【文章內(nèi)容簡介】 y 件． （ 1）求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量 x 的取值范圍）； （ 2）如何定價才能使每星期的利潤為 1560 元？每星期的銷量是多少？ 【考點】 一元二次方程的應用． 【分析】 （ 1）依據(jù)題意易得出平均每天銷售量（ y）與漲價 x 之間的函數(shù)關(guān)系式為 y=150﹣ 10x； （ 2）一個商品原利潤為 40﹣ 30=10 元，每件漲價 x 元，現(xiàn)在利潤為（ 10+x）元；根據(jù)題意，銷售量為 150﹣ 10x，由一個商品的利潤 銷售量 =總利潤，列方程求解． 【解答】 解：（ 1） ∵ 如果售價每漲 1 元，那么每星期少賣 10 件， ∴ 每件漲價 x 元（ x 為非負整數(shù)），每星期銷量為： y=150﹣ 10x； （ 2）設每件漲價 x 元，依題意得 （ 10+x） =1560， 解這個方程，得 x1=2， x2=3， ∵ 售價不高于 45 元， ∴ x1=2， x2=3 均符合題意， 第 21 頁（共 55 頁） 當 x1=2 時，每星期的銷量是 150﹣ 10 2=130（件）； 當 x2=3 時，每星期的銷量是 150﹣ 10 3=120（件）； 答：該商品每件定價 42 元或 43 元才能使每星期的利潤為 1560 元，此時每星期的銷量是 130 件或 120 件． 24．如圖，平臺 AB 高為 12m，在 B 處測得樓房 CD 頂部點 D 的仰角為 45176。，底部點 C 的俯角為 30176。，求樓房 CD 的高度（ =）． 【考點】 解直角三角形的應用 仰角俯角問題． 【分析】 首先分析圖形，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形．本題涉及多個直角三角形，應利用其公共邊構(gòu)造關(guān)系式求解． 【解答】 解：如圖，過點 B 作 BE⊥ CD 于點 E， 根據(jù)題意， ∠ DBE=45176。， ∠ CBE=30176。． ∵ AB⊥ AC， CD⊥ AC， ∴ 四邊形 ABEC 為矩形． ∴ CE=AB=12m． 在 Rt△ CBE 中， cot∠ CBE= ， ∴ BE=CE?cot30176。=12 =12 ． 在 Rt△ BDE 中，由 ∠ DBE=45176。， 得 DE=BE=12 ． ∴ CD=CE+DE=12（ +1） ≈ ． 答：樓房 CD 的高度約為 ． 第 22 頁（共 55 頁） 六、探究與應用（每小題 10 分，共 20 分） 25．如圖，頂點 M 在 y 軸上的拋物線與直線 y=x+1 相交于 A、 B 兩點，且點 A 在x 軸上，點 B 的橫坐標為 2，連結(jié) AM、 BM． （ 1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式； （ 2）判斷 △ ABM 的形狀，并說明理由． 【考點】 待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式． 【分析】 （ 1）由條件可分別求得 A、 B 的坐標，設出拋物線解析式，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式； （ 2）結(jié)合（ 1）中 A、 B、 C 的坐標，根據(jù)勾股定理可分別求得 AB、 AM、 BM，可得到 AB2+AM2=BM2，可判定 △ ABM 為直角三角形． 【解答】 解：（ 1） ∵ A 點為直線 y=x+1 與 x 軸的交點， ∴ A（﹣ 1， 0）， 又 B 點橫坐標為 2，代入 y=x+1 可求得 y=3， ∴ B（ 2， 3）， ∵ 拋物線頂點在 y 軸上， ∴ 可設拋物線解析式為 y=ax2+c， 把 A、 B 兩點坐標代入可得 ， 第 23 頁（共 55 頁） 解得 ， ∴ 拋物線解析式為 y=x2﹣ 1； （ 2） △ ABM 為直角三角形．理由如下： 由（ 1）拋物線解析式為 y=x2﹣ 1，可知 M 點坐標為（ 0，﹣ 1）， ∴ AM2=12+12=2， AB2=（ 2+1） 2+32=18， BM2=22+（ 3+1） 2=20， ∴ AM2+AB2=2+18=20=BM2， ∴△ ABM 為直角三角形． 26．如圖，在矩形 ABCD 中， AB=3， AD=10，將 ∠ MPN 的頂點 P 在矩形 ABCD 的邊 AD 上滑動，在滑動過程中，始終保持 ∠ MPN=90176。