【文章內(nèi)容簡介】 ⑶①∵AB=4，PQ=AB，∴PQ=3?！逷Q⊥軸，∴PQ∥軸，則由拋物線的對(duì)稱性可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為。∴P（，），∴F（0，）?！郌C=3－OF=3－?！逷Q垂直平分CE于點(diǎn)F，∴CE=2FC=?！唿c(diǎn)D在直線BC上，∴當(dāng)=1時(shí)，=－2，則D（1，－2）。過點(diǎn)D作DG⊥CE于點(diǎn)G，則DG=1，CG=1。∴GE=CE－CG=－1=。在Rt△EGD中，tan∠CED=②P1（1－，－2），P2（1－，－）?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)的性質(zhì)，解一元二次方程，待定系數(shù)法，點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，銳角三角函數(shù)。【分析】⑴ 已知了C點(diǎn)的坐標(biāo)和對(duì)稱軸即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式。 （2）由B、C兩點(diǎn)在直線上，B（3，0）、C（0，－3）兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足直線方程的關(guān)系，用待定系數(shù)法即可求出直線BC的函數(shù)表達(dá)式。 （3）①要求tan∠CED，即要把∠CED放到一個(gè)直角三角形中，故作輔助線：過點(diǎn)D作DG⊥CE于點(diǎn)G，這樣tan∠CED=，只要求出GD、EG即可。利用PQ=AB關(guān)系和拋物線的對(duì)稱性等即可求出。 ②以點(diǎn)C、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，情況一（如圖），CE為斜邊，因?yàn)镃D=DE1=，則由勾股定理，2（C E1）2= DE12，即C E1=2，又C的坐標(biāo)為（0，－3），所以E1的坐標(biāo)為（0，－1），從而P1的縱坐標(biāo)為，代入=2－2－3得2－2－3=－2，解得=1177。（舍去1＋）。所以P1的坐標(biāo)為（1－，－2）。 情況二（如圖），CE為直角邊，則 E2的坐標(biāo)為（0，－2），又C的坐標(biāo)為（0，－3），從而P2的縱坐標(biāo)為，代入=2－2－3得2－2－3=－，解得=1177。（舍去1＋）。所以 P2的坐標(biāo)為（1－，－）。 綜上所述，當(dāng)以點(diǎn)C、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1－，－2），（1－，－）。12.（遼寧大連12分）如圖，拋物線經(jīng)過A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)，對(duì)稱軸與拋物線相交于點(diǎn)P、與直線BC相交于點(diǎn)M，連接PB．⑴求該拋物線的解析式；⑵拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使△QMB與△PMB的面積相等，若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；⑶在第一象限、對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在一點(diǎn)R，使△RPM與△RMB的面積相等，若存在，直接寫出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】解：（1）∵拋物線經(jīng)過A（－1，0）、B（3，0），∴可設(shè)拋物線的解析式。 又∵拋物線經(jīng)過C（0，3），∴把（0，3）代入得， 解得。 ∴物線的解析式為，即。（2）存在。∵，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4）。設(shè)直線BC的解析式為，則，解得?！嘀本€BC的解析式為?！帱c(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2）。設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與X軸相交于點(diǎn)N，則MN=PN∴△NMB與△PMB的面積相等?！摺鱍MB與△PMB的面積相等，∴點(diǎn)Q在過點(diǎn)P且平行于BC的直線上或點(diǎn)N且平行于BC的直線上。① 設(shè)直線的解析式為，則∴。∴直線的解析式為。設(shè)與拋物線相交于點(diǎn)Q（），則，解得?！帱c(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（2，3）。②設(shè)直線的解析式為，則∴。∴直線的解析式為。設(shè)與拋物線相交于點(diǎn)Q（），則，解得?！帱c(diǎn)Q2的坐標(biāo)為（），點(diǎn)Q3的坐標(biāo)為（）。綜合①②，滿足條件的點(diǎn)Q共有三個(gè)，其坐標(biāo)分別為（2，3），（），（）。（3）存在點(diǎn)R的坐標(biāo)為（）。【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，三角形面積相等的條件?！痉治觥浚?）用待定系數(shù)法，由點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，即求出解析式。（2）根據(jù)同底等高的三角形面積相等的條件即可求解。（3）根據(jù)同底等高的三角形面積相等的條件，要使△RPM與△RMB的面積相等，只要求過點(diǎn)M平行于x軸的直線與拋物線在第一象限的交點(diǎn)。由于M（1，2），所以把代入求解即能得到直線與拋物線在第一象限的交點(diǎn)R的坐標(biāo)（）。13.（遼寧本溪14分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過原點(diǎn)O，點(diǎn)A（10，0）和點(diǎn)B（2，2），在線段OA上，點(diǎn)P從點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中保持AQ=2OP，當(dāng)P、Q重合時(shí)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)Q作軸的垂線，交直線AB于點(diǎn)M，延長QM到點(diǎn)D，使MD=MQ，以QD為對(duì)角線作正方形QCDE（正方形QCDE隨點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)）．（1）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)正方形QCDE的面積為S，P點(diǎn)坐標(biāo)（m，0）求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）過點(diǎn)P作軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)N，延長PN到點(diǎn)G，使NG=PN，以PG為對(duì)角線作正方形PFGH（正方形PFGH隨點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)），當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（2，0）時(shí)，如圖2，正方形PFGH的邊GP和正方形QCDE的邊EQ落在同一條直線上．