[中考]0810年中考數(shù)學(xué)相似難題壓軸題匯編-在線瀏覽
2025-03-04 05:34本頁面
【正文】 為梯形∵S△A39。當(dāng)取最大值時，判斷與是否相似？若相似，求出的值；若不相似，請說明理由。（2009年寧波市）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為，直線BC經(jīng)過點，將四邊形OABC繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)度得到四邊形，此時直線、直線分別與直線BC相交于點P、Q．（1）四邊形OABC的形狀是 ，當(dāng)時，的值是 ；（2）①如圖2，當(dāng)四邊形的頂點落在軸正半軸時，求的值；②如圖3，當(dāng)四邊形的頂點落在直線上時，求的面積．（Q）CBAOxP（圖3）yQCBAOxP（圖2）yCBAOyx（備用圖）（第26題）（3）在四邊形OABC旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時，是否存在這樣的點P和點Q，使？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【關(guān)鍵詞】相似三角形有關(guān)的計算和證明【答案】解：（1）矩形（長方形）； ．（2）①，．，即，．同理，即，． ． ②在和中，．．設(shè)，在中， ，解得．． （3）存在這樣的點和點，使． 點的坐標(biāo)是，． 對于第（3）題，我們提供如下詳細(xì)解答，對學(xué)生無此要求．過點畫于，連結(jié)，則，．QCBAOxPyH設(shè)，，① 如圖1，當(dāng)點P在點B左側(cè)時， ，在中，解得，（不符實際，舍去）．QCBAOxPyH，．②如圖2，當(dāng)點P在點B右側(cè)時，．在中，解得．，．綜上可知，存在點，使．(2009年義烏)如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,點P在線段AB上運動，設(shè)AP=，現(xiàn)將紙片折疊，使點D與點P重合，得折痕EF（點E、F為折痕與矩形邊的交點），再將紙片還原?！摺螦=∠PEB=90176?！螪=∠PBE∴Rt△ABD∽Rt△EPB∴設(shè)EB=3k，則EP=4k，PF=EB=3k∴，=∴函數(shù)定義域為FEFEADPCBQ圖1DAPCB（Q））圖2圖3CADPBQ（3）答：90176。∴PC=PB=（2）在圖8中，過點P作PE⊥BC，PF⊥AB于點F?！郟Q=PC即PB=PC，過點P作PE⊥BC，則BE=。]背景介紹：這條分割直線即平分了三角形的面積，又平分了三角形的周長，我們稱這條線為三角 形的“等分積周線”．嘗試解決： AB C AB C 圖 1 圖 2 （1）小明很快就想到了一條分割直線，“等分積周線”，從而平分蛋糕．（2） 小華覺得小明的方法很好，所以自己模仿著在圖1中過點C畫了一條直線CD交AB于點D．你覺得小華會成功嗎？如能成功，說出確定的方法；如不能成功，請說明理由．（3）通過上面的實踐，你一定有了更深刻的認(rèn)識．請你解決下面的問題：若AB＝BC＝5 cm，AC＝6 cm，請你找出△ABC的所有“等分積周線”，并簡要的說明確定的方法．解：(1) 作線段AC的中垂線BD即可. (2) 小華不會成功．若直線CD平分△ABC的面積那么∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 小華不會成功． （3）① 若直線經(jīng)過頂點，則AC邊上的中垂線即為所求線段． ② 若直線不過頂點，可分以下三種情況：（a）直線與BC、AC分別交于E、F，如圖所示 過點E作EH⊥AC于點H，過點B作BG⊥AC于點G易求，BG=4，AG=CG=3設(shè)CF=x，則CE=8x由△CEH∽△CBG，可得EH=根據(jù)面積相等，可得 ∴ （舍去，即為①）或∴ CF=5，CE=3，直線EF即為所求直線． （b）直線與AB、AC分別交于M、N, 如圖所示 由 (a)可得，AM=3，AN=5，直線MN即為所求直線．