，射線 PN 經(jīng)過點 C，射線PM 交直線 AB 于點 E，交直線 BC 于點 F． （ 1）求證： △ AEP∽△ DPC； （ 2）在點 P 的運動過程中，點 E 與點 B 能重合嗎？如果能重合，求 DP 的長； （ 3）是否存在這樣的點 P 使 △ DPC 的面積等于 △ AEP 面積的 4 倍？若存在，求出 AP 的長；若不存在，請證明理由． 【考點】 四邊形綜合題． 【分析】 （ 1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，推出 ∠ D=∠ A=90176。，再由直角三角形的性質(zhì)，得出 ∠ PCD+∠ DPC=90176。，又因 ∠ CPE=90176。，推出 ∠ EPA+∠ DPC=90176。， ∠ PCD=∠ EPA，從而證明 △ CDP∽△ PAE； （ 2）利用當 B， E 重合時，利用已知得出 △ ABP∽ DPC，進而求出 DP 的長即可； （ 3）假設存在滿足條件的點 P，設 DP=x，則 AP=10﹣ x，由 △ CDP∽△ PAE 知，求出 DP 即可． 【解答】 （ 1）證明： ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， 第 24 頁（共 55 頁） ∴∠ D=∠ A=90176。， CD=AB=6， ∴∠ PCD+∠ DPC=90176。， 又 ∵∠ CPE=90176。， ∴∠ EPA+∠ DPC=90176。， ∴∠ PCD=∠ EPA， ∴△ AEP∽△ DPC． （ 2）假設在點 P 的運動過程中，點 E 能與點 B 重合， 當 B， E 重合時， ∵∠ BPC=90176。， ∴∠ APB+∠ DPC=90176。， ∵∠ DPC+∠ DCP=90176。， ∴∠ DCP=∠ APB， ∵∠ A=∠ D， ∴△ ABP∽ DPC， ∴ = ， 即： = ， 解得： DP=1 或 9， ∴ B， E 重合時 DP 的長為 1 或 9； （ 3）存在滿足條件的點 P， ∵△ CDP∽△ PAE， 根據(jù)使 △ DPC 的面積等于 △ AEP 面積的 4 倍，得到兩三角形的相似比為 2， ∴ =2， 即 =2， 解得 AP=； 第 25 頁（共 55 頁） 九年級（上）期末數(shù)學試卷 一、選擇題（本大題共 10 小題，每小題 4 分，滿分 40 分）以下每小題都給出了 A， B， C， D 四個選項，其中只有一個是正確的，請把正確答案的代號填在表中． 1．拋物線 y=ax2+bx﹣ 3 經(jīng)過點（ 1， 1），則代數(shù)式 a+b 的值為（ ） A． 2 B． 3 C． 4 D． 6 2．在 Rt△ ABC 中， ∠ C=90176。， AB=5， AC=3．下列選項中，正確的是（ ） A． sinA= B． cosA= C． tanA= D． cotA= 3．若 ab=cd，且 abcd≠ 0，則下列式子正確的是（ ） A． a： c=b： d B． d： c=b： a C． a： b=c： d D． a： d=c： b 4．對于反比例函數(shù) ，下列說法中不正確的是（ ） A．點（﹣ 2，﹣ 1）在它的圖象上 B．它的圖象在第一、三象限 C． y 隨 x 的增大而減小 D．當 x＜ 0 時， y 隨 x 的增大而減小 5．如圖， △ ABC 中，點 D、 E 分別是 AB、 AC 的中點，則下列結(jié)論： ① BC=2DE；②△ ADE∽△ ABC； ③ ．其中正確的有（ ） 第 26 頁（共 55 頁） A． 3 個 B． 2 個 C． 1 個 D． 0 個 6． AB 為 ⊙ O 的直徑，點 C、 D 在 ⊙ O 上．若 ∠ ABD=42176。，則 ∠ BCD 的度數(shù)是（ ） A． 122176。 B． 132176。 C． 128176。 D． 138176。 7．已知點 C 在線段 AB 上，且點 C 是線段 AB 的黃金分割點（ AC＞ BC），則下列結(jié)論正確的是（ ） A． AB2=AC?BC B． BC2=AC?BC C． AC= BC D． BC= AB 8．如圖，在 △ ABC 中， AB=AC=13， BC=10，點 D 為 BC 的中點， DE⊥ AB 于點 E，則 tan∠ BDE 的值等于（ ） A． B． C． D． 9．如圖，已知點 P 是 Rt△ ABC 的斜邊 BC 上任意一點，若過點 P 作直線 PD 與直角邊 AB 或 AC 相交于點 D，截得的小三角形與 △ ABC 相似，那么 D 點的位置最多有（ ） A． 