【正文】 ,∠CDA=∠BAD+45176。作GH⊥RN，垂足為H．設(shè)GH = 1，則 cos∠GNM = cos15176。 sin 60176。．∴矩形HDCJ． (7分)∴OJ∥CP， ∴△MOJ∽△MPC， ∴OJ:CP=MO:MP=1:2，∴OJ=(4－x)，OH=MP=4－OJ=(4＋x)． ∵M(jìn)C2= MP2－CP2，∴(4＋x)2－(4－x)2=16． 解得:x=1．即PD=1，PC=3，∴BC=BM+MC=PC+AB=3+4=7．由此畫圖(圖形大致能示意即可)． （3）解法2：連接HO，并延長HO交BC于J點，連接AO． 由切線性質(zhì)知，JH⊥AD，∵BC∥AD，∴HJ⊥BC，∴OJ⊥MC，∴MJ=JC． ∵AM，AH與⊙O相切于點M，H，∴∠AMO=∠AHO=90176。 ∴∠BAE +∠AEB＝90186。（2）∵以O(shè)、B、F為頂點的三角形與△ABC相似，∠OFB=∠ABC=90176。 （1）當(dāng)時，折痕EF的長為；當(dāng)點E與點A重合時，折痕EF的長為；（2）請寫出使四邊形EPFD為菱形的的取值范圍，并求出當(dāng)時菱形的邊長；（3）令，當(dāng)點E在AD、點F在BC上時，寫出與的函數(shù)關(guān)系式。]背景介紹：這條分割直線即平分了三角形的面積，又平分了三角形的周長，我們稱這條線為三角 形的“等分積周線”．嘗試解決： AB C AB C 圖 1 圖 2 （1）小明很快就想到了一條分割直線，“等分積周線”，從而平分蛋糕．（2） 小華覺得小明的方法很好，所以自己模仿著在圖1中過點C畫了一條直線CD交AB于點D．你覺得小華會成功嗎？如能成功，說出確定的方法；如不能成功，請說明理由．（3）通過上面的實踐，你一定有了更深刻的認(rèn)識．請你解決下面的問題：若AB＝BC＝5 cm，AC＝6 cm，請你找出△ABC的所有“等分積周線”，并簡要的說明確定的方法．解：(1) 作線段AC的中垂線BD即可. (2) 小華不會成功．若直線CD平分△ABC的面積那么∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 小華不會成功． （3）① 若直線經(jīng)過頂點，則AC邊上的中垂線即為所求線段． ② 若直線不過頂點，可分以下三種情況：（a）直線與BC、AC分別交于E、F，如圖所示 過點E作EH⊥AC于點H，過點B作BG⊥AC于點G易求，BG=4，AG=CG=3設(shè)CF=x，則CE=8x由△CEH∽△CBG，可得EH=根據(jù)面積相等，可得 ∴ （舍去，即為①）或∴ CF=5，CE=3，直線EF即為所求直線． （b）直線與AB、AC分別交于M、N, 如圖所示 由 (a)可得，AM=3，AN=5，直線MN即為所求直線．（仿照上面給分） (c) 直線與AB、BC分別交于P、Q，如圖所示 過點A作AY⊥BC于點Y，過點P作PX⊥BC于點X由面積法可得， AY=設(shè)BP=x，則BQ=8x由相似，可得PX= 根據(jù)面積相等，可得 ∴ （舍去）或而當(dāng)BP時，BQ=，舍去．∴ 此種情況不存在． 綜上所述，符合條件的直線共有三條．（2010年教育聯(lián)合體）如圖，點P是菱形ABCD的對角線BD上一點，連結(jié)CP并延長，交AD于E，交BA的延長線點F．問：(1) 圖中△APD與哪個三角形全等？并說明理由．[來源:學(xué)|科|網(wǎng)](2) 求證：△APE ∽△FPA． (3) 猜想：線段PC、PE、PF之間存在什么關(guān)系？并說明理由．(1) △APD≌△CPD 理由： ∵四邊形ABCD菱形　　　　∴AD=CD, ∠ADP=∠CDP 又∵PD=PD[來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK] ∴△APD≌△CPD (2) 證明：∵△APD≌△CPD ∴∠DAP=∠DCP∵CD∥BF ∴∠DCP=∠F ∴∠DAP= ∠F 又∵∠APE=∠FPA ∴△APE ∽△FPA (3) 猜想： 理由: ∵△APE ∽△FPA ∴ ∴ ∵△APD≌△CPD∴PA=PC ∴ (2009年湖州)如圖，在正三角形中，分別是，上的點，則的面積與的面積之比等于（ ）A．