【正文】 同理可設(shè) M（ m，﹣ 2m+4）， 過 A 作 AE⊥ BC，垂足為 E， 則 AE 的解析式為： y= x+ ， 則直線 BC 與直線 AE 的交點(diǎn) E（ ， ）， 設(shè) Q（﹣ x， 0）（ x＞ 0）， ∵ AE∥ QM， ∴△ ABE∽△ QBM， ∴ ① ， 由勾股定理得： x2+42=2 [m2+（﹣ 2m+4﹣ 4） 2]② ， 由以上兩式得： m1=4（舍）， m2= ， 當(dāng) m= 時， x= ， ∴ Q（﹣ ， 0）． 綜上所述， Q 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 4 ﹣ 8， 0）或（﹣ ， 0）． 【點(diǎn)評】 本題是二次函數(shù)的綜合問題，綜合性較強(qiáng)；考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，并利用方程組求圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，將函數(shù)和方程有機(jī)地結(jié)合，進(jìn)一步把函數(shù)簡單化；同時還考查了相似的性質(zhì)：在二次函數(shù)的問題中，如果利用勾股定理不能求的邊可以考慮利用相似的性質(zhì)求解． 九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 3 分，共 36 分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．若將一個正方形的各邊長擴(kuò)大為原來的 4 倍，則這個正方形的面積擴(kuò)大為原來的（ ） A． 16 倍 B． 8 倍 C． 4 倍 D． 2 倍 2．下列圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ） A． B． C． D． 3．下列隨機(jī)事件的概率，既可以用列舉法求得，又可以用頻率估計獲得的是（ ） A．某種幼苗在一定條件下的移植成活率 B．某種柑橘在某運(yùn)輸過程中的損壞率 C．某運(yùn)動員在某種條件下 “射出 9 環(huán)以上 ”的概率 D．投擲一枚均勻的骰子，朝上一面為偶數(shù)的概率 4．正六邊形的邊長為 2，則它的面積為（ ） A． B． C． 3 D． 6 5．袋中裝有除顏色外完全相同的 a 個白球、 b 個紅球、 c 個黃球，則任意摸出一個球是黃球的概率為（ ） A． B． C． D． 6．如圖，鐵路道口的欄桿短臂長 1m，長臂長 16m．當(dāng)短臂端點(diǎn)下降 時，長臂端點(diǎn)升高（桿的寬度忽略不計）（ ） A． 4m B． 6m C． 8m D． 12m 7．下列說法正確的是（ ） A．兩個大小 不同的正三角形一定是位似圖形 B．相似的兩個五邊形一定是位似圖形 C．所有的正方形都是位似圖形 D．兩個位似圖形一定是相似圖形 8．如圖，將 △ ABC 繞點(diǎn) C（ 0，﹣ 1）旋轉(zhuǎn) 180176。時，如圖 2： ∵∠ CMQ＞ 90176?；?315176。﹣ =315176。 當(dāng) △ BCD′與 △ DCD′為銳角三角形時， ∠ BCD′=∠ DCD′= ∠ BCD=45176。 CE=CE′=CG， ∴∠ GCD′=∠ DCE′=90176。 ∴∠ α=30176。當(dāng) △ BCD′與 △ DCD′為銳角三角形時，可計算得到 α=315176。 CE=CE′CE，則 ∠ GCD′=∠ DCE′=90176。＜ α＜ 90176。 ∴∠ ODA=90176。又 AB= ， BC= ， ∴ BD= =3， ∵ BE=， ∴ DE=3﹣ =， ∵ AB∥ CD， ∴ = ，即 = ， 解得， DF= ， 則 CF=CD﹣ DF= ﹣ = ； （ 2） ∵ AB∥ CD， ∴△ DEF∽△ BEA， ∴ =（ ） 2=（ ） 2= ． 【點(diǎn)評】 本題考查的是矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握矩形的性質(zhì)定理和相似三角形的判定定理、性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵． 22．（ 10 分）（ 2022?南寧）如圖，在 Rt△ ABC 中， ∠ C=90176。． 故答案為 45． 【點(diǎn)評】 本題考查平行四邊形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型． 17．如圖，矩形 EFGH 內(nèi)接于 △ ABC，且邊 FG 落在 BC 上，若 AD⊥ BC， BC=3，AD=2， EF= EH，那么 EH 的長為 ． 【考點(diǎn)】 相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)． 【分析】 設(shè) EH=3x，表示出 EF，由 AD﹣ EF 表示出三角形 AEH 的邊 EH 上的高，根據(jù)三角形 AEH 與三角形 ABC 相似，利用相似三角形對應(yīng)邊上的高之比等于相似比求出 x 的值，即為 EH 的長． 【解答】 解：如圖所示： ∵ 四邊形 EFGH 是矩形， ∴ EH∥ BC， ∴△ AEH∽△ ABC， ∵ AM⊥ EH， AD⊥ BC， ∴ ， 設(shè) EH=3x，則有 EF=2x， AM=AD﹣ EF=2﹣ 2x， ∴ ， 解得： x= ， 則 EH= ． 故答案為： ． 【點(diǎn)評】 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 18．