【正文】 EBC 最大面積 = 4 EF= 4 2=4，此時 E（ 2， 1）． 【點評】 本題考查二次函數(shù)、一次函數(shù)的應用、最值問題．等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會構建二次函數(shù)解決最值問題，學會分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題． 九年級（上）期末數(shù)學試卷 一、選擇題（本題共 12 小題，每小題 3 分，共 36 分） 1．下列圖形中，是中心對稱圖形的是（ ） A． B． C． D． 2．不透明的袋子中裝有形狀、大小、質地完全相同的 6 個球，其中 4 個黑球、 2個白球，從袋子中一次摸出 3 個球，下列事件是不可能事件的是（ ） A．摸出的是 3 個白球 B．摸出的是 3 個黑球 C．摸出的是 2 個白球、 1 個黑球 D．摸出的是 2 個黑球、 1 個白球 3．反比例函數(shù) y=﹣ 的圖象上有 P1（ x1，﹣ 2）， P2（ x2，﹣ 3）兩點，則 x1 與x2 的大小關系是（ ） A． x1＞ x2 B． x1=x2 C． x1＜ x2 D．不確定 4．半徑為 6，圓心角為 120176。另一種是 ∠ PBA=90176。后得到的對稱點，再順次連接即可，根據(jù)弧長公式計算可得 C2 所經過的路徑長． 【解答】 解：（ 1）如圖， △ A1B1C1 即為所求作三角形 A1（﹣ 5，﹣ 4）； （ 2）如圖， △ A2B2C2 即為所求作三角形， ∵ OC2= = ， ∴ C2 所經過的路徑 的長為 = π． 【點評】 本題考查的是作圖﹣軸對稱變換、旋轉變換，作出各頂點軸對稱變換和旋轉變換的對應點是解答此題作圖的關鍵． 19．甲布袋中有三個紅球，分別標有數(shù)字 1， 2， 3；乙布袋中有三個白球，分別標有數(shù)字 2， 3， 4．這些球除顏色和數(shù)字外完全相同．小亮從甲袋中隨機摸出一個紅球，小剛從乙袋中隨機摸出一個白球． （ 1）用畫樹狀圖（樹形圖）或列表的方法，求摸出的兩個球上的數(shù)字之和為 6的概率； （ 2）小亮和小剛做游戲，規(guī)則是：若摸出的兩個球上的數(shù)字之和為奇數(shù)，小亮勝；否則，小剛勝．你認為這個游戲公平嗎？為什么？ 【考點】 游戲公平性；列表法與樹狀圖法． 【分析】 游戲是否公平，關鍵要看游戲雙方獲勝的機會是否相等，即判斷雙方取勝的概率是否相等，或轉化為在總情況明確的情況下，判斷雙方取勝所包含的情況數(shù)目是否相等． 【解答】 解： （ 1）解法一：樹狀圖 ∴ P（兩個球上的數(shù)字之和為 6） = ．（ 2 分） 解法二：列表 2 3 4 1 （ 1， 2） （ 1， 3） （ 1， 4） 2 （ 2， 2） （ 2， 3） （ 2， 4） 3 （ 3， 2） （ 3， 3） （ 3， 4） ∴ P（兩個球上的數(shù)字之和為 6） = ． （ 2）不公平．（ 1 分） ∵ P（小亮勝） = ， P（小剛勝） = ．（ 2 分） ∴ P（小亮勝） ≠ P（小剛勝）． ∴ 這個游戲不公平．（ 2 分） 【點評】 本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識點為：概率 =所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比． 20．如圖，在 △ ABC 中， BE 平分 ∠ ABC 交 AC 于點 E，過點 E 作 ED∥ BC 交 AB 于點 D． （ 1）求證： AE?BC=BD?AC； （ 2）如果 S△ ADE=3， S△ BDE=2， DE=6，求 BC 的長． 【考點】 相似三角形的判定與性質． 【分析】 （ 1）由 BE 平分 ∠ ABC 交 AC 于點 E， ED∥ BC，可證得 BD=DE， △ ADE∽△ ABC，然后由相似三角形的對應邊成比例，證得 AE?BC=BD?AC； （ 2）根據(jù)三角形面積公式與 S△ ADE=3， S△ BDE=2，可得 AD： BD=3： 2，然后由平行線分線段成比例定理，求得 BC 的長． 