【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ∴△ DEF∽△ BEA， ∴ =（ ） 2=（ ） 2= ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的是矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握矩形的性質(zhì)定理和相似三角形的判定定理、性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵． 22．（ 10 分）（ 2022?南寧）如圖，在 Rt△ ABC 中， ∠ C=90176。， BD 是角平分線，點(diǎn) O 在 AB 上，以點(diǎn) O 為圓心， OB 為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn) D，交 BC 于點(diǎn) E． （ 1）求證： AC 是 ⊙ O 的切線； （ 2）若 OB=10， CD=8，求 BE 的長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】 切線的判定． 【分析】 （ 1）連接 OD，由 BD 為角平分線得到一對(duì)角相等，根據(jù) OB=OD，等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，等量代換得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，進(jìn)而確定出 OD 與 BC平行，利用兩直線平行同位角相等得到 ∠ ODA 為直徑，即可得證； （ 2）過(guò) O 作 OG 垂直于 BE，可得出四邊形 ODCG 為矩形，在直角三角形 OBG 中，利用勾股定理求出 BG 的長(zhǎng)，由垂徑定理可得 BE=2BG． 【解答】 （ 1）證明：連接 OD， ∵ BD 為 ∠ ABC 平分線， ∴∠ 1=∠ 2， ∵ OB=OD， ∴∠ 1=∠ 3， ∴∠ 2=∠ 3， ∴ OD∥ BC， ∵∠ C=90176。， ∴∠ ODA=90176。， 則 AC 為圓 O 的切線； （ 2）解：過(guò) O 作 OG⊥ BC，連接 OE， ∴ 四邊形 ODCG 為矩形， ∴ GC=OD=OB=10， OG=CD=8， 在 Rt△ OBG 中，利用勾股定理得： BG=6， ∵ OG⊥ BE， OB=OE， ∴ BE=2BG=12． 解得： BE=12． 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵． 23．（ 10 分）（ 2022?塘沽區(qū)二模）某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)某種品牌的玩具，購(gòu)進(jìn)時(shí)的單價(jià)是 30 元，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查：在一段時(shí)間內(nèi)，銷(xiāo)售單價(jià)是 40 元時(shí)，銷(xiāo)售是 600 件，而銷(xiāo)售單價(jià)每漲 1 元，就會(huì)少售出 10 件玩具．設(shè)該種品牌玩具的銷(xiāo)售單價(jià)為 x元（ x＞ 40），銷(xiāo)售量為 y 件，銷(xiāo)售該品牌玩具獲得的利潤(rùn)為 w 元． （ Ⅰ ）根據(jù)題意，填寫(xiě)下表： 銷(xiāo)售單價(jià) x（元） 40 55 70 … x 銷(xiāo)售量 y（件） 600 450 300 … 1000﹣ 10x 銷(xiāo)售玩具獲得利潤(rùn) w（元） 6000 11250 12022 … （ 1000﹣ 10x）（ x﹣ 30） （ Ⅱ ）在（ Ⅰ ）問(wèn)條件下，若商場(chǎng)獲得了 10000 元銷(xiāo)售利潤(rùn)，求該玩具銷(xiāo)售單價(jià)x 應(yīng)定為多少元？ （ Ⅲ ）在（ Ⅰ ）問(wèn)條件下，求商場(chǎng)銷(xiāo)售該品牌玩具獲得的最大利潤(rùn)是多少？此時(shí)玩具的銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為多少？ 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)的應(yīng)用；一元二次方程的應(yīng)用． 