2 處 B． 3 處 C． 4 處 D． 5 處 10．如圖， Rt△ ABC 中， AC=BC=2，正方形 CDEF 的頂點 D、 F 分別在 AC、 BC 邊上，設 CD 的長度為 x， △ ABC 與正方形 CDEF 重疊部分的面積為 y，則下列圖象中能表示 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系的是（ ） 第 27 頁（共 55 頁） A． B． C． D． 二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分） 11．計算： sin60176。?cos30176。﹣ tan45176。= ． 12．如圖，點 A、 B、 C 在 ⊙ O 上， ∠ AOC=60176。，則 ∠ ABC 的度數(shù)是 ． 13．有甲、乙兩張紙條，甲紙條的寬度是乙紙條寬的 2 倍，如圖，將這兩張紙條交叉重疊地放在一起，重合部分為四邊形 ABCD．則 AB 與 BC 的數(shù)量關(guān)系為 ． 14．如圖，在正方形 ABCD 中， △ BPC 是等邊三角形， BP、 CP 的延長線分別交第 28 頁（共 55 頁） AD 于點 E、 F，連結(jié) BD、 DP， BD 與 CF 相交于點 H．給出下列結(jié)論： ①△ ABE≌△ DCF； ② = ； ③ DP2=PH?PB； ④ = ． 其中正確的是 ．（寫出所有正確結(jié)論的序號） 三、（本大題共 2 小題，每小題 8 分，滿分 16 分） 15．（ 8 分）拋物線 y=﹣ 2x2+8x﹣ 6． （ 1）用配方法求頂點坐標，對稱軸； （ 2） x 取何值時， y 隨 x 的增大而減??？ 16．（ 8 分）已知如圖， AB 是 ⊙ O 的直徑，弦 CD⊥ AB，垂足為 E，連接 AC．若∠ A=176。， CD=8cm，求 ⊙ O 的半徑． 四、（本大題共 2 小題，每小題 8 分，滿分 16 分） 17．（ 8 分）如圖， △ ABC 的頂點坐標分別為 A（ 1， 3）、 B（ 4， 2）、 C（ 2， 1）． （ 1）作出與 △ ABC 關(guān)于 x 軸對稱的 △ A 1B1C1，并寫出點 A1 的坐標； （ 2）以原點 O 為位似中心，在原點的另一側(cè)畫出 △ A2B2C2，使 = ，并寫出點 A2 的坐標． 第 29 頁（共 55 頁） 18．（ 8 分）如圖所示，我市某中學課外活動小組的同學利用所學知識去測量釜溪河沙灣段的寬度．小宇同學在 A 處觀測對岸 C 點，測得 ∠ CAD=45176。，小英同學在距 A 處 50 米遠的 B 處測得 ∠ CBD=30176。，請你根據(jù)這些數(shù)據(jù)算出河寬．（精確到 米，參考數(shù)據(jù) ≈ ， ≈ ） 五、（本大題共 2 小題，每小題 10 分，滿分 20 分） 19．（ 10 分）如圖， D 是 AC 上一點， BE∥ AC， AE 分別交 BD、 BC 于點 F、 G．若∠ 1=∠ 2，線段 BF、 FG、 FE 之間有怎樣的關(guān)系？請說明理由． 20．（ 10 分）雜技團進行雜技表演，演員從蹺蹺板右端 A 處彈跳到人梯頂端椅子 B 處，其身體（看成一點）的路線是拋物線 y= x2+3x+1 的一部分，如圖所示． （ 1）求演員彈跳離地面的最大高度； （ 2）已知人梯高 BC= 米，在一次表演中，人梯到起跳點 A 的水平距離是 4 米，問這次表演是否成功？請說明理由． 第 30 頁（共 55 頁） 六、（本題滿分 12 分） 21．（ 12 分）如圖，點 M 是 △ ABC 內(nèi)一點，過點 M 分別作直線平行于 △ ABC 的各邊，所形成的三個小三角形 △ △ △ 3（圖中陰影部分）的面積分別是 25．則 △ ABC 的面積是 ． 七、（本題滿分 12 分） 22．（ 12 分）某商場購進一批單價為 16 元的日用品，銷售一段時間后，為了獲得更多的利潤，商店決定提高價格．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若按每件 20 元的價格銷售時，每月能賣出 360 件，在此基礎上，若漲價 5 元，則每月銷售量將減少 150 件，若每月銷售量 y（件）與價格 x（元 /件）滿足關(guān)系式 y=kx+b． （ 1）求 k， b 的值； （ 2）問日用品單價應定為多少元？該商場每月獲得利潤最大，最大利潤是多少？ 八、（本題滿分 14 分） 23．（ 14 分）如圖，在 □ABCD，