【文章內(nèi)容簡介】 上；（3）四邊形是菱形，四邊形為平行四邊形，，又，，四邊形為平行四邊形，四邊形為平行四邊形，平行四邊形為菱形，．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式52】（2019湖南中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象過原點，與x軸的另一個交點為（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）在x軸上方作x軸的平行線，交二次函數(shù)圖象于A、B兩點，過A、B兩點分別作x軸的垂線，垂足分別為點D、點C．當(dāng)矩形ABCD為正方形時，求m的值；（3）在（2）的條件下，動點P從點A出發(fā)沿射線AB以每秒1個單位長度勻速運動，同時動點Q以相同的速度從點A出發(fā)沿線段AD勻速運動，到達(dá)點D時立即原速返回，當(dāng)動點Q返回到點A時，P、Q兩點同時停止運動，設(shè)運動時間為t秒（）．過點P向x軸作垂線，交拋物線于點E，交直線AC于點F，問：以A、E、F、Q四點為頂點構(gòu)成的四邊形能否是平行四邊形．若能，請求出t的值；若不能，請說明理由．【答案】（1）；（2）當(dāng)矩形ABCD為正方形時，m的值為4；（3）以A、E、F、Q四點為頂點構(gòu)成的四邊形能為平行四邊形，t的值為4或6.【解析】【分析】（1）根據(jù)點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；（2）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求出點A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出點C，D的坐標(biāo)，再利用正方形的性質(zhì)可得出關(guān)于m的方程，解之即可得出結(jié)論；（3）由（2）可得出點A，B，C，D的坐標(biāo)，根據(jù)點A，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征及一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出點E，F(xiàn)的坐標(biāo)，由且以A、E、F、Q四點為頂點的四邊形為平行四邊形可得出，分，三種情況找出AQ，EF的長，由可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之取其合適的值即可得出結(jié)論．【詳解】（1）將，代入，得：，解得，∴該二次函數(shù)的解析式為．（2）當(dāng)時，解得：，∴點a的坐標(biāo)為（，m），點b的坐標(biāo)為（，m），∴點d的坐標(biāo)為（，0），點c的坐標(biāo)為（，0）．∵矩形abcd為正方形，∴，解得：，（舍去），．∴當(dāng)矩形ABCD為正方形時，m的值為4．（3）以A、E、F、Q四點為頂點構(gòu)成的四邊形能為平行四邊形．由（2）可知：點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為，點C的坐標(biāo)為，點D的坐標(biāo)為．設(shè)直線AC的解析式為，將，代入，得，解得，∴直線ac的解析式為．當(dāng)時，∴點E的坐標(biāo)為（，），點F的坐標(biāo)為（，t+4）．∵以A、E、F、Q四點為頂點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形，且，∴，分三種情況考慮：①當(dāng)時，如圖1所示，EF=，∴，解得：（舍去），；②當(dāng)時，如圖2所示，EF=，∴，解得：（舍去），；，EF=，解得（舍去），（舍去）綜上所述，當(dāng)以A、E、F、Q四點為頂點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形時，t的值為4或6【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、正方形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2）利用正方形的性質(zhì)，找出關(guān)于m的方程；（3）分，三種情況，利用平行四邊形的性質(zhì)找出關(guān)于t的一元二次方程．【變式53】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點是坐標(biāo)原點，點坐標(biāo)為，、兩點關(guān)于直線對稱，反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點，點是直線上一動點.（1）點的坐標(biāo)為______；（2）若點是反比例函數(shù)圖象上一點，是否存在這樣的點，使得以、四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）若點是線段上一點（不與、重合），當(dāng)四邊形為菱形時，過點分別作直線和直線的垂線，垂足分別為、當(dāng)?shù)闹底钚r，求出點坐標(biāo).【答案】（1）（3，1）；（2），；（3）（2，2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)點（a，b）關(guān)于y=x對稱的點的坐標(biāo)為（b，a）直接寫出答案即可；（2）首先求得反比例函數(shù)的解析式，然后設(shè)P（m，m），分若PC為平行四邊形的邊和若PC為平行四邊形的對角線兩種情況分類討論即可確定點C的坐標(biāo)；（3）連接AQ，設(shè)AB與PO的交點為D，利用四邊形AOBP是菱形，得到S△AOP=S△AOQ+S△APQ，從而得到PO?AD=AO?QE+AP?QF，確定QE+QF=為定值，從而求解．