20xx年中考數(shù)學(xué)壓軸題(編輯修改稿)
2025-05-01 02:44 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ∴當(dāng)m=﹣2時(shí)，S最大，最大值為1此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣2，2）．1（12分）（2013?南昌）已知拋物線yn=﹣（x﹣an）2+an（n為正整數(shù)，且0＜a1＜a2＜…＜an）與x軸的交點(diǎn)為An﹣1（bn﹣1，0）和An（bn，0），當(dāng)n=1時(shí)，第1條拋物線y1=﹣（x﹣a1）2+a1與x軸的交點(diǎn)為A0（0，0）和A1（b1，0），其他依此類推．（1）求a1，b1的值及拋物線y2的解析式；（2）拋物線y3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ?。?；依此類推第n條拋物線yn的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ?。?；所有拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)關(guān)系式是 ??；（3）探究下列結(jié)論：①若用An﹣1An表示第n條拋物線被x軸截得的線段長，直接寫出A0A1的值，并求出An﹣1An；②是否存在經(jīng)過點(diǎn)A（2，0）的直線和所有拋物線都相交，且被每一條拋物線截得的線段的長度都相等？若存在，直接寫出直線的表達(dá)式；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）∵當(dāng)n=1時(shí)，第1條拋物線y1=﹣（x﹣a1）2+a1與x軸的交點(diǎn)為A0（0，0），∴0=﹣（0﹣a1）2+a1，解得a1=1或a1=0．由已知a1＞0，∴a1=1，∴y1=﹣（x﹣1）2+1．令y1=0，即﹣（x﹣1）2+1=0，解得x=0或x=2，∴A1（2，0），b1=2．由題意，當(dāng)n=2時(shí)，第2條拋物線y2=﹣（x﹣a2）2+a2經(jīng)過點(diǎn)A1（2，0），∴0=﹣（2﹣a2）2+a2，解得a2=1或a2=4，∵a1=1，且已知a2＞a1，∴a2=4，∴y2=﹣（x﹣4）2+4．∴a1=1，b1=2，y2=﹣（x﹣4）2+4．（2）拋物線y2=﹣（x﹣4）2+4，令y2=0，即﹣（x﹣4）2+4=0，解得x=2或x=6．∵A1（2，0），∴A2（6，0）．由題意，當(dāng)n=3時(shí)，第3條拋物線y3=﹣（x﹣a3）2+a3經(jīng)過點(diǎn)A2（6，0），∴0=﹣（6﹣a3）2+a3，解得a3=4或a3=9．∵a2=4，且已知a3＞a2，∴a3=9，∴y3=﹣（x﹣9）2+9．∴y3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（9，9）．由y1的頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，1），y2的頂點(diǎn)坐標(biāo)（4，4），y3的頂點(diǎn)坐標(biāo)（9，9），依此類推，yn的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（n2，n2）．∵所有拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于縱坐標(biāo)，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)關(guān)系式是：y=x．（3）①∵A0（0，0），A1（2，0），∴A0A1=2．yn=﹣（x﹣n2）2+n2，令yn=0，即﹣（x﹣n2）2+n2=0，解得x=n2+n或x=n2﹣n，∴An﹣1（n2﹣n，0），An（n2+n，0），即An﹣1An=（n2+n）﹣（n2﹣n）=2n．②存在．設(shè)過點(diǎn)（2，0）的直線解析式為y=kx+b，則有：0=2k+b，得b=﹣2k，∴y=kx﹣2k．設(shè)直線y=kx﹣2k與拋物線yn=﹣（x﹣n2）2+n2交于E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）兩點(diǎn)，聯(lián)立兩式得：kx﹣2k=﹣（x﹣n2）2+n2，整理得：x2+（k﹣2n2）x+n4﹣n2﹣2k=0，∴x1+x2=2n2﹣k，x1?x2=n4﹣n2﹣2k．過點(diǎn)F作FG⊥x軸，過點(diǎn)E作EG⊥FG于點(diǎn)G，則EG=x2﹣x1，F(xiàn)G=y2﹣y1=[﹣（x2﹣n2）2+n2]﹣[﹣（x1﹣n2）2+n2]=（x1+x2﹣2n2）（x1﹣x2）=k（x2﹣x1）．在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF2=EG2+FG2，即：EF2=（x2﹣x1）2+[k（x2﹣x1）]2=（k2+1）（x2﹣x1）2=（k2+1）[（x1+x2）2﹣4x1?x2]，將x1+x2=2n2﹣k，x1?x2=n4﹣n2﹣2k代入，整理得：EF2=（k2+1）[4n2?（1﹣k）+k2+8k]，當(dāng)k=1時(shí)，EF2=（1+1）（1+8）=9，∴EF=3為定值，∴k=1滿足條件，此時(shí)直線解析式為y=x﹣2．∴存在滿足條件的直線，該直線的解析式為y=x﹣2．15．（2012義烏市）如圖1，已知直線y=kx與拋物線y=交于點(diǎn)A（3，6）．（1）求直線y=kx的解析式和線段OA的長度；（2）點(diǎn)P為拋物線第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線PM，交x軸于點(diǎn)M（點(diǎn)M、O不重合），交直線OA于點(diǎn)Q，再過點(diǎn)Q作直線PM的垂線，交y軸于點(diǎn)N．試探究：線段QM與線段QN的長度之比是否為定值？如果是，求出這個(gè)定值；如果不是，說明理由；（3）如圖2，若點(diǎn)B為拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)的點(diǎn)，點(diǎn)E在線段OA上（與點(diǎn)O、A不重合），點(diǎn)D（m，0）是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠BAE=∠BED=∠AOD．繼續(xù)探究：m在什么范圍時(shí)，符合條件的E點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別是1個(gè)、2個(gè)？解答：解：（1）把點(diǎn)A（3，6）代入y=kx 得；∵6=3k，∴k=2，∴y=2x．（2012義烏市）OA=．…（3分）（2）是一個(gè)定值，理由如下：如答圖1，過點(diǎn)Q作QG⊥y軸于點(diǎn)G，QH⊥x軸于點(diǎn)H．①當(dāng)QH與QM重合時(shí)，顯然QG與QN重合，此時(shí)；②當(dāng)QH與QM不重合時(shí)，∵QN⊥QM，QG⊥QH不妨設(shè)點(diǎn)H，G分別在x、y軸的正半軸上，∴∠MQH=∠GQN，又∵∠QHM=∠QGN=90176。∴△QHM∽△QGN…（5分），∴，當(dāng)點(diǎn)P、Q在拋物線和直線上不同位置時(shí)，同理可得． …（7分）①①（3）如答圖2，延長AB交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FC⊥OA于點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AR⊥x軸于點(diǎn)R∵∠AOD=∠BAE，∴AF=OF，∴OC=AC=OA=∵∠ARO=∠FCO=90176。，∠AOR=∠FOC，∴△AOR∽△FOC，∴，∴OF=，∴點(diǎn)F（，0），設(shè)點(diǎn)B（x，），過點(diǎn)B作BK⊥AR于點(diǎn)K，則△AKB∽△ARF，∴，即，解得x1=6，x2=3（舍去），∴點(diǎn)B（6，2），∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4，∴AB=5 …（8分）；（求AB也可采用下面的方法）設(shè)直線AF為y=kx+b（k≠0）把點(diǎn)A（3，6），點(diǎn)F（，0）代入得k=，b=10，∴，∴，∴（舍去），∴B（6，2），∴AB=5…（8分）
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