【正文】 ，ED的延長線與CB的延長線交于點(diǎn)F。∴∠BAE＋∠EAD＝∠DAG＋∠EAD∴∠BAE＝∠DAG∴△ BAE≌△DAG MBEACNDFG圖（1）H（2）∠FCN＝45186。結(jié)合（1）（2）得∠FEH＝∠BAE＝∠DAG又∵G在射線CD上∠GDA＝∠EHF＝∠EBA＝90186?！唷螩MP=∠BAM．∵M(jìn)N垂直平分，∴MA=MP，∵∠B=∠C=90176?；?0176。．又 ∵ ∠AQP =∠BQD，∴ △AQP∽△BQD， ．∵ ∠BPD =∠BDP = 60176。從而得∠OCE = 30176。．如圖，作等腰直角△RMN，在直角邊RM上取點(diǎn)G，使∠GNM = 15176。 sin45176。 ∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C=60176。=∠EAD, AD=AD.∴?EAD≌?HAD∴DH=DE又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90176。 ∴?ABE∽?DCA (2)∵?ABE∽?DCA ∴ 由依題意可知CA=BA= ∴ ∴m= 自變量n的取值范圍為1n2. (3)由BD=CE可得BE=CD,即m=n ∵m=∴m=n=∵OB=OC=BC=1∴OE=OD=－1∴D(1－, 0)∴BD=OB－OD=1(－1)=2－=CE, DE=BC－2BD=22(2－)=2－2∵BD＋CE=2 BD=2(2－)=12－8, DE=(2－2)= 12－8FDHAGECB∴BD＋CE=DE(4)成立證明:如圖,將?ACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176。 =．(2009年梅州市)如圖 ，梯形ABCD中，點(diǎn)在上，連與的延長線交于點(diǎn)G．DCFEABG（1）求證：； （2）當(dāng)點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)時(shí)，過F作交于點(diǎn)，若，求的長．【關(guān)鍵詞】相似三角形【答案】（1）證明：∵梯形， ∴， ∴． （2） 由（1），又是的中點(diǎn)，∴， ∴ 又∵， ∴，得． ∴， ∴．(2008 湖南 益陽)△ABC是一塊等邊三角形的廢鐵片，利用其剪裁一個(gè)正方形DEFG，使正方形的一條邊DE落在BC上，頂點(diǎn)F、G分別落在AC、AB上.Ⅰ.證明：△BDG≌△CEF；ABCDEFG圖 (3)G′F′E′D′ABCDEFG圖 (1)ABCDEFG圖 (2)Ⅱ. 探究：怎樣在鐵片上準(zhǔn)確地畫出正方形.小聰和小明各給出了一種想法，請你在Ⅱa和Ⅱb的兩個(gè)問題中選擇一個(gè)你喜歡的問題解答. 如果兩題都解，只以Ⅱa的解答記分.Ⅱa. 小聰想：要畫出正方形DEFG，只要能計(jì)算出正方形的邊長就能求出BD和CE的長，從而確定D點(diǎn)和E點(diǎn)，再畫正方形DEFG就容易了. 設(shè)△ABC的邊長為2 ，請你幫小聰求出正方形的邊長(結(jié)果用含根號的式子表示，不要求分母有理化) .Ⅱb. 小明想：不求正方形的邊長也能畫出正方形. 具體作法是： ①在AB邊上任取一點(diǎn)G’，如圖作正方形G’D’E’F’；②連結(jié)BF’并延長交AC于F；③作FE∥F’E’交BC于E，F(xiàn)G∥F′G′交AB于G，GD∥G’D’交BC于D，則四邊形DEFG即為所求.你認(rèn)為小明的作法正確嗎？說明理由.(2008 湖北 恩施) 如圖11，在同一平面內(nèi),將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點(diǎn)，∠BAC=∠AGF=90176。 cos30176。．∴ ∠PCO =（180176。 h = 4， 即BC ∠BAC =∠BPC = 60176?！唷螧MA+∠CMP=90176?！郃D≠AP．∴≠。 ∴∠FEH＝∠BAE 又∵AE=EF，∠EHF＝∠EBA＝90186。+∠1，∠FBD=∠ACB+∠A=90176。∴∠A與∠BOF是對應(yīng)角。（1） 求證：DB∥CF?！娟P(guān)鍵詞】相似三角形【答案】解：（1）3， （2）．DCBAPEF圖1當(dāng)時(shí)，如圖1，連接，為折痕，令為，則，在中，DCFBAPEO圖2H解得，此時(shí)菱形邊長為．（3）如圖2，過作，易證，DC(F)HBAPEO圖3當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖3，連接，．顯然，函數(shù)的值在軸的右側(cè)隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，有最大值．此時(shí)，．綜上所述，當(dāng)取最大值時(shí)，（不寫不扣分）．