【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)。【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD垂直平分BC，∠CAD=∠BAD=30176。，AB=AC，則DB=CD，易得ACCD；由于∠C1AB1=60176。，得∠B1=30176。，則AB1=2AC1， 同理可得到=1=ABDBDB1=2DC1，易得AC11C1D==； AB12DB1（2）過B點(diǎn)作BG∥AC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得到∠G=∠CAD=∠BAD，則BG=AB，并且根據(jù)相似三角形的判定得△GBD∽△ACD，得到于是有ACCD=，BGDBACCD=，這實(shí)際是三角形的角平分線定理。 ABDB（3）AD為△ABC的內(nèi)角角平分線，由（2）的結(jié)論得到CDAC83===，又DBAB53CDAEAE53=，得到DE∥AC，根據(jù)相似三角形的判定得△DEF∽△ACF，即==，則有DBEBEB2553有DFEFAE5===。 FAFCAC88. （2012湖北荊門12分）如圖甲，四邊形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸1上，頂點(diǎn)在B點(diǎn)的拋物線交x軸于點(diǎn)A、D，交y軸于點(diǎn)E，連接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，3A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求證：CB是△ABE外接圓的切線；第 12 頁 共 57 頁2012年全國(guó)中考數(shù)學(xué)壓軸題分類解析匯編(十專題)（3）試探究坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)P，使以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（4）設(shè)△AOE沿x軸正方向平移t個(gè)單位長(zhǎng)度（0＜t≤3）時(shí)，△AOE與△ABE重疊部分的面積為s，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出t的取值范圍． 【答案】解：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），D（﹣1，0），∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣3）（x+1）。將E（0，3）代入上式，解得：a=﹣1?！鄴佄锞€的解析式為y=－（x﹣3）（x+1），即y=﹣x+2x+3。又∵y=－x+2x+3=－（x－1）+4，∴點(diǎn)B（1，4）。（2）證明：如圖1，過點(diǎn)B作BM⊥y于點(diǎn)M，則M（0，4）．在Rt△AOE中，OA=OE=3， ∴∠1=∠2=45176。在Rt△EMB中，EM=OM﹣OE=1=BM， ∴∠MEB=∠MBE=45176?！唷螧EA=180176。﹣∠1﹣∠MEB=90176。∴AB是△ABE外接圓的直徑。在Rt△ABE中，tan 208。BAE=222BE1==tan208。 CBE，∴∠BAE=∠CBE。 AE3在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90176。，∴∠CBE+∠3=90176?！唷螩BA=90176。，即CB⊥AB?！郈B是△ABE外接圓的切線。1（3）存在。點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0）或（9，0）或（0，﹣）。 3（4）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b． 第 13 頁 共 57 頁2012年全國(guó)中考數(shù)學(xué)壓軸題分類解析匯編(十專題)236。3k+b=0將A（3，0），B（1，4）代入，得237。，解238。k+b=4236。k=2得237。 b=6238?！嘀本€AB的解析式為y=﹣2x+6。過點(diǎn)E作射線EF∥x軸交AB于點(diǎn)F，當(dāng)y=3時(shí)，得x=33，∴F（，3）。 22情況一：如圖2，當(dāng)0＜t≤3時(shí)，設(shè)△AOE平移到△DNM的位置，MD交2AB于點(diǎn)H，MN交AE于點(diǎn)G。則ON=AD=t，過點(diǎn)H作LK⊥x軸于點(diǎn)K，交EF于點(diǎn)L． 由△AHD∽△FHM，得ADHKtHK=，即，解得HK=2t。 =3FMHL3HKt2∴S陰=SDMNDSDGNASDHAD 111322179。3179。3﹣（3﹣t）﹣t?2t=﹣t+3t。 22221情況二：如圖3，當(dāng)＜t≤3時(shí)，設(shè)△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB2=于點(diǎn)I，交AE于點(diǎn)V。 由△IQA∽△IPF，得AQIQ3tIQ=．即， =33IQFPIPt2解得IQ=2（3﹣t）。∴S陰=SDIQASDVQA =﹣t）=21121179。（3﹣t）179。2（3﹣t）﹣（3﹣t）=（3222129t﹣3t+。 223236。32 t+3t(0amp。lt。t163。 )239。239。22綜上所述：s=237。 193239。 t23t+ (amp。lt。t163。3) 239。22238。