【詳解】解：（1）B點的坐標(biāo)為（3，1）；（2）∵反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點A（1，3），∴k=13=3，∴反比例函數(shù)的解析式為，點P在直線y=x上，∴設(shè)P（m，m）①PC為平行四邊形的邊，∵點A的橫坐標(biāo)比點B的橫坐標(biāo)小2，點A的縱坐標(biāo)比點B的縱坐標(biāo)大2，∴點C在點P的下方，則點C的坐標(biāo)為（m+2，m2）如圖1，若點C在點P的上方，則點C的坐標(biāo)為（m2，m+2）如圖2，把C（m+2，m2）代入反比例函數(shù)的解析式得：，∵m＞0，∴，∴同理可得另一點，②若PC為平行四邊形的對角線，如圖3，∵A、B關(guān)于y=x對稱，∴OP⊥AB此時點C在直線y=x上，且為直線y=x與雙曲線的交點，由解得：，（舍去），∴，綜上所述，滿足條件的點C有三個，坐標(biāo)分別為：，；（3）連接AQ，設(shè)AB與PO的交點為D，如圖4，∵四邊形AOBP是菱形，∴AO=AP∵S△AOP=S△AOQ+S△APQ，∴PO?AD=AO?QE+AP?QF∴QE+QF=為定值，∴要使QE+QF+QB的值最小，只需QB的值最小，當(dāng)QB⊥PO時，QB最小，所以D點即為所求的點，∵A（1，3），B（3，1）∴D（2，2），∴當(dāng)QE+QF+QB的值最小時，Q點坐標(biāo)為（2，2）．【點睛】本題是對反比例函數(shù)的綜合知識的考查，熟練掌握反比例，四邊形知識及分類討論的數(shù)學(xué)思想是解決本題的關(guān)鍵，難度較大．【考點6】動點之線段面積問題【例6】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形如圖放置，將此平行四邊形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90176。得到平行四邊形．拋物線經(jīng)過點A、C、A′三點．（1）求A、A′、C三點的坐標(biāo)；（2）求平行四邊形和平行四邊形重疊部分的面積；（3）點M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，問點M在何處時，的面積最大？最大面積是多少？并寫出此時M的坐標(biāo)．【答案】（1）A（0,3）A′（3,0）C（－1,0）；（2）；（3）當(dāng)時,取到最大值為；M（）【解析】試題分析：（1）當(dāng)y=0時，求出x的值，得到點A′和點C的坐標(biāo)，當(dāng)x=0，求出y的值，得到點A的坐標(biāo)；根據(jù)點A、C的坐標(biāo)得出點B的坐標(biāo)，從而求出OB的長度和△AOB的面積，根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到∠ACO=∠OC′D，根據(jù)∠ACO=∠ABO得到∠ABO=∠OC′D，從而說明△C′OD∽△BOA，根據(jù)相似三角形得出△C′OD的面積；設(shè)點M的坐標(biāo)為（），連接OM，得到△AMA′的面積與m的函關(guān)系式，從而得出最大值和點M的坐標(biāo)．試題解析：（1）解：（1）當(dāng)時，解得∴C（1，0），A′（3，0）．當(dāng)x=0時，y=3．∴A（0，3）（2）∵C（1，0），A（0，3），∴B（1,3）∴∴△AOB的面積為又∵平行四邊形ABOC旋轉(zhuǎn)得平行四邊形A′B′OC′，∴∠ACO=∠OC′D又∵∠ACO=∠ABO，∴∠ABO=∠OC′D．又∵∠C′OD=∠AOB，∴△C′OD∽△BOA∴∴（3）設(shè)M點的坐標(biāo)為（），連接OM=當(dāng)時,取到最大值為∴M（）考點：二次函數(shù)的應(yīng)用、三角形相似、旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)．【變式61】（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，點為線段外一動點，且，當(dāng)點位于時，線段的長取得最大值，最大值為（用含的式子表示）；（2）應(yīng)用：如圖2，點為線段外一動點，以為邊作等邊，連接，求線段的最大值；（3）拓展：如圖3，線段，點為線段外一動點，且，求線段長的最大值及此時的面積．【答案】（1）CB的延長線上，a+b；（2）6；（3）最大值為3+，△PBM的面積為【分析】（1）根據(jù)點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60176。，推出△CAD≌△EAB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=BE，利用（1）中的結(jié)論即可得到結(jié)果；（3）將△APM繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90176。得到△AP＇N，連接BN，得到△APP＇是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到P＇A=PA=2，AN=AM，根據(jù)當(dāng)N在線段BA的延長線時，線段BN取得最大值，即可得到最大值為+3，過點P作PQ⊥AB的延長線于點Q，利用勾股定理求出PB的長，根據(jù)△PBM為等腰直角三角形，可求出面積.【詳解】解：（1）∵點A為線段BC外一動點，且BC=a，AB=b，∴當(dāng)點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，且最大值為BC+AB=a+b，故答案為：CB的延長線上，a+b；（2）如圖2中，以AC為邊向上作等邊△ACE，連接BE．∵△ABD與△ACE是等邊三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60176。