【文章內(nèi)容簡介】 23．如圖，在邊長為 1 個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，給出了格點 △ ABC（頂點是網(wǎng)格線的交點）． （ 1）將 △ ABC 繞點 B 順時針旋轉(zhuǎn) 90176。得到 △ A′BC′，請畫出 △ A′BC′，并求 BA 邊旋轉(zhuǎn)到 BA′位置時所掃過圖形的面積； （ 2）請在網(wǎng)格中畫出一個格點 △ A″B″C″，使 △ A″B″C″∽△ ABC，且相似比不為 1． 第 20 頁（共 55 頁） 【考點】 作圖 旋轉(zhuǎn)變換；作圖 —相似變換． 【分析】 （ 1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出各對應(yīng)點位置進而利用扇形面積公式得出答案； （ 2）利用相似三角形的性質(zhì)將各邊擴大 2 倍，進而得出答案． 【解答】 解；（ 1）如圖所示： △ A′BC′即為所求， ∵ AB= = ， ∴ BA 邊旋轉(zhuǎn)到 BA″位置時所掃過圖形的面積為： = ； （ 2）如圖所示： △ A″B″C″∽△ ABC，且相似比為 2． 【點評】 此題主要考查了相似變換以及旋轉(zhuǎn)變換，得出對應(yīng)點位置是解題關(guān)鍵． 24．如果關(guān)于 x 的函數(shù) y=ax2+（ a+2） x+a+1 的圖象與 x 軸只有一個公共點，求實數(shù) a 的值． 【考點】 拋物線與 x 軸的交點． 【分析】 分類討論：當(dāng) a=0 時，原函數(shù)化為一次函數(shù)，而已次函數(shù)與 x 軸只有一個公共點；當(dāng) a≠ 0 時，函數(shù) y=ax2+（ a+2） x+a+1 為二次函數(shù)，根據(jù)拋物線與 x第 21 頁（共 55 頁） 軸的交點問題，當(dāng) △ =（ a+2） 2﹣ 4a（ a+1） =0 時，它的圖象與 x 軸只有一個公共點，然后解關(guān)于 a 的一元二次方程得到 a 的值，最后綜合兩種情況即可得到實數(shù)a 的值． 【解答】 解：當(dāng) a=0 時，函數(shù)解析式化為 y=2x+1，此一次函數(shù)與 x 軸只有一個公共點； 當(dāng) a≠ 0 時，函數(shù) y=ax2+（ a+2） x+a+1 為二次函數(shù)，當(dāng) △ =（ a+2） 2﹣ 4a（ a+1）=0 時，它的圖象與 x 軸只有一個公共點， 整理得 3a2﹣ 4=0，解得 a=177。 ， 綜上所述，實數(shù) a 的值為 0 或 177。 ． 【點評】 本題考查了拋物線與 x 軸的交點：對于二次函數(shù) y=ax2+bx+c（ a， b， c是常數(shù)， a≠ 0）， △ =b2﹣ 4ac 決定拋物線與 x 軸的交點個數(shù)：當(dāng) △ =b2﹣ 4ac＞ 0時，拋物線與 x 軸有 2 個交點；當(dāng) △ =b2﹣ 4ac=0 時，拋物線與 x 軸有 1 個交點；當(dāng) △ =b2﹣ 4ac＜ 0 時，拋物線與 x 軸沒有交點． 25．如圖，已知 A（ n，﹣ 2）， B（ 1， 4）是一次函數(shù) y=kx+b 的圖象和反比例函數(shù) y= 的圖象 的兩個交點，直線 AB 與 y 軸交于點 C． （ 1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的關(guān)系式； （ 2）求 △ AOC 的面積； （ 3）求不等式 kx+b﹣ ＜ 0 的解集．（直接寫出答案） 【考點】 反比例函數(shù)綜合題；不等式的解集；一次函數(shù)的圖象． 