【正文】 BE= CE= x， ∴ x=x+50 解之得： x=25 +25≈ ． 答：河寬為 米． 第 47 頁(yè)（共 55 頁(yè)） 【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查了三角函數(shù)的概念和應(yīng)用，解題關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，抽象到三角形中，利用三角函數(shù)進(jìn)行解答． 五、（本大題共 2 小題，每小題 10 分，滿分 20 分） 19．（ 10 分）（ 2022 秋 ?瑤海區(qū)期末）如圖， D 是 AC 上一點(diǎn)， BE∥ AC， AE 分別交 BD、 BC 于點(diǎn) F、 G．若 ∠ 1=∠ 2，線段 BF、 FG、 FE 之間有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】 相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】 根據(jù) BE∥ AC，可得 ∠ 1=∠ E，然后有 ∠ 1=∠ 2，可得 ∠ 2=∠ E，又由 ∠ GFB=∠ BFE，可得出 △ BFG∽△ EFB，最后可得出 BF2=FG?FE． 【解答】 解： BF2=FG?FE． 理由： ∵ BE∥ AC， ∴∠ 1=∠ E， ∵∠ 1=∠ 2， ∴∠ 2=∠ E， 又 ∵∠ GFB=∠ BFE， ∴△ BFG∽△ EFB， ∴ = ， 即 BF2=FG?FE． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù) BE∥ AC，得出 ∠ 1=∠ E，進(jìn)而判定 △ BFG∽△ EFB． 第 48 頁(yè)（共 55 頁(yè)） 20．（ 10 分）（ 2022?安徽）雜技團(tuán)進(jìn)行雜技表演，演員從蹺蹺板右端 A 處彈跳到人梯頂端椅子 B 處，其身體（看成一點(diǎn)）的路線是拋物線 y= x2+3x+1 的一部分，如圖所示． （ 1）求演員彈跳離地面的最大高度； （ 2）已知人梯高 BC= 米，在一次表演中，人梯到起跳點(diǎn) A 的水平距離是 4 米，問(wèn)這次表演是否成功？請(qǐng)說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】 （ 1）將二次函 數(shù)化簡(jiǎn)為 y=﹣ （ x﹣ ） 2+ ，即可解出 y 最大 的值． （ 2）當(dāng) x=4 時(shí)代入二次函數(shù)可得點(diǎn) B 的坐標(biāo)在拋物線上． 【解答】 解：（ 1）將二次函數(shù) y= x2+3x+1 化成 y= （ x ） 2 ， 當(dāng) x= 時(shí)， y 有最大值， y 最大值 = ，（ 5 分） 因此，演員彈跳離地面的最大高度是 米．（ 6 分） （ 2）能成功表演．理由是： 當(dāng) x=4 時(shí)， y= 42+3 4+1=． 即點(diǎn) B（ 4， ）在拋物線 y= x2+3x+1 上， 因此，能表演成功．（ 12 分）． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題． 六、（本題滿分 12 分） 21．（ 12 分）（ 2022 秋 ?瑤海區(qū)期末）如圖，點(diǎn) M 是 △ ABC 內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) M 分第 49 頁(yè)（共 55 頁(yè)） 別作直線平行于 △ ABC 的各邊，所形成的三個(gè)小三角形 △ △ △ 3（圖中陰影部分）的面積分別是 25．則 △ ABC 的面積是 64 ． 【考點(diǎn)】 相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】 首先過(guò) M 作 BC 的平行線交 AB、 AC 于 D、 E，過(guò) M 作 AC 平行線交 AB、BC 于 F、 H，過(guò) M 作 AB 平行線交 AC、 BC 于 I、 G，判斷出 △ 1∽△ 2∽△ 3，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，判斷出它們的邊長(zhǎng)比為 1： 2： 5；然后判斷出 BC、 DM 的關(guān)系，根據(jù)相似三角形的面積的比等于它們的相似比的平方，判斷出 S△ ABC、 S△ FDM的關(guān)系，求出 △ ABC 的面積是多少即可． 【解答】 解：如圖， ， 過(guò) M 作 BC 的平行線交 AB、 AC 于 D、 E，過(guò) M 作 AC 平行線交 AB、 BC 于 F、 H，過(guò) M 作 AB 平行線交 AC、 BC 于 I、 G， 根據(jù)題意得， △ 1∽△ 2∽△ 3， ∵△ 1： △ 2=1： 4， △ 1： △ 3=1： 25， ∴ 它們的邊長(zhǎng)比為 1： 2： 5， 又 ∵ 四邊形 BDMG 與四邊形 CEMH 為平行四邊形， ∴ DM=BG， EM=CH， 設(shè) DM 為 x， 則 BC=BG+GH+CH=x+5x+2x=8x， ∴ BC： DM=8： 1， ∴ S△ ABC： S△ FDM=64： 1， ∴ S△ ABC=1 64=64． 第 50 頁(yè)（共 55 頁(yè)） 故答案為： 64． 【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確： ① 三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似； ② 兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似； ③ 兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似． 