①則此時(shí)兩個(gè)正方形中在直線AB下方的陰影部分面積的和是多少？②若點(diǎn)P繼續(xù)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，還存在兩個(gè)正方形分別有邊落在同一條直線上的情況，請(qǐng)直接寫出每種情況下點(diǎn)P的坐標(biāo)，不必說明理由．【答案】解：（1）∵拋物線過O(0，0)，A(10，0），∴設(shè)拋物線解析式為。將B(2，2）代入，得，解得?！鄴佄锞€解析式為。（2）設(shè)AB解析式為，將A（10，0），B（2，2）代入，得，解得?！郃B解析式為?！逷（m，0），∴OP=m，AQ=2m，OQ=10－2m?！喈?dāng)=10－2m時(shí)，QM=，∴QD=m?！咚倪呅蜵CDE是正方形，∴。（3）①由P（2，0），根據(jù)拋物線解析式可知N（2，2），由正方形的性質(zhì)得G（2，4），即PG=4。又當(dāng)GF和EQ落在同一條直線上時(shí)，△FGQ為等腰直角三角形?！郟Q=PG=4，OQ=OP+PQ=6，代入直線AB解析式得M（6，1），即QM=1，QD=2?！嚓幱安糠置娣e和=。②?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，解二元一次方程組，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。【分析】（1）拋物線與軸交于O、A兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的交點(diǎn)式，將B點(diǎn)坐標(biāo)代入，可求拋物線解析式。（2）根據(jù)A（10，0），B（2，2）求得直線AB的解析式，由AQ=2OP=2m，得到OQ=OA－AQ=10－2m，代入直線AB的解析式，可求M點(diǎn)縱坐標(biāo)，得出QD的表達(dá)式，根據(jù)S= QD2求解。（3）①將=2代入拋物線解析式得=2，可知N（2，2），G（2，4），當(dāng)GF和EQ落在同一條直線上時(shí)，△FGQ為等腰直角三角形，則PQ=PG=4，OQ=OP+PQ=6，代入直線AB解析式得M（6，1），即QM=1，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，每一個(gè)陰影部分面積等所在正方形面積的一半，由此可求兩個(gè)陰影部分面積和。②考慮分PF和ED，PF和CQ，F(xiàn)G和CD三種情況，求出相應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)：當(dāng)PF和ED在一直線時(shí)，PQ=QD，即10－3 m= m，m=；當(dāng)PF和CQ在一直線時(shí)，P與Q重合，即10－2 m= m，m=；當(dāng)FG和CD在一直線時(shí)，設(shè)CE與PG交于點(diǎn)R，則GR=RC，即有，即，解得。綜上所述，還存在兩個(gè)正方形分別有邊落在同一條直線上的情況時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為。14．（遼寧丹東14分）己知：二次函數(shù)與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，點(diǎn)A、點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是一元二次方程的兩個(gè)根．（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)．（2）請(qǐng)求出該二次函數(shù)表達(dá)式及對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．（3）如圖l，在二次函數(shù)對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△APC的周長最小，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由．（4）如圖2，連接AC、BC，點(diǎn)Q是線段OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)Q不與點(diǎn)O、B重合)．過點(diǎn)Q作QD∥AC交BC于點(diǎn)D，設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)(m，0)，當(dāng)△CDQ面積S最大時(shí)．求m的值．【答案】解：（1）A（－2，0），B（6，0）。（2）將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)，得，解得。∴該二次函數(shù)表達(dá)式為∵，∴拋物線對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，8）。（3）如圖，作點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接AC′，交拋物線對(duì)稱軸于P點(diǎn)，連接CP，∵C（0，6），拋物線對(duì)稱軸為，∴C′（4，6）。設(shè)直線AC′解析式為，則，解得 ?！嘀本€AC′解析式為。當(dāng)時(shí)。即點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（2，4）。（4）依題意，得AB＝8，QB＝6－，AQ＝＋2，OC＝6，則∵由DQ∥AC，∴△BDQ∽△BCA?！啵?。又∵，∴當(dāng)△CDQ面積S最大時(shí)，＝2?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，解一元二次方程，點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，解二元一次方程組，二次函數(shù)的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）解一元二次方程可求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)。（2）將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)，可求二次函數(shù)解析式，配方為頂點(diǎn)式，可求對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)。（3）作點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接AC′，交拋物線對(duì)稱軸于P點(diǎn)，連接CP，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)得P點(diǎn)即為所求。（4） 由DQ∥AC得△BDQ∽△BCA，利用相似比表示△QBD的面積，利用三角形面積公式表示△ACQ的面積，根據(jù)，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求面積最大時(shí)，m的值即可。