【正文】 A∴∠OBF與∠A不可能是對頂角?！逤B⊥AB ，∴BC∥OF。DE知∴ （4）在函數(shù)中∵0﹤x≤5∴當(dāng)x=5時(shí)y最大為： 在函數(shù)中當(dāng)時(shí)y最大為： ∵﹤∴當(dāng)時(shí)，y最大為： （2009泰安）將一個(gè)量角器和一個(gè)含30度角的直角三角板如圖（1）放置，圖（2）是由他抽象出的幾何圖形，其中點(diǎn)B在半圓O的直徑DE的延長線上，AB切半圓O于點(diǎn)F，且BC=OD。=由已知求得AF=5∴A39。當(dāng)取最大值時(shí)，判斷與是否相似？若相似，求出的值；若不相似，請說明理由。∵∠A=∠PEB=90176?！郟C=PB=（2）在圖8中，過點(diǎn)P作PE⊥BC，PF⊥AB于點(diǎn)F。]背景介紹：這條分割直線即平分了三角形的面積，又平分了三角形的周長，我們稱這條線為三角 形的“等分積周線”．嘗試解決： AB C AB C 圖 1 圖 2 （1）小明很快就想到了一條分割直線，“等分積周線”，從而平分蛋糕．（2） 小華覺得小明的方法很好，所以自己模仿著在圖1中過點(diǎn)C畫了一條直線CD交AB于點(diǎn)D．你覺得小華會成功嗎？如能成功，說出確定的方法；如不能成功，請說明理由．（3）通過上面的實(shí)踐，你一定有了更深刻的認(rèn)識．請你解決下面的問題：若AB＝BC＝5 cm，AC＝6 cm，請你找出△ABC的所有“等分積周線”，并簡要的說明確定的方法．解：(1) 作線段AC的中垂線BD即可. (2) 小華不會成功．若直線CD平分△ABC的面積那么∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 小華不會成功． （3）① 若直線經(jīng)過頂點(diǎn)，則AC邊上的中垂線即為所求線段． ② 若直線不過頂點(diǎn)，可分以下三種情況：（a）直線與BC、AC分別交于E、F，如圖所示 過點(diǎn)E作EH⊥AC于點(diǎn)H，過點(diǎn)B作BG⊥AC于點(diǎn)G易求，BG=4，AG=CG=3設(shè)CF=x，則CE=8x由△CEH∽△CBG，可得EH=根據(jù)面積相等，可得 ∴ （舍去，即為①）或∴ CF=5，CE=3，直線EF即為所求直線． （b）直線與AB、AC分別交于M、N, 如圖所示 由 (a)可得，AM=3，AN=5，直線MN即為所求直線．（仿照上面給分） (c) 直線與AB、BC分別交于P、Q，如圖所示 過點(diǎn)A作AY⊥BC于點(diǎn)Y，過點(diǎn)P作PX⊥BC于點(diǎn)X由面積法可得， AY=設(shè)BP=x，則BQ=8x由相似，可得PX= 根據(jù)面積相等，可得 ∴ （舍去）或而當(dāng)BP時(shí)，BQ=，舍去．∴ 此種情況不存在． 綜上所述，符合條件的直線共有三條．（2010年教育聯(lián)合體）如圖，點(diǎn)P是菱形ABCD的對角線BD上一點(diǎn)，連結(jié)CP并延長，交AD于E，交BA的延長線點(diǎn)F．問：(1) 圖中△APD與哪個(gè)三角形全等？并說明理由．[來源:學(xué)|科|網(wǎng)](2) 求證：△APE ∽△FPA． (3) 猜想：線段PC、PE、PF之間存在什么關(guān)系？并說明理由．(1) △APD≌△CPD 理由： ∵四邊形ABCD菱形　　　　∴AD=CD, ∠ADP=∠CDP 又∵PD=PD[來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK] ∴△APD≌△CPD (2) 證明：∵△APD≌△CPD ∴∠DAP=∠DCP∵CD∥BF ∴∠DCP=∠F ∴∠DAP= ∠F 又∵∠APE=∠FPA ∴△APE ∽△FPA (3) 猜想： 理由: ∵△APE ∽△FPA ∴ ∴ ∵△APD≌△CPD∴PA=PC ∴ (2009年湖州)如圖，在正三角形中，分別是，上的點(diǎn)，則的面積與的面積之比等于（ ）A．1∶3 B．2∶3 C．∶2 D．∶3 【關(guān)鍵詞】等邊三角形的性質(zhì)，相似的性質(zhì)【答案】A（2009年山西?。┤鐖D，在中，的垂直平分線交的延長線于點(diǎn)，則的長為（ ）A． B． C． D．2【關(guān)鍵詞】相似三角形判定和性質(zhì)；勾股定理；線段和角的概念、性質(zhì)【答案】B(2009武漢)如圖1，在中，于點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接交于，交邊于點(diǎn)．