【文章內(nèi)容簡介】 隨機試驗，稱為幾何概型．２．幾何概型的基本特點：（１）試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個；（２）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．３．幾何概型的概率：一般地，在幾何區(qū)域中隨機地取一點，記事件＂該點落在其內(nèi)部一個區(qū)域內(nèi)＂為事件，則事件發(fā)生的概率．說明：（１）的測度不為；（２）其中＂測度＂的意義依確定，當分別是線段，平面圖形，立體圖形時，相應(yīng)的＂測度＂分別是長度，面積和體積．（３）區(qū)域為＂開區(qū)域＂；（４）區(qū)域內(nèi)隨機取點是指：該點落在區(qū)域內(nèi)任何一處都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只與該部分的測度成正比而與其形狀位置無關(guān)．第十八章 計數(shù)原理(理科)一 分類、分步原理（一）分類原理：.分類原理題型比較雜亂，須累積現(xiàn)象。幾種常見的現(xiàn)象有：1．開關(guān)現(xiàn)象:要根據(jù)開啟或閉合開關(guān)的個數(shù)分類2．數(shù)圖形個數(shù):根據(jù)圖形是由幾個單一圖形組合而成進行分類求情況數(shù)3．球賽得分：根據(jù)勝或負場次進行分類（二）分步原理：.兩種典型現(xiàn)象：1．涂顏色(1)平面圖涂顏色:先涂接觸區(qū)域最多的一塊(2)立體圖涂顏色：先涂具有同一頂點的幾個平面，其他平面每步涂法分類列舉2．映射按步驟用A集合的每一個元素到B集合里選一個元素，可以重復(fù)選。二 排列組合（一）常規(guī)題型求情況數(shù)：先排(選)特殊元素，再排(選)一般元素。捆綁法，插空法。：先算總情況數(shù)，再排除不符合條件的情況數(shù)。（二）七種?？挤浅Ｒ?guī)現(xiàn)象1．小數(shù)量事件需要分類列舉：凡不可使用公式且估計情況數(shù)較少，要分類一一列舉(例1，例2)2．相同元素的排列：用組合數(shù)公式選出位置把相同元素放進去，不用排順序(例3例4)3．有序元素的排列: 用組合數(shù)公式選出位置把有序元素放進去，不用排順序(例5例6)4．剩余元素分配：有互不相同的剩余元素需要分配時，用隔板法。(例7例8)5．邁步與網(wǎng)格現(xiàn)象: (例9例10)要看一共走幾步，把特殊的幾步選出來，有幾種選法就有幾種情況6．立體幾何與解析幾何現(xiàn)象：多數(shù)用排除法求情況數(shù)(例11)7．平均分組現(xiàn)象: (例12例13)先用分步原理選出每一組的元素，再除以因為平均分組算重復(fù)的倍數(shù)，平均分n組，就除以，有幾套平均分組就除幾個（三）排列數(shù)，組合數(shù)公式運算的考察 ==.(，∈N*，且)．注:規(guī)定.2. 排列恒等式 (1)。(2)。(3)。 (4)。(5).(6) .3. 組合數(shù)公式 ===(∈N*，且).4. 組合數(shù)的兩個性質(zhì)(1)= 。(2) +=.注:規(guī)定.5. 組合恒等式(1)。(2)。(3)。 (4)=。(5).(6).(7).(8).(9).(10).6. 排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系 .三 二項式定理（一） 公式1．二項式定理：.展開式具有以下特點：① 項數(shù)：共有項；② 系數(shù)：依次為組合數(shù)③ 每一項的次數(shù)是一樣的，即為次，展開式依的降冪排列，的升冪排列展開.2．二項展開式的通項.展開式中的第項為：解三角形一 正弦定理（一）知識與工具：正弦定理：在△ABC中。在這個式子當中，已知兩邊和一角或已知兩角和一邊，可以求出其它所有的邊和角。注明：正弦定理的作用是進行三角形中的邊角互化，在變形中，注意三角形中其他條件的應(yīng)用：(1)三內(nèi)角和為180176。 (2)兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊(3)面積公式：S=absinC==2R2sinAsinBsinC (4)三角函數(shù)的恒等變形。sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=cosC ，sin=cos，cos=sin（二）題型 使用正弦定理解三角形共有三種題型題型1 利用正弦定理公式原型解三角形題型2 利用正弦定理公式的變形(邊角互化)解三角形：關(guān)于邊或角的齊次式可以直接邊角互化。例如：題型3 三角形解的個數(shù)的討論方法一：畫圖看方法二：通過正弦定理解三角形，利用三角形內(nèi)角和與三邊的不等關(guān)系檢驗解出的結(jié)果是否符合實際意義，從而確定解的個數(shù)。