【文章內(nèi)容簡介】 可以證得 △ ADC≌△ ECD； （ 2）利用等腰三角形的 “三合一 ”性質(zhì)推知 AD⊥ BC，即 ∠ ADC=90176。；由平行四邊形的判定定理（對邊平行且相等是四邊形是平行四邊形）證得四邊形 ADCE 是平行四邊形，所以有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形． 【解答】 證明：（ 1） ∵ 四邊形 ABDE 是平行四邊形（已知）， ∴ AB∥ DE， AB=DE（平行四邊形的對邊平行且相等）； ∴∠ B=∠ EDC（兩直線平行，同位角相等）； 又 ∵ AB=AC（已知）， ∴ AC=DE（等量代換）， ∠ B=∠ ACB（等邊對等角）， ∴∠ EDC=∠ ACD（等量代換）； ∵ 在 △ ADC 和 △ ECD 中， ， ∴△ ADC≌△ ECD（ SAS）； （ 2） ∵ 四邊形 ABDE 是平行四邊形（已知）， ∴ BD∥ AE， BD=AE（平行四邊形的對邊平行且相等）， ∴ AE∥ CD； 又 ∵ BD=CD， ∴ AE=CD（等量代換）， ∴ 四邊形 ADCE 是平行四邊形（對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）； 在 △ ABC 中， AB=AC， BD=CD， ∴ AD⊥ BC（等腰三角形的 “三合一 ”性質(zhì)）， ∴∠ ADC=90176。， ∴ ?ADCE 是矩形． 【點(diǎn)評】 本題綜合考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定以及矩形的判定．注意：矩形的判定定理是 “有一個(gè)角是直角的 ‘平行四邊形 ’是矩形 ”，而不是 “有一個(gè)角是直角的 ‘四邊形 ’是矩形 ”． 21．某商場試銷一種商品，成本為每件 100 元，一段時(shí)間后，發(fā)現(xiàn)銷售量 y（件）與銷售單價(jià) x（元）之間的函數(shù)關(guān)系如下表： 銷售單價(jià) x（元） … 130 135 140 145 … 銷售量 y（件） … 240 230 220 210 … （ 1）請根據(jù)表格中所給數(shù)據(jù)，求出 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式； （ 2）設(shè)商場所獲利潤為 w 元，將商品銷售單價(jià)定為多少時(shí)，才能使所獲利潤最大？最大利潤是多少？ 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】 （ 1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可以判斷出 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系，從而可以解答本題； （ 2）根據(jù)題意可以得到 w 與 x 的函數(shù)關(guān)系，然后化為頂點(diǎn)式，從而可以解答本題． 【解答】 解：（ 1）由表格可知 y 與 x 成一次函數(shù)關(guān)系，設(shè) y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式為 y=kx+b， ， 解得， ， 即 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式是 y=﹣ 2x+500； （ 2）由題意可得， w=（ x﹣ 100）（﹣ 2x+500） =﹣ 2（ x﹣ 175） 2+11250， ∴ 當(dāng) x=175 時(shí)， w 取得最大值，此時(shí) w=11250， 即將商品銷售單價(jià)定為 175 元時(shí)，才能使所獲利潤最大，最大利潤是 11250 元． 【點(diǎn)評】 本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件． 22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，點(diǎn) A（ a，﹣ ）在直線 y=﹣ 上，AB∥ y 軸，且點(diǎn) B 的縱坐標(biāo)為 1，雙曲線 y= 經(jīng)過點(diǎn) B． （ 1）求 a 的值及雙曲線 y= 的解析式； （ 2）經(jīng)過點(diǎn) B 的直線與雙曲線 y= 的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn) C，且 △ ABC 的面積為 ． ① 求直線 BC 的解析式； ② 過點(diǎn) B 作 BD∥ x 軸交直線 y=﹣ 于點(diǎn) D，點(diǎn) P 是直線 BC 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若將 △ BDP 以它的一邊為對稱軸進(jìn)行翻折，翻折前后的兩個(gè)三角形所組成的四邊形為正方形，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo)． 【考點(diǎn)】 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題． 【分析】 （ 1）根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得到﹣ a﹣ = ，解得 a=2，則 A（ 2，﹣ ），再確定點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ 2， 1），然后把 B 點(diǎn)坐標(biāo)代入 y= 中求出 m 的值即可得到反比例函數(shù)的解析式； （ 2） ① 設(shè) C（ t， ），根據(jù)三角形面積公式得到 （ 2﹣ t） （ 1+ ） = ，解得 t=﹣ 1，則點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（﹣ 1，﹣ 2），再利用待定系數(shù)法求直線 BC 的解析式； ② 先確定 D（﹣ 1， 1），根據(jù)直線 BC 解析式的特征可得直線 BC 與 x 軸的夾角為45176。