ 1），在矩形 ABCD 中，把 ∠ B、 ∠ D 分別翻折，使點(diǎn) B、 D 分別落在對(duì)角線 BC 上的點(diǎn) E、 F 處，折痕分別為 CM、 AN. （ 1）求證： △ AND≌△ CBM. （ 2）請(qǐng)連接 MF、 NE，證明四邊形 MFNE 是平行四邊形，四邊形 MFNE 是菱形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由？ （ 3） P、 Q 是矩形的邊 CD、 AB上的兩點(diǎn)，連結(jié) PQ、 CQ、 MN，如圖（ 2）所示，若 PQ=CQ， PQ∥ MN。 ∴ 四邊形 MFNE 是平行四邊形。 ∵ PQ∥ MN， DC∥ AB， ∴ 四邊形 NMQP 是平行四邊形。 4 （ 2）根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定即可證明。 BP=t，得 OP=2t。 又 ∵∠ OBP=∠ C=90176。 OB=6，在 Rt△ OBP 中，由 ∠ BOP=30176。 ∴ PE PCAC CQ????。得到矩形 OA′B′C′． （ 1）寫出點(diǎn) A、 A′、 C′的坐標(biāo)； （ 2）設(shè)過點(diǎn) A、 A′、 C′的拋物線解析式為 y=ax2+bx+c，求此拋物線的解析式；（ a、 b、 c 可用含 m 的式 6 子表示） （ 3）試探究：當(dāng) m的值改變時(shí)，點(diǎn) B 關(guān)于點(diǎn) O 的對(duì)稱點(diǎn) D是否可能落在（ 2）中的拋物線上？若能，求出此時(shí) m 的值． 【答案】 解：（ 1） ∵ 四邊形 ABCD 是矩形，點(diǎn) B的坐標(biāo)為（ m， 1）（ m＞ 0）， ∴ A（ m， 0）， C（ 0， 1）。 【分析】 （ 1）先根據(jù)四邊形 ABCD 是矩形，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ m， 1）（ m＞ 0），求出點(diǎn) A、 C 的坐標(biāo)，再根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出 A′、 C′的坐標(biāo)即可。 ∴ 7A G 74ta n A B G A B 6 2 4? ? ? ?。 8 【考點(diǎn)】 翻折變換（折疊問題），翻折變換的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，三角形中位線定理。 （ 2）解： ∵ 由（ 1）可知 △ ABG≌△ C′DG， ∴ GD=GB， ∴ AG+GB=AD。 ∴ HF=12 AB=12 6=3。 （ 2）（ 1）中的結(jié)論 PO∥ BC 成立。 又 ∵ AD⊥ CD， ∴ OC∥ AD。 又 ∵ OC=OB， ∴△ BC 為等邊三角形。 ∴∠ PCD=30176。再由 OB=OC，得到△ OBC為等邊三角形，可得出 ∠ COB 為 60176。 ∴ EF=EG=AG。 在 Rt△ ADE 中， AD=2， AE=4， ∴∠ AED=30176。在 Rt△ EFO 中求 出 FO，從而可得出 FG 的長(zhǎng)度。 ∵ BD=CD， ∴ CD DF=CE ED ，即 CD CE=DF ED 。 ∵ DH⊥ BF， DG⊥ EF， ∴∠ DHF=∠ DGF。 【考點(diǎn)】 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)。 ∴△ ADE∽△ DCE。 ② 當(dāng) AE 為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形對(duì)頂點(diǎn)到另一條對(duì)角線距離相等，可知 P 點(diǎn)、D 點(diǎn)到直線 AE（即 x 軸）的距離相等， ∴ P 點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣ 2。 ∴∠ FQ′P=∠ OCQ′， ∴△ COQ′∽ △ Q′FP， ∴ QC QP =CO FQ39。 ② 當(dāng) P 點(diǎn)在 y 軸左側(cè)時(shí)（如圖 2）此時(shí) a＜ 0， 213a a 222? ? ? ＜ 0， CQ=﹣ a， PQ= 221 3 1 32 a a 2 = a a2 2 2 2??? ? ? ? ?????。， 即 21 3 a a a 22= 2 FQ39。 （ 2）分兩種情況進(jìn)行討論， ① 當(dāng) AE為一邊時(shí)， AE∥ PD， ② 當(dāng) AE為對(duì)角線時(shí)， 根據(jù)平行四邊形對(duì)頂點(diǎn)到另一條對(duì)角線距離相等，求解點(diǎn) P 坐標(biāo)。 （ 2） ∵ 直線 x＝ 3 交直線 AB 于點(diǎn) D，交拋物線 C1 于點(diǎn) E， ∴DE5y =4 y = 2， ∴ DE=DE 53y y =4 22? ? ?。 ∴ 212 m= t2? ? ? 。 ∴△ MOT， △ NHT 都是等腰直角三角形。 【分析】 （ 1）由點(diǎn) A 在拋物線 C1 上求得點(diǎn) A 的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求得直線 AB 的解析式；聯(lián)立直線AB 和拋物線 C1 即可求得點(diǎn) C 的坐標(biāo)。理由如下： 根據(jù)題意得： AE=GE， ∠ EGB=∠ EAB=90176。 ∠ GBF+∠