七、（本題滿分 12 分） 22．（ 12 分）（ 2022 秋 ?瑤海區(qū)期末）某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一批單價(jià)為 16 元的日用品，銷售一段時(shí)間后，為了獲得更多的利潤(rùn)，商店決定提高價(jià)格．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若按每件 20 元的價(jià)格銷售時(shí)，每月能賣出 360 件，在此基礎(chǔ)上，若漲價(jià) 5 元，則每月銷售量將減少 150 件，若每月銷售量 y（件）與價(jià)格 x（元 /件）滿足關(guān)系式 y=kx+b． （ 1）求 k， b 的值； （ 2）問(wèn)日用品單價(jià)應(yīng)定為多少元？該商場(chǎng)每月獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？ 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】 （ 1）待定系數(shù)法求解可得； （ 2）根據(jù) “總利潤(rùn) =單件利潤(rùn) 銷售量 ”列出函數(shù)解析式，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得最 值情況． 【解答】 解：（ 1）由題意可知： ， 解得： ； （ 2）由（ 1）可知： y 與 x 的函數(shù)關(guān)系應(yīng)該是 y=﹣ 30x+960。請(qǐng)你根據(jù)這些數(shù)據(jù)算出河寬．（精確到 米，參考數(shù)據(jù) ≈ ， ≈ ） 【考點(diǎn)】 解直角三角形的應(yīng)用． 【分析】 設(shè)河寬為未知數(shù)，那么可利用三角函數(shù)用河寬表示出 AE、 EB，然后根據(jù) BE﹣ AE=50 就能求得河寬． 【解答】 解：過(guò) C 作 CE⊥ AB 于 E，設(shè) CE=x 米， 在 Rt△ AEC 中： ∠ CAE=45176。 ∴△ COE 為等腰直角三角形， ∴ OC= CE=4 cm， 即 ⊙ O 的半徑為 4 cm． 【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查了圓周角定理、垂徑定理、以及三角函數(shù)的應(yīng)用；關(guān)鍵是掌握?qǐng)A周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半． 四、（本大題共 2 小題，每小題 8 分，滿分 16 分） 17．如圖， △ ABC 的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A（ 1， 3）、 B（ 4， 2）、 C（ 2， 1）． （ 1）作出與 △ ABC 關(guān)于 x 軸對(duì)稱的 △ A 1B1C1，并寫出點(diǎn) A1 的坐標(biāo)； （ 2）以原點(diǎn) O 為位似中心，在原點(diǎn)的另一側(cè)畫出 △ A2B2C2，使 = ，并寫出點(diǎn) A2 的坐標(biāo)． 【考點(diǎn)】 作圖 位似變換；作圖 軸對(duì)稱變換． 【分析】 （ 1）利用關(guān)于 x 軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，寫出 A B C1 的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可得到 △ A 1B1C1； （ 2）把 A、 B、 C 的橫縱坐標(biāo)后乘以﹣ 2 得到出 A B C2 的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即第 46 頁(yè)（共 55 頁(yè)） 可得到 △ A 2B2C2． 【解答】 解：（ 1）如圖， △ A 1B1C1 為所作， A1（ 1，﹣ 3）； （ 2）如圖， △ A2B2C2為所作， A2（﹣ 2，﹣ 6）． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了位似變換：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心． 18．如圖所示，我市某中學(xué)課外活動(dòng)小組的同學(xué)利用所學(xué)知識(shí)去測(cè)量釜溪河沙灣段的寬度．小宇同學(xué)在 A 處觀測(cè)對(duì)岸 C 點(diǎn)，測(cè)得 ∠ CAD=45176。根據(jù)垂徑定理可得 CE=DE=4cm，證出 △ COE 為等腰直角三角形，利用特殊角的三角函數(shù)可得答案． 【解答】 解：連接 OC，如圖所示： ∵ AB 是 ⊙ O 的直徑，弦 CD⊥ AB， ∴ CE=DE= CD=4cm， 第 45 頁(yè)（共 55 頁(yè)） ∵∠ A=176。=2， S△ BPD=S 四邊形 PBCD﹣ S△ BCD=S△ PBC+S△ PDC﹣ S△ BCD= 4 2 + 2 4﹣ 4 4=4+4﹣ 8=4 ﹣ 4， ∴ = ． 故答案為： ①③④ ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的正方形的性質(zhì)以及等積變換，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，利用銳角三角函數(shù)的定義求出 PE及 PF的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的面積公式得出結(jié)論． 三、（本大題共 2 小題，每小題 8 分，滿分 16 分） 第 44 頁(yè)（共 55 頁(yè)） 15．