1∶3 B．2∶3 C．∶2 D．∶3 【關(guān)鍵詞】等邊三角形的性質(zhì)，相似的性質(zhì)【答案】A（2009年山西?。┤鐖D，在中，的垂直平分線交的延長線于點，則的長為（ ）A． B． C． D．2【關(guān)鍵詞】相似三角形判定和性質(zhì)；勾股定理；線段和角的概念、性質(zhì)【答案】B(2009武漢)如圖1，在中，于點，點是邊上一點，連接交于，交邊于點．BBAACOEDDECOF圖1圖2F（1）求證：；（2）當(dāng)為邊中點，時，如圖2，求的值；（3）當(dāng)為邊中點，時，請直接寫出的值．【關(guān)鍵詞】相似三角形的判定和性質(zhì) 【答案】解：（1），．．BADECOFG，．；（2）解法一：作，交的延長線于．，是邊的中點，．由（1）有，．，又，．，．，．BADECOF解法二：于，．．設(shè)，則，．，．由（1）知，設(shè)，．在中，．．．（3）．(2009年上海市)已知∠ABC=90176。=由已知求得AF=5∴A39。=（2009江西）問題背景 在某次活動課中，甲、乙、：甲組：如圖1，測得一根直立于平地，長為80cm的竹竿的影長為60cm.乙組：如圖2，測得學(xué)校旗桿的影長為900cm.丙組：如圖3，測得校園景燈（燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗細(xì)忽略不計）的高度為200cm，影長為156cm.任務(wù)要求（1）請根據(jù)甲、乙兩組得到的信息計算出學(xué)校旗桿的高度；（2）如圖3，、丙兩組得到的信息，求景燈燈罩的半徑（友情提示：如圖3，景燈的影長等于線段的影長；需要時可采用等式）.DDFE900cm圖2BCA60cm80cm圖1GHNE156cmMEOE200cm圖3KE【關(guān)鍵詞】相似、光影【答案】解：（1）由題意可知：∴∴即∴DE=1200（cm）．所以，學(xué)校旗桿的高度是12m． （2）解法一：與①類似得：即∴GN=208．在中，根據(jù)勾股定理得：∴NH=260． 設(shè)的半徑為rcm，連結(jié)OM，∵NH切于M，∴則又∴∴ 又．∴解得：r=12．所以，景燈燈罩的半徑是12cm． DDFE900cm圖2BCA60cm80cm圖1圖3GHNE156cmMEOE200cmKE解法二：與①類似得：即∴GN=208．設(shè)的半徑為rcm，連結(jié)OM，∵NH切于M，∴ 則又∴∴即∴又． 在中，根據(jù)勾股定理得：即解得：（不合題意，舍去）所以，景燈燈罩的半徑是12cm． （2009年清遠(yuǎn)）如圖，已知一個三角形紙片，邊的長為8，邊上的高為，和都為銳角，為一動點（點與點不重合），過點作，交于點，在中，設(shè)的長為，上的高為．（1）請你用含的代數(shù)式表示．（2）將沿折疊，使落在四邊形所在平面，設(shè)點落在平面的點為，與四邊形重疊部分的面積為，當(dāng)為何值時，最大，最大值為多少？【關(guān)鍵詞】分類討論思想【答案】解：（1）（2）的邊上的高為，當(dāng)點落在四邊形內(nèi)或邊上時，=（0）當(dāng)落在四邊形外時，如下圖，設(shè)的邊上的高為，則 所以 綜上所述：當(dāng)時，取，MNCBEFAA1當(dāng)時，取，當(dāng)時，最大，（2009年濟(jì)寧市）如圖，中，.半徑為1的圓的圓心以1個單位/的速度由點沿方向在上移動，設(shè)移動時間為（單位：）.（1）當(dāng)為何值時，⊙與相切；（2）作交于點，如果⊙和線段交于點，證明：當(dāng)時，四邊形為平行四邊形.【關(guān)鍵詞】相似