如圖所示， △ ABC 與點(diǎn) O 在 10 10 的網(wǎng)格中的位置如圖所示，設(shè)每個小正方形的邊長為 1． （ 1）畫出 △ ABC 繞點(diǎn) O 旋轉(zhuǎn) 180176。 ∵ OA=OD， ∴∠ A=∠ ADO=45176。即 AD⊥ BD，故 ① 正確； ∵∠ ACE=∠ DAB+∠ EBA， ∠ AOC=2∠ EBA， ∴∠ AOC≠∠ AEC，故 ② 不正確； ∵ OC∥ BD， ∴∠ OCB=∠ CBD， ∵ OC=OB， ∴∠ OCB=∠ OBC， ∴∠ OBC=∠ CBD，即 BC 平分 ∠ ABD，故 ③ 正確； ∴ OC⊥ AD， ∴ AF=FD，故 ④ 正確； ∴ OF 為 △ ABD 的中位線， ∴ BD=2OF，故 ⑤ 正確， 綜上可知正確的有 4 個， 故選 C． 【點(diǎn)評】 本題主要考查圓周角定理及圓的有關(guān)性質(zhì)，掌握圓中有關(guān)的線段、角的相等是解題的關(guān)鍵，特別注意垂徑定理的應(yīng)用． 12．已知拋物線 y=x2+bx+c（其中 b， c 是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn) A（ 2， 6），且拋物線的對稱軸與線段 BC 有交點(diǎn)，其中點(diǎn) B（ 1， 0），點(diǎn) C（ 3， 0），則 c 的值不可能是（ ） A． 4 B． 6 C． 8 D． 10 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征． 【分析】 根據(jù)拋物線 y=x2+bx+c（其中 b， c 是常數(shù)）過點(diǎn) A（ 2， 6），且拋物線的對稱軸與線段 BC（ 1≤ x≤ 3）有交點(diǎn)，可以得到 c 的取值范圍，從而可以解答本題． 【解答】 解： ∵ 拋物線 y=x2+bx+c（其中 b， c 是常數(shù)）過點(diǎn) A（ 2， 6），且拋物線的對稱軸與線段 y=0（ 1≤ x≤ 3）有交點(diǎn)， ∴ ， 解得 6≤ c≤ 14， 故選 A． 【點(diǎn)評】 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、解不等式，明確題意，列出相應(yīng)的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵． 二、填空題（本題共 6 小題，每小題 3 分，共 18 分） 13．二次函數(shù) y=2（ x﹣ 3） 2﹣ 4 的最小值為 ﹣ 4 ． 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)的最值． 【分析】 題中所給的解析式為頂點(diǎn)式，可直接得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出解答． 【解答】 解：二次函數(shù) y=2（ x﹣ 3） 2﹣ 4 的開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ 3，﹣ 4）， 所以最小值為﹣ 4． 故答案為：﹣ 4． 【點(diǎn)評】 本題考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，若題目給出是一般式則需進(jìn)行配方化為頂點(diǎn)式或者直接運(yùn)用頂點(diǎn)公式． 14． △ ABC 與 △ DEF 的相似比為 1： 4，則 △ ABC 與 △ DEF 的周長比為 1： 4 ． 【考點(diǎn)】 相似三角形的性質(zhì)． 【分析】 根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比解答． 【解答】 解： ∵△ ABC 與 △ DEF 的相似比為 1： 4， ∴△ ABC 與 △ DEF 的周長比為 1： 4． 故答案為： 1： 4． 【點(diǎn)評】 本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟記相似三角形周長的比等于相似比是解題的關(guān)鍵． 15．若反比例函數(shù) y= 在第一，三象限，則 k 的取值范圍是 k＞ 1 ． 【考點(diǎn)】 反比例函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】 根據(jù)反比例函數(shù)在第一，三象限得到 k﹣ 1＞ 0，求解即可． 【解答】 解：根據(jù)題意，得 k﹣ 1＞ 0， 解得 k＞ 1． 故答案為： k＞ 1． 【點(diǎn)評】 本題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng) k＞ 0 時，函數(shù)圖象位于第一、三象限，當(dāng) k＜ 0 時，函數(shù)圖象位于第二、四象限． 16．如圖，若以平行四邊形一邊 AB 為直徑的圓恰好與對邊 CD 相切于點(diǎn) D，則∠ C= 45 度． 【考點(diǎn)】 切線的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】 連接 OD，只要證明 △ AOD 是等腰直角三角形即可推出 ∠ A=45176。的直角三角形． 9．