，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，在△CAD與△EAB中，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴CD=BE；∴線段BE長的最大值=線段CD的最大值，∴由（1）知，當(dāng)線段BE的長取得最大值時，點E在BA的延長線上，∴最大值為=4+2=6．∴線段CD的最大值為6；（3）解：如圖3中，將△APM繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90176。得到△AP＇N，連接BN，PP′．∴△APM≌△AP＇N，∴AN=AM，AP=AP＇=2，∴線段AM長的最大值=線段AN長的最大值，∴當(dāng)N在線段AB的延長線時，線段AN取得最大值，最大值=AB+BN，∴∠PAP＇=90176。，∴△APP＇是等腰三角形，∴PP＇=，∵△BPM是等腰直角三角形，∴∠BPM=∠MAN=90176。，PM=PB=P＇N，∴∠AMP=∠ABP=∠N，∴PB∥P＇N，∴四邊形PBNP＇是平行四邊形，∴BN=PP＇，∴AN的最大值為：AB+BN=AB+PP＇=3+，∴AM的最大值為3+，過點P作PQ⊥AB的延長線于點Q，∵∠PAP′=90176。，∠P′AB=∠PP′A=45176。，∴∠PAQ=45176。，∴△PAQ為等腰直角三角形，∵AP=2，由勾股定理可得：∴AQ=PQ=，在△PBQ中，PQ2+BQ2=PB2，即，∴PB2=，∵△PBM為等腰直角三角形，此時△PBM的面積==.【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和判定等知識，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，掌握旋轉(zhuǎn)法添加輔助線．【變式62】如圖，矩形中，點是對角線上一動點（不與重合），連接，過點作，交射線于點，以線段為鄰邊作矩形，過點作。分別交于點。（1）求證：的值；（2）求的值；（3）求矩形的面積的最小值?！敬鸢浮浚?）見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)和同角的余角相等證明，從而求證三角形相似；（2）設(shè)，由相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式，從而求解；（3）當(dāng)時，矩形面積最小，從而求解.【詳解】（1）∵過點作且矩形中，AB∥DC又∵過點作∴∴，∴；（2）設(shè)，則，∵矩形中，AB∥DC∴△APG∽△CPH即∴，即∴∵∴；（3）如圖∵，∴當(dāng)時，矩形面積最小，此時，此時點與點重合，所以最小面積為【點睛】本題考查相似三角形綜合題、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理,解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用相似三角形的判定和性質(zhì)列出相應(yīng)的比例式從而解決問題．【變式62】已知：在四邊形中，．（）求四邊形的面積．（）點是線段上的動點，連接、求周長的最小值及此時的長．（）點是線段上的動點，、為邊上的點，連接、分別交、于點、記和重疊部分的面積為，求的最值．【答案】（）．（）．3．（）．【解析】試題分析：（1）如圖1，過A作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，得到四邊形AEFD是矩形，由矩形的想知道的EF=AD=6，BE=CF=3，根據(jù)勾股定理得到，于是得到結(jié)論；（2）如圖2，作點B關(guān)于直線AD的對稱點G，連接CG交AD于P，則BC+PB+PC=BC+PG+PC即為△BCP周長的最小值，根據(jù)勾股定理得到，于是得到△BCP周長的最小值為：4+12；根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到PH=BC=6，由勾股定理得到，于是得到結(jié)論．（3）過點作的垂線分別交、于、點，過點作的垂線分別交、于、點，過點作的垂線分別交、于、點，如圖所示，設(shè)，則．因為，所以∽，得；同理可得∽，∽，得：，所以，：（）如圖1，過作于，于．則四邊形是矩形．∴，．∴．∴．（）如圖2，作點關(guān)于直線的對稱點，連接交于，則．即為的最小周長．由（）知．在中，．∴的．∵，∴．∵，∴．（）過點作的垂線分別交、于、點，過點作的垂線分別交、于、點，過點作的垂線分別交、于、點，如圖3所示，設(shè)，則．因為，所以∽，所以，又，所以；同理可得∽，∽，所以，求得：，其中，所以，即．因此當(dāng)時，有最大值；當(dāng)或時，有最小值了．一、單選題1．如圖，拋物線與軸交于點，點，點是拋物線上的動點，若是以為底的等腰三角形，則的值為（）A．或B．或C．或D．或【答案】B【分析】當(dāng)△PCD是以CD為底的等腰三角形時,則P點在線段CD的垂直平分線上,由C、D坐標(biāo)可求得線段CD中點的坐標(biāo),從而可以知道P點的縱坐標(biāo),代入拋物線解析式可求得P點坐標(biāo)．【詳解】解：作中垂線交拋物線于，（在左側(cè)），交軸于點。連接P1D,P2D．易得．∴，．將代入中得，．∴，．∴，．故選B．2．如圖，在菱形中，是線段上一動點（點不與點重合），當(dāng)是等腰三角形時，的度數(shù)是（）A．B．C．或D．或【答案】C【分析】在菱形ABCD中，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到∠ABD=∠ABC=40176。，再分三種情況討論，當(dāng)AE=BE時，當(dāng)AB=BE時，當(dāng)時，從而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵在菱形ABCD中，，∵△ABE是等腰三角形，∴AE=BE，或AB=BE，或，當(dāng)AE