【分析】 （ Ⅰ ）利用銷(xiāo)售單價(jià)每漲 1 元，就會(huì)少售出 10 件玩具，再結(jié)合每件玩具的利潤(rùn)乘以銷(xiāo)量 =總利潤(rùn)進(jìn)而求出即可； （ Ⅱ ）利用商場(chǎng)獲得了 10000 元銷(xiāo)售利潤(rùn)，進(jìn)而得出等式求出即可； （ Ⅲ ）利用每件玩具的利潤(rùn)乘以銷(xiāo)量 =總利潤(rùn)得出函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而求出最值即可． 【解答】 解： （ 1）填表： 銷(xiāo)售單價(jià) x（元） 40 55 70 … x 銷(xiāo)售量 y（件） 600 450 300 … 1000﹣ 10x 銷(xiāo)售玩具獲得利潤(rùn) w（元） 6000 11250 12022 … （ 1000﹣ 10x）（ x﹣ 30） （ Ⅱ ） [600﹣ 10（ x﹣ 40） ]（ x﹣ 30） =10000， 解得： x1=50， x2=80， 答：該玩具銷(xiāo)售單價(jià) x 應(yīng)定為 50 元或 80 元； （ Ⅲ ） w=[600﹣ 10（ x﹣ 40） ]（ x﹣ 30） =﹣ 10x2+1300x﹣ 30000=﹣ 10（ x﹣ 65）2+12250， ∵ a=﹣ 10＜ 0， ∴ 對(duì)稱(chēng)軸為 x=65， ∴ 當(dāng) x=65 時(shí)， W 最大值 =12250（元） 答：商場(chǎng)銷(xiāo)售該品牌玩具獲得的最大利潤(rùn)是 12250 元，此時(shí)玩具的銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為 65 元． 【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用以及二次函數(shù)的應(yīng)用，得出 w 與 x的函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵． 24．（ 10 分）（ 2022 秋 ?天津期末）如圖 1 所示，將一個(gè)邊長(zhǎng)為 2 的正方形 ABCD和一個(gè)長(zhǎng)為 2，寬為 1 的長(zhǎng)方形 CEFD 拼在一起，構(gòu)成一個(gè)大的長(zhǎng)方形 ABEF，現(xiàn)將小長(zhǎng)方形 CEFD 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至 CE′F′D′，旋轉(zhuǎn)角為 α． （ 1）當(dāng)邊 CD′恰好經(jīng)過(guò) EF 的中點(diǎn) H 時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角 α 的大??； （ 2）如圖 2， G 為 BC 中點(diǎn)，且 0176。＜ α＜ 90176。，求證： GD′=E′D； （ 3）小長(zhǎng)方形 CEFD繞點(diǎn) C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中， △ DCD′與 △ BCD′能否全等？若能，直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)角 α 的大?。蝗舨荒?，說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】 四邊形綜合題． 【分析】 （ 1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得 CE=CH=1，即可得出結(jié)論； （ 2）由 G為 BC中點(diǎn)可得 CG=CE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得 ∠ D′CE′=∠ DCE=90176。， CE=CE′CE，則 ∠ GCD′=∠ DCE′=90176。+α，然后根據(jù) “SAS”可判斷 △ GCD′≌△ E′CD，則 GD′=E′D； （ 3）根據(jù)正方形的性質(zhì)得 CB=CD，而 CD=CD′，則 △ BCD′與 △ DCD′為腰相等的兩等腰三角形，當(dāng)兩頂角相等時(shí)它們?nèi)?，?dāng) △ BCD′與 △ DCD′為鈍角三角形時(shí)，可計(jì)算出 α=135176。，當(dāng) △ BCD′與 △ DCD′為銳角三角形時(shí)，可計(jì)算得到 α=315176。． 