【解答】 （ 1）證明： ∵ BE 平分 ∠ ABC， ∴∠ ABE=∠ CBE． …（ 1 分） ∵ DE∥ BC， ∴∠ DEB=∠ CBE…（ 1 分） ∴∠ ABE=∠ DEB． ∴ BD=DE， …（ 1 分） ∵ DE∥ BC， ∴△ ADE∽△ ABC， ∴ …（ 1 分） ∴ ， ∴ AE?BC=BD?AC； …（ 1 分） （ 2）解：設 △ ABE 中邊 AB 上的高為 h． ∴ ， …（ 2 分） ∵ DE∥ BC， ∴ ． …（ 1 分） ∴ ， ∴ BC=10． …（ 2 分） 【點評】 此題考查了相似三角形的判定與性質、平行線分線段成比例定理以及等腰三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想的應用． 21．如圖，在 △ ABC 中， AB=AC，以 AB 為直徑作 ⊙ O，交 BC 邊于邊 D，交 AC 邊于點 G，過 D 作 ⊙ O 的切線 EF，交 AB 的延長線于點 F，交 AC 于點 E． （ 1）求證： BD=CD； （ 2）若 AE=6， BF=4，求 ⊙ O 的半徑． 【考點】 切線的性質；等腰三角形的性質． 【分析】 （ 1）連接 AD，根據(jù)等腰三角形三線合一即可證明． （ 2）設 ⊙ O 的半徑為 R，則 FO=4+R， FA=4+2R， OD=R，連接 OD，由 △ FOD∽△FAE，得 = 列出方程即可解決問題． 【解答】 （ 1）證明：連接 AD， ∵ AB 是直徑， ∴∠ ADB=90176。 ∴△ ABP∽△ CDP， ∴ = ， ∵ AB=2 米， BP=3 米， PD=12 米， ∴ = ， CD=8 米， 故答案為： 8． 【點評】 此題主要考查了相似三角形的應用，關鍵是掌握相似三角形對應邊成比例． 17．某地區(qū) 2022 年投入教育經費 2500 萬元， 2022 年投入教育經費 3025 萬元． （ 1）求 2022 年至 2022 年該地區(qū)投入教育經費的年平均增長率； （ 2）根據(jù)（ 1）所得的年平均增長率，預計 2022 年該地區(qū)將投入教育經費多少萬元． 【考點】 一元二次方程的應用． 【分析】 （ 1）一般用增長后的量 =增長前的量 （ 1+增長率）， 2022 年要投入教育經費是 2500（ 1+x）萬元，在 2022 年的基礎上再增長 x，就是 2022 年的教育經費數(shù)額，即可列出方程求解． （ 2）利用（ 1）中求得的增長率來求 2022 年該地區(qū)將投入教育經費． 【解答】 解：設增長率為 x，根據(jù)題意 2022 年為 2500（ 1+x）萬元， 2022 年為2500（ 1+x） 2 萬元． 則 2500（ 1+x） 2=3025， 解得 x==10%，或 x=﹣ （不合題意舍去）． 答：這兩年投入教育經 費的平均增長率為 10%． （ 2） 3025 （ 1+10%） =（萬元）． 故根據(jù)（ 1）所得的年平均增長率，預計 2022 年該地區(qū)將投入教育經費 萬元． 【點評】 本題考查了一元二次方程中增長率的知識．增長前的量 （ 1+年平均增長率） 年數(shù) =增長后的量． 四、 18．方格紙中的每個小方格都是邊長為 1 個單位的正方形，在建立平面直角坐標系后， △ ABC 的頂點均在格點上，點 C 的坐標為（ 4，﹣ 1）． （ 1）作出 △ ABC 關于 y 軸對稱的 △ A1B1C1，并寫出 A1 的坐標； （ 2）作出 △ ABC 繞點 O 逆時針旋轉 90176。=26176。 （ 1﹣ 2x）， 即 x+3=1﹣ 2x 或 x+3=2x﹣ 1， 解得： ， x2=4． 【點評】 本題主要考查解一元二次方程的能力，根據(jù)不同的方程選擇合適的方法是解題的關鍵． 14．如圖所示， AB 是 ⊙ O 的一條弦， OD⊥ AB，垂足為 C，交 ⊙ O 于點 D，點 E在 ⊙ O 上． （ 1）若 ∠ AOD=52176。 6． ∵ 反比例函數(shù) y= 的部分圖象在第二象限， ∴ k=﹣ 6． 故選 D． 【點評】 本題考查了反比例函數(shù)系數(shù) k 的幾何意義，解題的關鍵是根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù) k 的幾何意義找出含絕對值符號的關于 k 的一元一次方程．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，由矩形的面積結合反比例函數(shù)系數(shù) k 的幾何意義求出反比例函數(shù)系數(shù) k 是關鍵． 5．如圖， P 為平行四邊形 ABCD 邊 AD 上一點， E、 F 分別為 PB、 PC 的中點， △PEF、 △ PDC、 △ PAB 的面積分別為 S、 S S2，若 S=2，則 S1+S2=（ ） A． 4 B． 6 C． 