【分析】 （ 1）由 B 點在反比例函數(shù) y= 上，可求出 m，再由 A 點在函數(shù)圖象上，由待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式； 第 22 頁（共 55 頁） （ 2）由上問求出的函數(shù)解析式聯(lián)立方程求出 A， B， C 三點的坐標(biāo)，從而求出 △AOC 的面積； （ 3）由圖象觀察函數(shù) y= 的圖象在一次函數(shù) y=kx+b 圖象的上方，對應(yīng)的 x 的范圍． 【解答】 解：（ 1） ∵ B（ 1， 4）在反比例函數(shù) y= 上， ∴ m=4， 又 ∵ A（ n，﹣ 2）在反比例函數(shù) y= 的圖象上， ∴ n=﹣ 2， 又 ∵ A（﹣ 2，﹣ 2）， B（ 1， 4）是一次函數(shù) y=kx+b 的上的點，聯(lián)立方程組解得， k=2， b=2， ∴ ， y=2x+2； （ 2）過點 A 作 AD⊥ CD， ∵ 一次函數(shù) y=kx+b 的圖象和反比例函數(shù) y= 的圖象的兩個交點為 A， B，聯(lián)立方程組解得， A（﹣ 2，﹣ 2）， B（ 1， 4）， C（ 0， 2）， ∴ AD=2， CO=2， ∴△ AOC 的面積為： S= AD?CO= 2 2=2； （ 3）由圖象知：當(dāng) 0＜ x＜ 1 和﹣ 2＜ x＜ 0 時函數(shù) y= 的圖象在一次函數(shù) y=kx+b圖象的上方， ∴ 不等式 kx+b﹣ ＜ 0 的解集為： 0＜ x＜ 1 或 x＜ ﹣ 2． 第 23 頁（共 55 頁） 【點評】 此題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)及圖象，考查用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，還間接考查函數(shù)的增減性，從而來解不等式． 26．如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中， ⊙ P 與 y 軸相切于點 C， ⊙ P 的半徑是 4，直線 y=x 被 ⊙ P 截得的弦 AB 的長為 ，求點 P 的坐標(biāo)． 【考點】 切線的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；勾股定理；垂徑定理． 【分析】 過點 P 作 PH⊥ AB 于 H， PD⊥ x 軸于 D，交直線 y=x 于 E，連結(jié) PA，根據(jù)切線的性質(zhì)得 PC⊥ y 軸，則 P 點的橫坐標(biāo)為 4，所以 E 點坐標(biāo)為（ 4， 4），易得 △ EOD 和 △ PEH 都是等腰直角三角形，根據(jù)垂徑定理由 PH⊥ AB 得 AH= AB=2，根據(jù)勾股定理可得 PH=2，于是根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得 PE= PH=2 ，則 PD=4+2 ，然后利用第一象限點的坐標(biāo)特征寫出 P 點坐標(biāo)． 【解答】 解：過點 P 作 PH⊥ AB 于 H， PD⊥ x 軸于 D，交直線 y=x 于 E，連結(jié) PA， ∵⊙ P 與 y 軸相切于點 C， ∴ PC⊥ y 軸， ∴ P 點的橫坐標(biāo)為 4， ∴ E 點坐標(biāo)為（ 4， 4）， ∴△ EOD 和 △ PEH 都是等腰直角三角形， ∵ PH⊥ AB， 第 24 頁（共 55 頁） ∴ AH= AB=2 ， 在 △ PAH 中， PH= = =2， ∴ PE= PH=2 ， ∴ PD=4+2 ， ∴ P 點坐標(biāo)為（ 4， 4+2 ）． 【點評】 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了垂徑定理． 