【解答】 （ 1）解： ∵ 長(zhǎng)方形 CEFD 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至 CE′F′D′， ∴ CE=CH=1， ∴△ CEH 為等腰直角三角形， ∴∠ ECH=45176。， ∴∠ α=30176。； （ 2）證明： ∵ G 為 BC 中點(diǎn)， ∴ CG=1， ∴ CG=CE， ∵ 長(zhǎng)方形 CEFD 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至 CE′F′D′， ∴∠ D′CE′=∠ DCE=90176。， CE=CE′=CG， ∴∠ GCD′=∠ DCE′=90176。+α， 在 △ GCD′和 △ E′CD 中 ， ∴△ GCD′≌△ E′CD（ SAS）， ∴ GD′=E′D； （ 3）解：能． 理由如下： ∵ 四邊形 ABCD 為正方形， ∴ CB=CD， ∵ CD′=CD′， ∴△ BCD′與 △ DCD′為腰相等的兩等腰三角形， 當(dāng) ∠ BCD′=∠ DCD′時(shí)， △ BCD′≌△ DCD′， 當(dāng) △ BCD′與 △ DCD′為鈍角三角形時(shí)，則旋轉(zhuǎn)角 α= =135176。， 當(dāng) △ BCD′與 △ DCD′為銳角三角形時(shí)， ∠ BCD′=∠ DCD′= ∠ BCD=45176。 則 α=360176。﹣ =315176。， 即旋轉(zhuǎn)角 a 的值為 135176?；?315176。時(shí)， △ BCD′與 △ DCD′全等 【點(diǎn)評(píng)】 此題是四邊形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了正方形、矩形的性質(zhì)以及三角形全等的判定與性質(zhì)． 25．（ 10 分）（ 2022?昆明）如圖 1，對(duì)稱(chēng)軸為直線 x= 的拋物線經(jīng)過(guò) B（ 2， 0）、C（ 0， 4）兩點(diǎn)，拋物線與 x 軸的另一交點(diǎn)為 A （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）若點(diǎn) P 為第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，設(shè)四邊形 COBP 的面積為 S，求 S 的最大值； （ 3）如圖 2，若 M 是線段 BC 上一動(dòng)點(diǎn)，在 x 軸是否存在這樣的點(diǎn) Q，使 △ MQC為等腰三角形且 △ MQB 為直角三角形？若存在，求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題． 【分析】 （ 1）由對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)性得出點(diǎn) A 的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法求出拋物線的解析式； （ 2）作輔助線把四邊形 COBP 分成梯形和直角三角形，表示出面積 S，化簡(jiǎn)后是一個(gè)關(guān)于 S 的二次函數(shù)，求最值即可； （ 3）畫(huà)出符合條件的 Q 點(diǎn)，只 有一種， ① 利用平行相似得對(duì)應(yīng)高的比和對(duì)應(yīng)邊的比相等列比例式； ② 在直角 △ OCQ 和直角 △ CQM 利用勾股定理列方程；兩方程式組成方程組求解并取舍． 【解答】 解：（ 1）由對(duì)稱(chēng)性得： A（﹣ 1， 0）， 設(shè)拋物線的解析式為： y=a（ x+1）（ x﹣ 2）， 把 C（ 0， 4）代入： 4=﹣ 2a， a=﹣ 2， ∴ y=﹣ 2（ x+1）（ x﹣ 2）， ∴ 拋物線的解析式為： y=﹣ 2x2+2x+4； （ 2）如圖 1，設(shè)點(diǎn) P（ m，﹣ 2m2+2m+4），過(guò) P 作 PD⊥ x 軸，垂足為 D， ∴ S=S 梯形 +S△ PDB= m（﹣ 2m2+2m+4+4） + （﹣ 2m2+2m+4）（ 2﹣ m）， S=﹣ 2m2+4m+4=﹣ 2（ m﹣ 1） 2+6， ∵ ﹣ 2＜ 0， ∴ S 有最大值，則 S 大 =6； （ 3）存在這樣的點(diǎn) Q，使 △ MQC 為等腰三角形且 △ MQB 為直角三角形， 理由是： 分以下兩種情況： ① 當(dāng) ∠ BQM=90176。時(shí)，如圖 2： ∵∠ CMQ＞ 90176。， ∴ 只能 CM=MQ． 