二 余弦定理（一）知識與工具：a2=b2+c2﹣2bccosA cosA=b2=a2+c2﹣2accosB cosB=c2=a2+b2﹣2abcosC cosC=注明：余弦定理的作用是進行三角形中的邊角互化，當題中含有二次項時，常使用余弦定理。在變形中，注意三角形中其他條件的應(yīng)用：(1)三內(nèi)角和為180176。；(2)兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。(3)面積公式：S=absinC==2R2sinAsinBsinC(4)三角函數(shù)的恒等變形。（二）題型使用余弦定理解三角形共有三種現(xiàn)象的題型題型1 利用余弦定理公式的原型解三角形題型2 利用余弦定理公式的變形(邊角互換)解三角形：凡在同一式子中既有角又有邊的題，要將所有角轉(zhuǎn)化成邊或所有邊轉(zhuǎn)化成角，在轉(zhuǎn)化過程中需要構(gòu)造公式形式。題型3 判斷三角形的形狀結(jié)論：根據(jù)余弦定理，當a2+b2＜cb2+c2＜ac2+a2＜b2中有一個關(guān)系式成立時，該三角形為鈍角三角形，而當a2+b2＞cb2+c2＞a2，c2+a2＞b2中有一種關(guān)系式成立時，并不能得出該三角形為銳角三角形的結(jié)論。判斷三角形形狀的方法：(1)將已知式所有的邊和角轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀。(2)將已知式所有的邊和角轉(zhuǎn)化為內(nèi)角三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，這時要注意使用A+B+C=π這個結(jié)論。在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項提取出公因式，以免漏解。正余弦定理在實際中的應(yīng)用求距離兩點間不可通又不可視兩點間可視但不可達兩點都不可達求高度底部可達底部不可達題型1 計算高度 題型2 計算距離 題型3 計算角度 題型4 測量方案的設(shè)計實際應(yīng)用題型的本質(zhì)就是解三角形，無論是什么樣的現(xiàn)象，都要首先畫出三角形的模型，再通過正弦定理和余弦定理進行求解。（三）其他常見結(jié)論1三角形內(nèi)切圓的半徑：，特別地，2三角學中的射影定理：在△ABC 中，…3兩內(nèi)角與其正弦值：在△ABC 中，…第十七章 空間向量（理科）一 空間向量的線性運算知識點1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：(1)向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。(2)空間的兩個向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示。2. 空間向量的運算定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運算如下(如下圖)。 。運算律：⑴加法交換律：⑵加法結(jié)合律：⑶數(shù)乘分配律：二 空間向量的基本定理知識點1. 共線向量(1)如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量，平行于，記作。當我們說向量、共線(或//)時，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線。(2)共線向量定理：空間任意兩個向量、(≠)，//存在實數(shù)λ，使＝λ。深化：(1)對于空間中的任意兩個向量來說都是共面的，但三個向量不一定共面．(2)當p、a、b都是非零向量時，共面向量定理實際上也是p、a、b所在的三條直線共面的充要條件，但用于判定時，還需證明其中一條直線上有一點在另外兩直線確定的平面內(nèi)．2. 共面向量(1)定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說明：空間任意的兩向量都是共面的。(2)共面向量定理：如果兩個向量不共線，與向量共面的條件是存在實數(shù)使。3. 空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組，使。若三向量不共面，我們把叫做空間的一個基底，叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底。推論：設(shè)是不共面的四點，則對空間任一點，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)，使。