，而 BD∥ x 軸，于是得到 ∠ DBC=45176。，根據(jù)正方形的判定方法，只有 △ PBD 為等腰直角三角形時(shí)，以它的一邊為對稱軸進(jìn)行翻折，翻折前后的兩個(gè)三角形所組成的四邊形為正方形，分類討論：若 ∠ BPD=90176。，則點(diǎn) P 在 BD 的垂直平分線上，易得此時(shí) P（ ，﹣ ）；若 ∠ BDP=90176。，利用 PD∥ y 軸，易得此時(shí) P（﹣ 1，﹣ 2）． 【解答】 解：（ 1） ∵ 點(diǎn) A（ a， ）在直線 y=﹣ 上， ∴ ﹣ a﹣ = ，解得 a=2， 則 A（ 2，﹣ ）， ∵ AB∥ y 軸，且點(diǎn) B 的縱坐標(biāo)為 1， ∴ 點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ 2， 1）． ∵ 雙曲線 y= 經(jīng)過點(diǎn) B（ 2， 1）， ∴ m=2 1=2， ∴ 反比例函數(shù)的解析式為 y= ； （ 2） ① 設(shè) C（ t， ）， ∵ A（ 2，﹣ ）， B（ 2， 1）， ∴ （ 2﹣ t） （ 1+ ） = ， 解得 t=﹣ 1， ∴ 點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（﹣ 1，﹣ 2）， 設(shè)直線 BC 的解析式為 y=kx+b， 把 B（ 2， 1）， C（﹣ 1，﹣ 2）代入得 ， 解得 ， ∴ 直線 BC 的解析式為 y=x﹣ 1； ② 當(dāng) y=1 時(shí)，﹣ =1，解得 x=﹣ 1，則 D（﹣ 1， 1）， ∵ 直線 BCy=x﹣ 1 為直線 y=x 向下平移 1 個(gè)單位得到， ∴ 直線 BC 與 x 軸的夾角為 45176。， 而 BD∥ x 軸， ∴∠ DBC=45176。， 當(dāng) △ PBD 為等腰直角三角形時(shí)，以它的一邊為對稱軸進(jìn)行翻折，翻折前后的兩個(gè)三角形所組成的四邊形為正方形， 若 ∠ BPD=90176。，則點(diǎn) P 在 BD 的垂直平分線上， P 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ，當(dāng) x= 時(shí)， y=x﹣ 1=﹣ ，此時(shí) P（ ，﹣ ）， 若 ∠ BDP=90176。，則 PD∥ y 軸， P 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣ 1，當(dāng) x=﹣ 1 時(shí)， y=x﹣ 1=﹣ 2，此時(shí) P（﹣ 1，﹣ 2）， 綜上所述，滿足條件的 P 點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣ 1，﹣ 2）或（ ， ）． 【點(diǎn)評】 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無解，則兩者無交點(diǎn)．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和正方形的判定方法． 23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形 ABCD 是平行四邊形，線段 AD=6，二次函數(shù) y=﹣ x2﹣ x+4 與 y 軸交于 A 點(diǎn)，與 x 軸分別交于 B 點(diǎn)、 E 點(diǎn)（ B 點(diǎn)在 E點(diǎn)的左側(cè)） （ 1）分別求 A、 B、 E 點(diǎn)的坐標(biāo)； （ 2）連接 AE、 OD，請判斷 △ AOE 與 △ AOD 是否相似并說明理由； （ 3）若點(diǎn) M 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，則在直線 AB 上是否存在點(diǎn) F，使以 A、 C、 F、M 為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，直接寫出 F 點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由． 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題． 【分析】 （ 1）分別將 x=0 和 y=0 代入可求得 A、 B、 E 點(diǎn)的坐標(biāo)； （ 2）根據(jù)坐標(biāo)求出 AO 和 OE 的長，將兩個(gè)直角三角形對應(yīng)小直角邊計(jì)算比值為，對應(yīng)大直角邊計(jì)算比值也是 ，所以根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等，所以兩三角形相似； （ 3）只需要滿足 △ ACF 為等腰三角形，即可找到對應(yīng)的菱形，所以構(gòu)建 △ ACF為等腰三角形有四種情況： ① 以 A 為圓心畫圓，交直線 AB 于 F F2， ② 作 AC的中垂線交直線 AB 于 F3， ③ 以 C 為圓心，以 AC 為半徑，畫圓交直線 AB 于 F4，利用勾股定理列式可求得點(diǎn) F 的坐標(biāo)． 【解答】 解：（ 1）當(dāng) x=0 時(shí)， y=4， ∴ A（ 0， 4）， 當(dāng) y=0 時(shí)，﹣ x2﹣ x+4=0， 2x2+x﹣ 24=0， （ x+3）（ 3x﹣ 8） =0， x1=﹣ 3， x2= ， ∴ B（﹣ 3， 0）， E（ ， 0）； （ 2） △ AOE 與 △ AOD 相似，理由是： ∵ A（ 0， 4）， ∴ OA=4， ∵ E（ ， 0）， ∴ OE= ， ∴ = = ， = ， ∴ ， ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴ AD∥ BC， ∵ BC⊥ AO， ∴ AD⊥ AO， ∴∠ OAD=∠ AOE=90176。