設(shè)直線 BC 的解析式為： y=kx+b（ k≠ 0）， 把 B（ 2， 0）、 C（ 0， 4）代入得： ， 解得： ， ∴ 直線 BC 的解析式為： y=﹣ 2x+4， 設(shè) M（ m，﹣ 2m+4）， 則 MQ=﹣ 2m+4， OQ=m， BQ=2﹣ m， 在 Rt△ OBC 中， BC= = =2 ， ∵ MQ∥ OC， ∴△ BMQ∽ BCO， ∴ ，即 ， ∴ BM= （ 2﹣ m） =2 ﹣ m， ∴ CM=BC﹣ BM=2 ﹣（ 2 ﹣ m） = m， ∵ CM=MQ， ∴ ﹣ 2m+4= m， m= =4 ﹣ 8． ∴ Q（ 4 ﹣ 8， 0）． ② 當(dāng) ∠ QMB=90176。時(shí)，如圖 3： 同理可設(shè) M（ m，﹣ 2m+4）， 過(guò) A 作 AE⊥ BC，垂足為 E， 則 AE 的解析式為： y= x+ ， 則直線 BC 與直線 AE 的交點(diǎn) E（ ， ）， 設(shè) Q（﹣ x， 0）（ x＞ 0）， ∵ AE∥ QM， ∴△ ABE∽△ QBM， ∴ ① ， 由勾股定理得： x2+42=2 [m2+（﹣ 2m+4﹣ 4） 2]② ， 由以上兩式得： m1=4（舍）， m2= ， 當(dāng) m= 時(shí)， x= ， ∴ Q（﹣ ， 0）． 綜上所述， Q 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 4 ﹣ 8， 0）或（﹣ ， 0）． 【點(diǎn)評(píng)】 本題是二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)；考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，并利用方程組求圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，將函數(shù)和方程有機(jī)地結(jié)合，進(jìn)一步把函數(shù)簡(jiǎn)單化；同時(shí)還考查了相似的性質(zhì)：在二次函數(shù)的問(wèn)題中，如果利用勾股定理不能求的邊可以考慮利用相似的性質(zhì)求解． 九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 3 分，共 36 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．若將一個(gè)正方形的各邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的 4 倍，則這個(gè)正方形的面積擴(kuò)大為原來(lái)的（ ） A． 16 倍 B． 8 倍 C． 4 倍 D． 2 倍 2．下列圖案中，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（ ） A． B． C． D． 3．下列隨機(jī)事件的概率，既可以用列舉法求得，又可以用頻率估計(jì)獲得的是（ ） A．某種幼苗在一定條件下的移植成活率 B．某種柑橘在某運(yùn)輸過(guò)程中的損壞率 C．某運(yùn)動(dòng)員在某種條件下 “射出 9 環(huán)以上 ”的概率 D．投擲一枚均勻的骰子，朝上一面為偶數(shù)的概率 4．正六邊形的邊長(zhǎng)為 2，則它的面積為（ ） A． B． C． 3 D． 6 5．袋中裝有除顏色外完全相同的 a 個(gè)白球、 b 個(gè)紅球、 c 個(gè)黃球，則任意摸出一個(gè)球是黃球的概率為（ ） A． B． C． D． 6．如圖，鐵路道口的欄桿短臂長(zhǎng) 1m，長(zhǎng)臂長(zhǎng) 16m．當(dāng)短臂端點(diǎn)下降 時(shí)，長(zhǎng)臂端點(diǎn)升高（桿的寬度忽略不計(jì)）（ ） A． 4m B． 6m C． 8m D． 12m 7．下列說(shuō)法正確的是（ ） A．兩個(gè)大小 不同的正三角形一定是位似圖形 B．相似的兩個(gè)五邊形一定是位似圖形 C．所有的正方形都是位似圖形 D．兩個(gè)位似圖形一定是相似圖形 8．如圖，將 △ ABC 繞點(diǎn) C（ 0，﹣ 1）旋轉(zhuǎn) 180176。得到 △ A39。B39。C，設(shè)點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（ a，b），則點(diǎn) A′的坐標(biāo)為（ ） A．（﹣ a，﹣ b） B．（﹣ a．﹣ b﹣ 1） C．（﹣ a，﹣ b+1） D．（﹣ a，