（仿照上面給分） (c) 直線與AB、BC分別交于P、Q，如圖所示 過點A作AY⊥BC于點Y，過點P作PX⊥BC于點X由面積法可得， AY=設(shè)BP=x，則BQ=8x由相似，可得PX= 根據(jù)面積相等，可得 ∴ （舍去）或而當(dāng)BP時，BQ=，舍去．∴ 此種情況不存在． 綜上所述，符合條件的直線共有三條．（2010年教育聯(lián)合體）如圖，點P是菱形ABCD的對角線BD上一點，連結(jié)CP并延長，交AD于E，交BA的延長線點F．問：(1) 圖中△APD與哪個三角形全等？并說明理由．[來源:學(xué)|科|網(wǎng)](2) 求證：△APE ∽△FPA． (3) 猜想：線段PC、PE、PF之間存在什么關(guān)系？并說明理由．(1) △APD≌△CPD 理由： ∵四邊形ABCD菱形 ∴AD=CD, ∠ADP=∠CDP 又∵PD=PD[來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK] ∴△APD≌△CPD (2) 證明：∵△APD≌△CPD ∴∠DAP=∠DCP∵CD∥BF ∴∠DCP=∠F ∴∠DAP= ∠F 又∵∠APE=∠FPA ∴△APE ∽△FPA (3) 猜想： 理由: ∵△APE ∽△FPA ∴ ∴ ∵△APD≌△CPD∴PA=PC ∴ (2009年湖州)如圖，在正三角形中，分別是，上的點，則的面積與的面積之比等于（ ）A．1∶3 B．2∶3 C．∶2 D．∶3 【關(guān)鍵詞】等邊三角形的性質(zhì)，相似的性質(zhì)【答案】A（2009年山西?。┤鐖D，在中，的垂直平分線交的延長線于點，則的長為（ ）A． B． C． D．2【關(guān)鍵詞】相似三角形判定和性質(zhì)；勾股定理；線段和角的概念、性質(zhì)【答案】B(2009武漢)如圖1，在中，于點，點是邊上一點，連接交于，交邊于點．BBAACOEDDECOF圖1圖2F（1）求證：；（2）當(dāng)為邊中點，時，如圖2，求的值；（3）當(dāng)為邊中點，時，請直接寫出的值．【關(guān)鍵詞】相似三角形的判定和性質(zhì) 【答案】解：（1），．．BADECOFG，．；（2）解法一：作，交的延長線于．，是邊的中點，．由（1）有，．，又，．，．，．BADECOF解法二：于，．．設(shè)，則，．，．由（1）知，設(shè)，．在中，．．．（3）．(2009年上海市)已知∠ABC=90176。（2010年浙江杭州）提出問題：如圖，有一塊分布均勻的等腰三角形蛋糕（，且），在蛋糕的邊緣均勻分布著巧克力，小明和小華決定只切一刀將這塊蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力質(zhì)量都一樣）．[來源:Z。xx。AB=2，BC=3，AD∥BC，P為線段BD上的動點，點Q在射線AB上，且滿足（如圖1所示）．（1）當(dāng)AD=2，且點與點重合時（如圖2所示），求線段的長；（2）在圖中，聯(lián)結(jié)．當(dāng)，且點在線段上時，設(shè)點之間的距離為，其中表示△APQ的面積，表示的面積，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域； （3）當(dāng)，且點在線段的延長線上時（如圖3所示），求的大?。瓵DPCBQ圖1DAPCB（Q））圖2圖3CADPBQ【關(guān)鍵詞】等腰直角三角形 相似三角形 共高三角形的面積 直角三角形相似的判定【答案】（1）∵Rt△ABD中，AB=2，AD=2，∴=1，∠D=45176。而∠PBC=∠D=45176?！摺螦=∠PEB=90176。證明：在圖8中，過點P作PE⊥BC，PF⊥AB于點F?！螪=∠PBE∴Rt△ABD∽Rt△EPB∴∴=∴Rt△PQF∽Rt△PCE∴∠FPQ=∠EPC∴∠EPC+∠QPE=∠FPQ+∠QPE=90176。 （1）當(dāng)時，折痕EF的長為；當(dāng)點E與點A重合時，折痕EF的長為；（
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