8 D．不能確定 【考點】 平行四邊形的性質；三角形中位線定理． 【分析】 過 P 作 PQ 平行于 DC，由 DC 與 AB 平行，得到 PQ 平行于 AB，可得出四邊形 PQCD 與 ABQP 都為平行四邊形，進而確定出 △ PDC 與 △ PCQ 面積相等，△ PQB 與 △ ABP 面積相等，再由 EF 為 △ BPC 的中位線，利用中位線定理得到 EF為 BC 的一半，且 EF 平行于 BC，得出 △ PEF 與 △ PBC 相似，相似比為 1： 2，面積之比為 1： 4，求出 △ PBC 的面積，而 △ PBC 面積 =△ CPQ 面積 +△ PBQ 面積，即為 △ PDC 面積 +△ PAB 面積，即為平行四邊形面積的一半，即可求出所求的面積． 【解答】 解：過 P 作 PQ∥ DC 交 BC 于點 Q，由 DC∥ AB，得到 PQ∥ AB， ∴ 四邊形 PQCD 與四邊形 APQB 都為平行四邊形， ∴△ PDC≌△ CQP， △ ABP≌△ QPB， ∴ S△ PDC=S△ CQP， S△ ABP=S△ QPB， ∵ EF 為 △ PCB 的中位線， ∴ EF∥ BC， EF= BC， ∴△ PEF∽△ PBC，且相似比為 1： 2， ∴ S△ PEF： S△ PBC=1： 4， S△ PEF=2， ∴ S△ PBC=S△ CQP+S△ QPB=S△ PDC+S△ ABP=S1+S2=8． 故選： C． 【點評】 此題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定與性質，熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解本題的關鍵． 6．二次函數(shù) y=ax2+bx+c（ a≠ 0）的部分圖象如圖所示，圖象過點（﹣ 1， 0），對稱軸為直線 x=2，下列結論：（ 1） 4a+b=0；（ 2） 9a+c＞ 3b；（ 3） 8a+7b+2c＞ 0；（ 4）若點 A（﹣ 3， y1）、點 B（﹣ ， y2）、點 C（ ， y3）在該函數(shù)圖象上，則 y1＜ y3＜ y2；（ 5）若方程 a（ x+1）（ x﹣ 5） =﹣ 3 的兩根為 x1 和 x2，且 x1＜ x2，則 x1＜ ﹣ 1＜ 5＜ x2．其中正確的結論有（ ） A． 2 個 B． 3 個 C． 4 個 D． 5 個 【考點】 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系． 【分析】 （ 1）正確．根據(jù)對稱軸公式計算即可． （ 2）錯誤，利用 x=﹣ 3 時， y＜ 0，即可判斷． （ 3）正確．由圖象可知拋物線經過（﹣ 1， 0）和（ 5， 0），列出方程組求出 a、b 即可判斷． （ 4）錯誤．利用函數(shù)圖象即可判斷． （ 5）正確．利用二次函數(shù)與二次不等式關系即可解決問題． 【解答】 解：（ 1）正確． ∵ ﹣ =2， ∴ 4a+b=0．故正確． （ 2）錯誤． ∵ x=﹣ 3 時， y＜ 0， ∴ 9a﹣ 3b+c＜ 0， ∴ 9a+c＜ 3b，故（ 2）錯誤． （ 3）正確．由圖象可知拋物線經過（﹣ 1， 0）和（ 5， 0）， ∴ 解得 ， ∴ 8a+7b+2c=8a﹣ 28a﹣ 10a=﹣ 30a， ∵ a＜ 0， ∴ 8a+7b+2c＞ 0，故（ 3）正確． （ 4）錯誤， ∵ 點 A（﹣ 3， y1）、點 B（﹣ ， y2）、點 C（ ， y3）， ∵ ﹣ 2= ， 2﹣（﹣ ） = ， ∴ ＜ ∴ 點 C 離對稱軸的距離近， ∴ y3＞ y2， ∵ a＜ 0，﹣ 3＜ ﹣ ＜ 2， ∴ y1＜ y2 ∴ y1＜ y2＜ y3，故（ 4）錯誤． （ 5）正確． ∵ a＜ 0， ∴ （ x+1）（ x﹣ 5） =﹣ 3/a＞ 0， 即（ x+1）（ x﹣ 5） ＞ 0， 故 x＜ ﹣ 1 或 x＞ 5，故（ 5）正確． ∴ 正確的有三個， 故選 B． 【點評】 本題考查二次函數(shù)與系數(shù)關系，靈活掌握二次函數(shù)的性質是解決問題的關鍵，學會利用圖象信息解決問題，屬于中考?？碱}型． 二、填空題 7．一枚質地均勻的正方體骰子，其六個面上分別刻有 6 六個數(shù)字，投擲這個骰子一次，則向上一面的數(shù)字小于 3 的概率是 ． 【考點】 概率公式． 【分析】 由于一枚質地均勻的正方體骰子，骰子向上的一面點數(shù)可能為 6，共有 6 種可能，小于 3 的點數(shù)有 2，則根據(jù)概率公式可計算出骰子向上的一