BBAACOEDDECOF圖1圖2F（1）求證：；（2）當(dāng)為邊中點(diǎn)，時(shí)，如圖2，求的值；（3）當(dāng)為邊中點(diǎn)，時(shí)，請直接寫出的值．【關(guān)鍵詞】相似三角形的判定和性質(zhì) 【答案】解：（1），．．BADECOFG，．；（2）解法一：作，交的延長線于．，是邊的中點(diǎn)，．由（1）有，．，又，．，．，．BADECOF解法二：于，．．設(shè)，則，．，．由（1）知，設(shè)，．在中，．．．（3）．(2009年上海市)已知∠ABC=90176。xx。而∠PBC=∠D=45176。證明：在圖8中，過點(diǎn)P作PE⊥BC，PF⊥AB于點(diǎn)F。 （1）當(dāng)時(shí)，折痕EF的長為；當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，折痕EF的長為；（2）請寫出使四邊形EPFD為菱形的的取值范圍，并求出當(dāng)時(shí)菱形的邊長；（3）令，當(dāng)點(diǎn)E在AD、點(diǎn)F在BC上時(shí)，寫出與的函數(shù)關(guān)系式。DE=S△ADE=∴DE邊上的高AH=AH39。MN∽△A39。【關(guān)鍵詞】相似、切線【答案】證明：（1）連接OF，如圖∵AB且半圓O于F，∴OF⊥AB。（2）∵以O(shè)、B、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，∠OFB=∠ABC=90176。 ∴OB=OF/cos30176。（2） 若G是BC的中點(diǎn)，連接GD，GD與EF垂直嗎？并說明理由。∴∠5+∠1=90176。 ∴∠BAE +∠AEB＝90186?！唷螰CH＝45186?！郉C⊥AD，∴MN⊥AD．∵據(jù)題意得，A與P關(guān)于MN對稱，∴MN⊥AP．∵據(jù)題意，P與D不重合，∴這與“過一點(diǎn)（A）只能作一條直線與已知直線（MN）垂直”矛盾． ∴假設(shè)不成立．∴不成立． (2) 解法2：與不相等．理由如下：∵P， A關(guān)于MN對稱，∴MN垂直平分AP．∴cos∠FAN=． ∵∠D=90176?！唷螩MP＋∠AMB=90176。．∴矩形HDCJ． (7分)∴OJ∥CP， ∴△MOJ∽△MPC， ∴OJ:CP=MO:MP=1:2，∴OJ=(4－x)，OH=MP=4－OJ=(4＋x)． ∵M(jìn)C2= MP2－CP2，∴(4＋x)2－(4－x)2=16． 解得:x=1．即PD=1，PC=3，∴BC=BM+MC=PC+AB=3+4=7．由此畫圖(圖形大致能示意即可)． （3）解法2：連接HO，并延長HO交BC于J點(diǎn)，連接AO． 由切線性質(zhì)知，JH⊥AD，∵BC∥AD，∴HJ⊥BC，∴OJ⊥MC，∴MJ=JC． ∵AM，AH與⊙O相切于點(diǎn)M，H，∴∠AMO=∠AHO=90176?！唷螧AM=∠CMP ，∵∠B=∠MCP=90176。AB與PC交于Q點(diǎn)．（1）判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）求證：；（3）若∠ABP = 15176。－∠ABC－∠BAC = 60176。 sin 60176。 sin 60176。 得 ∠PBC =∠ABC +∠ABP = 75176。）247。作GH⊥RN，垂足為H．設(shè)GH = 1，則 cos∠GNM = cos15176。 sin30176。 =．在圖中，作OF⊥PC于E，∴ PC = 2FD = 2 OC AB＝4，AC＝3，M是AB上的動點(diǎn)（不與A，B重合），過M點(diǎn)作MN∥BC交AC于點(diǎn)N．以MN為直徑作⊙O，并在⊙O內(nèi)作內(nèi)接矩形AMPN．令A(yù)M＝x． （1）用含x的代數(shù)式表示△ＭNP的面積S； （2）當(dāng)x為何值時(shí)，⊙O與直線BC相切？ （3）在動點(diǎn)M的運(yùn)動過程中，記△ＭNP與梯形BCNM重合的面積為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求x為何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少？ABCMNP圖 1O1在△ABC中，∠A＝90176。,∠CDA=∠BAD+45176。,旋轉(zhuǎn)角∠EAH=9017