如圖，過反比例函數(shù) y= （ x＞ 0）的圖象上一點(diǎn) A 作 AB⊥ x 軸于點(diǎn) B，連接AO，若 S△ AOB=2，則 k 的值為（ ） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 【考點(diǎn)】 反比例函數(shù)系數(shù) k 的幾何意義；反比例函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】 根據(jù)點(diǎn) A 在反比例函數(shù)圖象上結(jié)合反比例函數(shù)系數(shù) k 的幾何意義，即可得出關(guān)于 k 的含絕對值符號的一元一次方程，解方程求出 k 值，再結(jié)合反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)有圖象即可確定 k 值． 【解答】 解： ∵ 點(diǎn) A 是反比例函數(shù) y= 圖象上一點(diǎn)，且 AB⊥ x 軸于點(diǎn) B， ∴ S△ AOB= |k|=2， 解得： k=177。的直角三角形， 則 ∠ OBD=30176。． 故選 C． 【點(diǎn)評】 本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等以及每一對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角相等．要注意旋轉(zhuǎn)的三要素： ①定點(diǎn)﹣旋轉(zhuǎn)中心； ② 旋轉(zhuǎn)方向； ③ 旋轉(zhuǎn)角度． 7．拋物線 y=2x2﹣ 2 x+1 與 x 軸的交點(diǎn)個數(shù)是（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 【考點(diǎn)】 拋物線與 x 軸的交點(diǎn)． 【分析】 先計算判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義判斷拋物線與 x 軸的交點(diǎn)個數(shù)． 【解答】 解：根據(jù)題意得 △ =（ 2 ） 2﹣ 4 2 1=0， 所以拋物線與 x 軸只有一個交點(diǎn)． 故選 B． 【點(diǎn)評】 本題考查了拋物線與 x 軸的交點(diǎn)：對于二次函數(shù) y=ax2+bx+c（ a， b， c是常數(shù)， a≠ 0）， △ =b2﹣ 4ac 決定拋物線與 x 軸的交點(diǎn)個數(shù)： △ =b2﹣ 4ac＞ 0 時，拋物線與 x 軸有 2 個交點(diǎn)； △ =b2﹣ 4ac=0 時，拋物線與 x 軸有 1 個交點(diǎn)； △ =b2﹣ 4ac＜ 0 時，拋物線與 x 軸沒有交點(diǎn)． 8．邊長為 a 的正三角形的內(nèi)切圓的半徑為（ ） A． a B． a C． a D． a 【考點(diǎn)】 三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心． 【分析】 根據(jù)等邊三角形的三線合一，可以構(gòu)造一個由其內(nèi)切圓的半徑、外接圓的半徑和半邊組成的 30176。﹣ 20176。 B 點(diǎn)落在 B′位置， A 點(diǎn)落在 A′位置 ∴∠ BCB′=∠ ACA′=20176。 【考點(diǎn)】 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 【分析】 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知， ∠ BCB′=∠ ACA′=20176。 C． 70176。 B 點(diǎn)落在 B′位置， A 點(diǎn)落在A′位置，若 AC⊥ A′B′，則 ∠ BAC 的度數(shù)是（ ） A． 50176。的扇形的面積是（ ） A． 3π B． 6π C． 9π D． 12π 【考點(diǎn)】 扇形面積的計算． 【分析】 根據(jù)扇形的面積公式 S= 計算即可． 【解答】 解： S= =12π， 故選： D． 【點(diǎn)評】 本題考查的是扇形面積的計算，掌握扇形的面積公式 S= 是解題的關(guān)鍵． 5．如圖， △ ABC 中， ∠ A=78176。＜ α＜ 90176。后的圖形； （ 2）若 ⊙ M 能蓋住 △ ABC，則 ⊙ M 的半徑最小值為 ． 三、解答題（本題共 7 小題，共 66 分） 19．（ 8 分）已知正比例函數(shù) y1=kx 的圖象與反比例函數(shù) y2= （ k 為常數(shù)， k≠ 5 且 k≠ 0）的圖象有一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 2． （ 1）求這兩個函數(shù)的解析式； （ 2）求這兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)． 20．（ 8 分）在校園文化藝術(shù)節(jié)中，九年級一班有 1 名男生和 2 名女生獲得美術(shù)獎，另有 2 名男生和 2 名女生獲得音樂獎． （ 1）從獲得美術(shù)獎和音樂獎的 7 名學(xué)生中選取 1 名參加頒獎大會，求剛好是男生的概率； （ 2）分別從獲得美術(shù)獎、音樂獎的學(xué)生中各選取 1 名參加頒獎大會，用列表或樹狀圖求剛好是一男生一女生的概率． 21．（ 10 分）如圖，矩形 ABCD 中， AB= ， BC= ，點(diǎn) E 在對角線 BD 上，且BE=，連接 AE 并延長交 DC 于點(diǎn) F． （ 1）求 CF 的長； （ 2）求 的值． 22．（ 10 分）如圖，在 Rt△ ABC 中， ∠ C=90176。 D． 80176。 B． 601