2【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，圓的切線的第 14 頁 共 57 頁2012年全國(guó)中考數(shù)學(xué)壓軸題分類解析匯編(十專題)判定，相似三角形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)。【分析】（1）已知A、D、E三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可確定拋物線的解析式，從而能得到頂點(diǎn)B的坐標(biāo)。（2）過B作BM⊥y軸于M，由A、B、E三點(diǎn)坐標(biāo)，可判斷出△BME、△AOE都為等腰直角三角形，易證得∠BEA=90176。，即△ABE是直角三角形，而AB是△ABE外接圓的直徑，因此只需證明AB與CB垂直即可．BE、AE長(zhǎng)易得，能求出tan∠BAE的值，結(jié)合tan∠CBE的值，可得到∠CBE=∠BAE，由此證得∠CBA=∠CBE+∠ABE=∠BAE+∠ABE=90176。，從而得證。1（3）在Rt△ABE中，∠AEB=90176。，tan∠BAE=。 3若以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，則△DEP必為直角三角形。①DE為斜邊時(shí)，P1在x軸上，此時(shí)P1與O重合。由D（﹣1，0）、E（0，3），得OD=OE=3，1即tan∠DEO==tan∠BAE， 3即∠DEO=∠BAE，滿足△DEO∽△BAE的條件。因此 O點(diǎn)是符合條件的P1點(diǎn)，坐標(biāo)為（0，0）。②DE為短直角邊時(shí)，P2在x軸上。若以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似∠DEP2=∠AEB=90176。sin∠DP2。 =10，OP2=DP2﹣OD=9。 而，則DP2=DE247。sin∠DP2即P2（9，0）。③DE為長(zhǎng)直角邊時(shí)，點(diǎn)P3在y軸上。若以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，則∠EDP3=∠AEB=90176。cos∠DEP3則EP3=DE247。cos∠DEP3。 1110。 ，OP3=EP3﹣OE=。即P3（0，﹣）3331綜上所述，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，﹣）。 3（4）過E作EF∥x軸交AB于F，當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)在EF之間時(shí)，△AOE與△ABE重疊部分是個(gè)五邊形；當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)右側(cè)時(shí)，△AOE與△ABE重疊部分是個(gè)三角形．按上述兩種情況按圖形之間的和差關(guān)系進(jìn)行求解。 第 15 頁 共 57 頁2012年全國(guó)中考數(shù)學(xué)壓軸題分類解析匯編(十專題)9. （2012湖北武漢10分）已知△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝6．(1)如圖1，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，在線段AC上取點(diǎn)N，使△AMN與△ABC相似，求線段MN的長(zhǎng)；(2)如圖2，是由100個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的10179。10的正方形網(wǎng)格，設(shè)頂點(diǎn)在這些小正方形頂點(diǎn)的三角形為格點(diǎn)三角形．①請(qǐng)你在所給的網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△A1B1C1與△ABC全等(畫出一個(gè)即可，不需證明)； ②試直接寫出所給的網(wǎng)格中與△ABC相似且面積最大的格點(diǎn)三角形的個(gè)數(shù)，并畫出其中一個(gè)(不需證明)． 【答案】解：（1）①如圖A，過點(diǎn)M作MN∥BC交AC于點(diǎn)N，則△AMN∽△ABC，∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，∴MN是△ABC 的中位線。∵BC＝6，∴MN=3。②如圖B，過點(diǎn)M作∠AMN=∠ACB交AC于點(diǎn)N， 則△AMN∽△ACB，∴MNAM=。 BCAC3MN=，解得MN=。 62∵BC=6，AC= ，綜上所述，線段MN的長(zhǎng)為3或（2）①如圖所示： 3。 2 第 16 頁 共 57 頁2012年全國(guó)中考數(shù)學(xué)壓軸題分類解析匯編(十專題)②每條對(duì)角線處可作4個(gè)三角形與原三角形相似，那么共有8個(gè)。 【考點(diǎn)】網(wǎng)格問題，作圖（相似變換），三角形中位線定理，相似三角形的性質(zhì)?！痉治觥浚?）作MN∥BC交AC于點(diǎn)N，利用三角形的中位線定理可得MN的長(zhǎng)；作∠AMN=∠B，利用相似可得MN的長(zhǎng)。（2）①A1B1＝為直角三角形斜邊的兩直角邊長(zhǎng)為2，4，A1C1＝為直角三角形斜邊的兩直角邊長(zhǎng)為4，8。以此，先作B1C1＝6，畫出△A1B1C1。②以所給網(wǎng)格的對(duì)角線作為原三角形中最長(zhǎng)的邊，可得每