拋物線 y=﹣ 2x2+8x﹣ 6． （ 1）用配方法求頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸； （ 2） x 取何值時(shí)， y 隨 x 的增大而減小？ 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)的三種形式；二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】 （ 1）利用配方法將拋物線解析式邊形為 y=﹣ 2（ x﹣ 2） 2+2，由此即可得出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及拋物線的對(duì)稱軸； （ 2）由 a=﹣ 2＜ 0 利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出：當(dāng) x≥ 2 時(shí)， y 隨 x 的增大而減小，此題得解． 【解答】 解：（ 1） ∵ y=﹣ 2x2+8x﹣ 6=﹣ 2（ x2﹣ 4x）﹣ 6=﹣ 2（ x2﹣ 4x+4） +8﹣ 6=﹣ 2（ x﹣ 2） 2+2， ∴ 該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ 2， 2），對(duì)稱軸為直線 x=2． （ 2） ∵ a=﹣ 2＜ 0， ∴ 當(dāng) x≥ 2 時(shí)， y 隨 x 的增大而減小． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了二次函數(shù)的三種形式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，利用配方法將二次函數(shù)解析式的一般式換算成頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵． 16．已知如圖， AB 是 ⊙ O 的直徑，弦 CD⊥ AB，垂足為 E，連接 AC．若 ∠ A=176。 ∴ PN=PB?sin60176。 ∵∠ DPH=∠ DPC， ∴△ DPH∽△ CDP， ∴ = ， ∴ PD2=PH?CD， ∵ PB=CD， ∴ PD2=PH?PB，故 ③ 正確； 如圖，過(guò) P 作 PM⊥ CD， PN⊥ BC， 設(shè)正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)是 4， △ BPC 為正三角形， ∴∠ PBC=∠ PCB=60176。 ∴∠ FDP=∠ PBD， ∵∠ DFP=∠ BPC=60176。 ∵∠ DBA=45176。 ∴∠ PDC=75176。 ∴∠ ABE=∠ DCF=30176。 ∠DPH=∠ DPC，推出 △ DPH∽△ CPD，得到 = ， PB=CD，等量代換得到 PD2=PH?PB，故 ③ 正確；根據(jù)三角形面積計(jì)算公式，結(jié)合圖形得到 △ BPD 的面積 =△ BCP 的面積 +△ CDP 面積﹣ △ BCD 的面積，得到 = 故 ④ 正確． 【解答】 解： ∵△ BPC 是等邊三角形， ∴ BP=PC=BC， ∠ PBC=∠ PCB=∠ BPC=60176。 ∴△ ABE∽△ ADF， ∴ = = ，即 = ． 故答案為： AB=2BC． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形是解答此題的關(guān)鍵． 14．如圖，在正方形 ABCD 中， △ BPC 是等邊三角形， BP、 CP 的延長(zhǎng)線分別交AD 于點(diǎn) E、 F，連結(jié) BD、 DP， BD 與 CF 相交于點(diǎn) H．給出下列結(jié)論： ①△ ABE≌△ DCF； ② = ； ③ DP2=PH?PB； ④ = ． 第 42 頁(yè)（共 55 頁(yè)） 其中正確的是 ①③④ ．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)） 【考點(diǎn)】 相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 【分析】 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，得到 ∠ ABE=∠ DCF， ∠ A=∠ ADC，AB=CD，證得 △ ABE≌△ DCF，故 ① 正確；由于 ∠ FDP=∠ PBD， ∠ DFP=∠ BPC=60176。． 故答案為： 150176。﹣ 30176。 ∴∠ ABC=180176。 ∴∠ ADC= ∠ AOC=30176。則 ∠ ABC 的度數(shù)是 150176。﹣ tan45176。= 代入原式，再根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算． 【解答】 解： sin60176。= ， tan45176。﹣ tan45176。 ∴∠ BDE=∠ BAD， 第 37 頁(yè)（共 55 頁(yè)） ∴ tan∠ BDE=tan∠ BAD= ． 故選 C． 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義以及余角的性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 9．如圖，已知點(diǎn) P 是 Rt△ ABC 的斜邊 BC 上任意一點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn) P 作直線 PD 與直角邊 AB 或 AC 相交于點(diǎn) D，截得的小三角形與 △ ABC 相似，那么 D 點(diǎn)的位置最多有（ ） A． 2 處 B． 3 處 C． 4 處 D． 5 處 【考點(diǎn)】 相似三角形的判定． 【分析】 過(guò)點(diǎn) P 作直線 PD 與直角邊 AB