27．已知關(guān)于 x 的一元二次方程 x2+2x+ =0 有實數(shù)根， k 為正整數(shù)． （ 1）求 k 的值； （ 2）當(dāng)此方程有兩個非零的整數(shù)根時，將關(guān)于 x 的二次函數(shù) y=x2+2x+ 的圖象向下平移 9 個單位，求平移后的圖象的表達式； （ 3）在（ 2）的條件下，平移后的二次函數(shù)的圖象與 x 軸交于點 A， B（點 A 在點 B 左側(cè)），直線 y=kx+b（ k＞ 0）過點 B，且與拋物線的另一個交點為 C，直線BC 上方的拋物線與線段 BC 組成新的圖象，當(dāng)此新圖象的最小值大于﹣ 5 時，求k 的取值范圍． 【考點】 二次函數(shù)綜合題． 【分析】 （ 1）根據(jù)方程有實數(shù)根可得 △≥ 0，求出 k 的取值范圍，然后根據(jù) k 為正整數(shù)得出 k 的值； （ 2）根據(jù)方程有兩個非零的整數(shù)根進行判斷，得出 k=3，然后得出函數(shù)解析式，最后根據(jù)平移的性質(zhì)求出平移后的圖象的表達式； （ 3）令 y=0，得出 A、 B 的坐標(biāo)，作出圖象，然后根據(jù)新函數(shù)的最小值大于﹣ 5，第 25 頁（共 55 頁） 求出 C 的坐標(biāo)，然后根據(jù) B、 C 的坐標(biāo)求出此時 k 的值，即可得出 k 的取值范圍． 【解答】 解：（ 1） ∵ 關(guān)于 x 的一元二次方程 x2+2x+ =0 有實數(shù)根， ∴△ =b2﹣ 4ac=4﹣ 4 ≥ 0， ∴ k﹣ 1≤ 2， ∴ k≤ 3， ∵ k 為正整數(shù)， ∴ k 的值是 1， 2， 3； （ 2） ∵ 方程有兩個非零的整數(shù)根， 當(dāng) k=1 時， x2+2x=0，不合題意，舍去， 當(dāng) k=2 時， x2+2x+ =0， 方程的根不是整數(shù)，不合題意，舍去， 當(dāng) k=3 時， x2+2x+1=0， 解得： x1=x2=﹣ 1，符合題意， ∴ k=3， ∴ y=x2+2x+1， ∴ 平移后的圖象的表達式 y=x2+2x+1﹣ 9=x2+2x﹣ 8； （ 3）令 y=0， x2+2x﹣ 8=0， ∴ x1=﹣ 4， x2=2， ∵ 與 x 軸交于點 A， B（點 A 在點 B 左側(cè)）， ∴ A（﹣ 4， 0）， B（ 2， 0）， ∵ 直線 l： y=kx+b（ k＞ 0）經(jīng)過點 B， ∴ 函數(shù)新圖象如圖所示，當(dāng)點 C 在拋物線對稱軸左側(cè)時，新函數(shù)的最小值有可能大于﹣ 5， 令 y=﹣ 5，即 x2+2x﹣ 8=﹣ 5， 解得： x1=﹣ 3， x2=1，（不合題意，舍去）， ∴ 拋物線經(jīng)過點（﹣ 3，﹣ 5）， 當(dāng)直線 y=kx+b（ k＞ 0）經(jīng)過點（﹣ 3，﹣ 5），（ 2， 0）時， 可求得 k=1， 第 26 頁（共 55 頁） 由圖象可知，當(dāng) 0＜ k＜ 1 時新函數(shù)的最小值大于﹣ 5． 【點評】 本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了根的判別式，圖象的平移，二次函數(shù)的交點問題等知識，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖象以及函數(shù)解析式進行分析求解，難度一般． 28．在矩形 ABCD 中，邊 AD=8，將矩形 ABCD 折疊，使得點 B 落在 CD 邊上的點P 處（如圖 1）． （ 1）如圖 2，設(shè)折痕與邊 BC 交于點 O，連接， OP、 OA．