（2009恩施市）如圖，在中，的面積為25，點(diǎn)為邊上的任意一點(diǎn)（不與、重合），過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．設(shè)，以為折線將翻折（使落在四邊形所在的平面內(nèi)），所得的與梯形重疊部分的面積記為．EDBCABCA（1）用表示的面積； （2）求出時(shí)與的函數(shù)關(guān)系式；（3）求出時(shí)與的函數(shù)關(guān)系式；（4）當(dāng)取何值時(shí)，的值最大？最大值是多少？ 【關(guān)鍵詞】相似、二次函數(shù)【答案】解:(1) ∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C ∴△ADE∽△ABC ∴即 (2)∵BC=10 ∴BC邊所對的三角形的中位線長為5∴當(dāng)0﹤ 時(shí) （3）﹤10時(shí)，點(diǎn)A39?！摺螦=∠PEB=90176。（2010年浙江杭州）提出問題：如圖，有一塊分布均勻的等腰三角形蛋糕（，且），在蛋糕的邊緣均勻分布著巧克力，小明和小華決定只切一刀將這塊蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力質(zhì)量都一樣）．[來源:Z?！螪=∠PBE∴Rt△ABD∽Rt△EPB∴設(shè)EB=3k，則EP=4k，PF=EB=3k∴，=∴函數(shù)定義域?yàn)镕EFEADPCBQ圖1DAPCB（Q））圖2圖3CADPBQ（3）答：90176。落在三角形的外部,其重疊部分為梯形∵S△A39。（2） 當(dāng)OD=2時(shí)，若以O(shè)、B、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求OB?！唷螧OF=30176。+∠A∴∠FDC=∠FBD∵F是公共角∴△FBD∽△FDC∴∴ （2）GD⊥EF理由如下：∵DG是Rt△CDB斜邊上的中線，∴DG=GC∴∠3=∠4由（1）得∠4=∠1∴∠3=∠1 ∵∠3+∠5=90176?！唷鱁FH≌△ABE ∴FH＝BE，EH＝AB＝BC，∴CH＝BE＝FH∵∠FHC＝90186。從而≠． (3)∵AM是⊙O的切線，∴∠AMP=90176。．∵∠BMA+∠BAM=90176?！?∠ACB = 180176。 BC－150176。GH = GN 它們的斜邊長為2，若?ABC固定不動(dòng)，?AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AF、AG與邊BC的交點(diǎn)分別為D、E(點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合,點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合),設(shè)BE=m，CD=n.（1）請?jiān)趫D中找出兩對相似而不全等的三角形，并選取其中一對進(jìn)行證明.（2）求m與n的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量n的取值范圍. （3）以?ABC的斜邊BC所在的直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(如圖12).在邊BC上找一點(diǎn)D，使BD=CE，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，并通過計(jì)算驗(yàn)證BD＋CE=DE.GyxOFEDCBAGFEDCBA （4）在旋轉(zhuǎn)過程中,(3)中的等量關(guān)系BD＋CE=DE是否始終成立,若成立,請證明,若不成立,請說明理由. ABCDERPHQ（第1題圖）1 （08浙江溫州）如圖，在中，分別是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作交于，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)，．（1）求點(diǎn)到的距離的長；（2）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（3）是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的的值；若不存在，請說明理由．1（08山東省日照市）在△ABC中，∠A＝90176。至?ABH的位置,則CE=HB,AE=AH,∠ABH=∠C=45176。.連接HD,在?EAD和?HAD中∵AE=AH, ∠HAD=∠EAH∠FAG=45176。AB＝4，AC＝3，M是AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），過M點(diǎn)作MN∥BC交AC于點(diǎn)N