， ∴△ AOE∽△ DAO， （ 3）如圖 2，在 Rt△ AOC 中， AC=4， OC=3， ∴ AC=5， 同理 AB=5， ∴△ ABC 是等腰三角形， ∴ 當(dāng) F 與 B 重合時(shí)，存在 A、 C、 F、 M 為頂點(diǎn)的四邊形為菱形， 即 F1（﹣ 3， 0）， 當(dāng) AF2=AB=5 時(shí)， △ AF2C 是等腰三角形，存在 A、 C、 F、 M 為頂點(diǎn)的四邊形為菱形， 此時(shí) F2 與 B 關(guān)于點(diǎn) A 對稱， ∴ F2（ 3， 8）， 設(shè)直線 AB 的解析式為： y=kx+b， 把 A（ 0， 4）， B（﹣ 3， 0）代入得： ， 解得： ， ∴ 直線 AB 的解析式為： y= x+4， 如圖 2，作 AC 的中垂線 l，交直線 AB 于 F3，連接 F3C，分別過 A、 F3 作 x 軸、 y軸的平行線，交于 H， HF3 交 x 軸于 G， 則 AF3=F3C， 設(shè) F3（ x， x+4）， 則 = ， （﹣ x） 2+（ 4﹣ x﹣ 4） 2=（﹣ x﹣ 4） 2+（﹣ x+3） 2， x=﹣ ， 當(dāng) x=﹣ 時(shí)， y= +4=﹣ ， ∴ F3（﹣ ，﹣ ）； 如圖 3，以 C 為圓心，以 AC 為半徑，畫圓交直線 AB 于 F4，過 F4 作 F4P⊥ x 軸于P，則 AC=F4C， 設(shè) F4（ x， x+4）， 則 ， =0， 25x2+42x=0， x（ 25x+42） =0， x1=0（舍）， x2=﹣ ， 當(dāng) x=﹣ 時(shí)， y= ， ∴ F4（﹣ ， ）， 綜上所述， F 點(diǎn)的坐標(biāo)為： F1（﹣ 3， 0）， F2（ 3， 8）， F3（﹣ ，﹣ ）， F4（﹣ ， ）． 【點(diǎn)評】 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、平行四邊形、菱形和等腰三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定，在構(gòu)建等腰三角形時(shí)，分三種情況進(jìn)行討論，根據(jù)腰長相等并與勾股定理相結(jié)合列式解決問題． 九年級（上）期末數(shù)學(xué)模擬試卷 一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 3 分，共 36 分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的） 1．若反比例函數(shù) y=﹣ 的圖象經(jīng)過點(diǎn) A（ 3， m），則 m 的值是（ ） A．﹣ 3 B． 3 C．﹣ D． 2．下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ） A． B． C． D． 3．下列事件中，必然發(fā)生的是（ ） A．某射擊運(yùn)動(dòng)射擊一次，命中靶心 B．拋一枚硬幣，落地后正面朝上 C．?dāng)S一次骰子，向上的一面是 6 點(diǎn) D．通常加熱到 100℃ 時(shí)，水沸騰 4．如圖，直線 y=kx 與雙曲線 y=﹣ 交于 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）兩點(diǎn)，則 2x1y2﹣ 8x2y1 的值為（ ） A．﹣ 6 B．﹣ 12 C． 6 D． 12 5．如圖，已知經(jīng)過原點(diǎn)的 ⊙ P 與 x、 y 軸分別交于 A、 B 兩點(diǎn)，點(diǎn) C 是劣弧 OB上一點(diǎn)，則 ∠ ACB=（ ） A． 80176。 B． 90176。 C． 100176。 D．無法確定 6．在直徑為 200cm 的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油以后，截面如圖．若油面的寬AB=160cm，則油的最大深度為（ ） A． 40cm B． 60cm C． 80cm D． 100cm 7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) B、 C、 E、在 y 軸上， Rt△ ABC 經(jīng)過變換得到Rt△ ODE．若點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（ 0， 1）， AC=2，則這種變換可以是（ ） A． △ ABC 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。，再向下平移 3 B． △ ABC 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。，再向下平移 1 C． △ ABC 繞點(diǎn) C 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。，再向下平移 1 D． △ ABC 繞點(diǎn) C 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。，再向下平移 3 8．若二次函數(shù) y=（ m+1） x2﹣ mx+m2﹣ 2m﹣ 3 的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則 m 的值必為（ ） A．﹣ 1 或 3 B．﹣ 1 C． 3 D．﹣ 3 或 1 9．圓的面積公式 S=πR2 中， S 與 R 之間的關(guān)系是（ ） A． S 是 R 的正比例函數(shù) B． S 是 R 的一次函數(shù) C． S 是 R 的二次函數(shù) D．