已知 △ OCP 與 △ PDA的面積比為 1： 4，求邊 AB 的長； （ 2）動點 M 在線段 AP 上（不與點 P、 A 重合），動點 N 在線段 AB 的延長線上，且 BN=PM，連接 MN、 CA，交于點 F，過點 M 作 ME⊥ BP 于點 E． ① 在圖 1 中畫出圖形； ② 在 △ OCP 與 △ PDA 的面積比為 1： 4 不變的情況下，試問動點 M、 N 在移動的過程中，線段 EF 的長度是否發(fā)生變化？請你說明理由． 【考點】 幾何變換綜合題． 【分析】 （ 1）根據(jù)相似三角形 △ OCP∽△ PDA 的性質(zhì)求出 PC 長以及 AP 與 OP第 27 頁（共 55 頁） 的關(guān)系，然后在 Rt△ PCO 中運用 勾股定理求出 OP 長，從而求出 AB 長； （ 2） ① 根據(jù)題意作出圖形； ② 由邊相等常常聯(lián)想到全等，但 BN 與 PM 所在的三角形并不全等，且這兩條線段的位置很不協(xié)調(diào)，可通過作平行線構(gòu)造全等，然后運用三角形全等及等腰三角形的性質(zhì)即可推出 EF 是 PB 的一半，只需求出 PB 長就可以求出 EF 長． 【解答】 解：（ 1）如圖 2， ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴∠ C=∠ D=90176。， ∴∠ 1+∠ 3=90176。， ∵ 由折疊可得 ∠ APO=∠ B=90176。， ∴∠ 1+∠ 2=90176。， ∴∠ 2=∠ 3， 又 ∵∠ D=∠ C， ∴△ OCP∽△ PDA， ∵△ OCP 與 △ PDA 的面積比為 1： 4， ∴ = = = ， ∴ CP= AD=4， 設(shè) OP=x，則 CO=8﹣ x， 在 Rt△ PCO 中， ∠ C=90176。， 由勾股定理得 x2=（ 8﹣ x） 2+42， 解得： x=5， ∴ AB=AP=2OP=10， ∴ 邊 AB 的長為 10； （ 2） ① 作圖如下： ； 第 28 頁（共 55 頁） ② 作 MQ∥ AN，交 PB 于點 Q，如圖 1． ∵ AP=AB， MQ∥ AN， ∴∠ APB=∠ ABP， ∠ ABP=∠ MQP． ∴∠ APB=∠ MQP． ∴ MP=MQ． ∵ MP=MQ， ME⊥ PQ， ∴ PE=EQ= PQ． ∵ BN=PM， MP=MQ， ∴ BN=QM． ∵ MQ∥ AN， ∴∠ QMF=∠ BNF． 在 △ MFQ 和 △ NFB 中， ， ∴△ MFQ≌△ NFB． ∴ QF=BF． ∴ QF= QB． ∴ EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB． 由（ 1）中的結(jié)論可得： PC=4， BC=8， ∠ C=90176。． ∴ PB= =4 ． ∴ EF= PB=2 ． ∴ 當(dāng)點 M、 N 在移動過程中，線段 EF 的長度不變，長度為 2 ． 第 29 頁（共 55 頁） 【點評】 本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理、特殊角的三角函數(shù)值等知識，綜合性比較強，而添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解決最后一個問題的關(guān)鍵． 29．如圖 1，在平面直角坐標(biāo)系中， O 為坐標(biāo)原點．直線 y=kx+b 與拋物線 y=mx2﹣ x+n 同時經(jīng)過 A（ 0， 3）、 B（ 4， 0）． （ 1）求 m， n 的值． （ 2）點 M 是二次函數(shù)圖象上一點，（點 M 在 AB 下方），過 M 作 MN⊥ x 軸，與 AB 交于點 N，與 x 軸交于點 Q．求 MN 的最大值． （ 3）在（ 2）的條件下，是否存在點 N，使 △ AOB 和 △