深化：(1)如果三個向量a、b、c不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是｛p|p＝xa＋yb＋zc，x、y、z∈R｝．這個集合可看作是由向量a、b、c生成的，所以我們把｛a，b，c｝叫做空間的一個基底，a、b、c都叫做基向量．由上述定理可知，空間任意三個不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個基底．(2)推論中，若x＋y＋z＝１，則根據(jù)共面向量定理得：P、A、B、C四點共面．故可看成平面ABC的一個向量參數(shù)方程，其中x, y，z為參數(shù).三 向量的數(shù)量積(一)平面向量(二) 空間向量(1)空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量，在空間任取一點，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規(guī)定，顯然有；若，則稱與互相垂直，記作：。(2)向量的模：設(shè)，則有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作：。(3)向量的數(shù)量積：已知向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即。(4)空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：①；②；③。(5)空間向量數(shù)量積運算律：①；②(交換律)；③(分配律)。四 空間向量的直角坐標運算：(1)若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為，這個基底叫單位正交基底，用表示；(2)在空間選定一點和一個單位正交基底，以點為原點，分別以的方向為正方向建立三條數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標軸．我們稱建立了一個空間直角坐標系，點叫原點，向量 都叫坐標向量．通過每兩個坐標軸的平面叫坐標平面，分別稱為平面，平面，平面；(3)作空間直角坐標系時，一般使(或)，；(4)在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向軸的正方向，食指指向軸的正方向，如果中指指向軸的正方向，稱這個坐標系為右手直角坐標系規(guī)定立幾中建立的坐標系為右手直角坐標系2．空間直角坐標系中的坐標：如圖給定空間直角坐標系和向量，設(shè)為坐標向量，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標系中的坐標，記作．在空間直角坐標系中，對空間任一點，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標系中的坐標，記作，叫橫坐標，叫縱坐標，叫豎坐標．如上圖3．空間向量的直角坐標運算律：(1)如右圖：若，則，， ，．(2)若，則．一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標如下圖。立體幾何一 平行關(guān)系（一） 線線平行(圖31) 1．如果兩條線都平行于第三條線，那么這兩條線 相互平行.2．如果一條線平行于另一個平面，那么這條線就 平行于過這條線的平面與已知平面的交線. 圖313．如果兩個平面平行，那么另一個平面與這兩個平面的交線互相平行.4．如果兩條直線都和另一個平面垂直，那 么這兩條直線平行.5．在同一平面內(nèi)，如果兩條直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行.（二） 線面平行(圖32)1．如果平面外一條直線平行于平面內(nèi)的一條 圖32直線，那么直線與平面平行. 2．如果兩個平面平行，一個平面內(nèi)的任何一條直 線平行于另一個平面 3．如果平面與平面外一條直線同時垂直于另一條直線，那么線面平行4．如果平面與平面外一條直線同時垂直于另一個平面，那么線面平行（三） 面面平行(圖33)，那么面面平行 ，那么 這兩個平面平行 圖33，那么這兩個平面平行二 垂直關(guān)系大部分都是通過垂直證垂直；不能證明的時候，平移到另一個位置證垂直。 （一） 線線垂直 如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線。 （二） 線面垂直1．如果一條直線垂直于平面內(nèi)兩條相交的直線，那么這條直線就垂直于兩條相交直線所在的平面2．如果兩個平面垂直，在其中一個平面內(nèi)，垂直于公共棱的直線垂直于另一個平面（三） 面面垂直 (如圖34)1．過一個平面垂線的平面垂直于已知平面 2．二面角為直角的兩個平面垂直 圖34（四） 不能直接證垂直的情況 1．把已知線或面平移到容易證明垂直的位置2