15.（遼寧撫順、鐵嶺14分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是梯形，BC∥AD，∠BAD＋∠CDA＝90176。，且tan∠BAD＝2，AD在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)(－1，0)，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，BC＝OB.(1)求過點(diǎn)A、B、C的拋物線的解析式；(2)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)B(不包括點(diǎn)B)出發(fā)，沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，在運(yùn)動(dòng)過程中，過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，將四邊形ABEF沿直線EF折疊，得到四邊形A1B1EF，點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)AB1，設(shè)四邊形A1B1EF與梯形ABCD重合部分的面積為S，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)是(,0)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①當(dāng)點(diǎn)A1落在(1)中的拋物線上時(shí)，求S的值； ②在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，求S與的函數(shù)關(guān)系式．備用圖【答案】解：(1)在△ABO中∠AOB＝90176。，tanA＝＝2，∵點(diǎn)A坐標(biāo)是(－1，0)，∴OB＝2?！帱c(diǎn)B的坐標(biāo)是(0，2)。又∵BC∥AD，BC＝OB，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(2，2)。由點(diǎn)B (0，2)在拋物線上，設(shè)拋物線表達(dá)式為。∵點(diǎn)A(－1，0)和點(diǎn)C(2，2)在拋物線上，∴　，解得。∴過點(diǎn)A、B、C的拋物線的解析式為。(2)①當(dāng)點(diǎn)A1落在拋物線上，根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱性可得A1與點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱。由沿直線EF折疊，所以點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，2)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，0)，重合部分面積就是梯形ABEF的面積。面積為：S＝(BE＋AF)EF＝(1＋2)2＝3。②當(dāng)0＜≤1時(shí)，重合部分面積就梯形ABEF的面積，由題得AF＝＋1，BE＝，S＝S梯形ABEF＝(BE＋AF)BO＝2＋1。當(dāng)1＜≤2時(shí)，如圖，設(shè)A1B1交CD于點(diǎn)N，作MN⊥DF于點(diǎn)N，CK⊥AD于點(diǎn)K，重合部分面積就是五邊形形A1NCEF的面積。由△NMA1∽△DMN得，＝，∵∠BAO＝∠MA1N，tan∠BAO＝2，∴tan∠MA1N＝＝2?！郙A1＝MN，MD＝2MN。∵tan∠BAO＝2，∠BAO＋∠CDK＝90176。，∴tan∠CDK＝。在△DCK中，∠CKD＝90176。，CK＝OB＝2，tan∠CDK＝＝，∴DK＝4，OD＝6?！逴F＝，A1F＝＋1，∴A1D＝OD－OF－A1F＝5－2，F(xiàn)D＝6－?！郙N＝(5－2)。∴S＝S梯形DCEF－S△A1ND＝（EC＋FD）CK －A1 DMN＝8－2－(5－2)2＝－2＋－.。 綜上所述，S與的函數(shù)關(guān)系式為S＝。【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)，梯形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求拋物線表達(dá)式，點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，對(duì)稱的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥?1)由已知，應(yīng)用銳角三角函數(shù)和梯形的性質(zhì)可求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，由待定系數(shù)法可求拋物線表達(dá)式?！　?　(2)分0＜≤1和1＜≤2分別討論四邊形A1B1EF與梯形ABCD重合部分的面積。討論時(shí)把有關(guān)線段用含的表達(dá)式表示即能求出。16.（遼寧阜新14分）如圖，拋物線y＝x2＋x－與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為P．（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）在拋物線是否存在點(diǎn)E，使△ABP的面積等于△ABE的面積，若存在，求出符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)F，使得以A、B、P、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)．【答案】解：（1）令x2＋x－＝0，解得。 ∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（－3，0），（1，0）。 （2）∵y＝x2＋x－＝（x＋1）2－2，∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－1，－2）。 ∵要使△ABP的面積等于△ABE的面積，即要它們同底等高，∴拋物線存在點(diǎn)E，它在x軸上方且與x軸的距離為2。 即它是拋物線y＝x2＋x－與直線y＝2的交點(diǎn)。 ∴解x2＋x－＝2得，x＝－1177。2。 ∴拋物線存在點(diǎn)E（－1－2）和（－1＋2）使△ABP的面積等于△ABE的面積。 （3）使得以A、B、P、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形的點(diǎn)F的坐標(biāo)為： （－1，2），（－5，－2），（3，－2）?！究键c(diǎn)】點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，解一元二次方程，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形面積相等的條件，平行四邊形的判定，軸對(duì)稱的性質(zhì)，平移的性質(zhì)?！痉治觥浚?）要求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，只要根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，解x2＋