【文章內容簡介】 CDE（ SAS） ③△ ABC≌△ CDA 證明： ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴ AD∥ BC， AB∥ DC， ∴∠ BAC=∠ DCA， 第 21 頁（共 68 頁） 在 △ ABC 與 △ CDA 中， ， ∴△ ABC≌△ CDA（ ASA） 注：學生答三種情況之一即可． 21．如圖，已知直線 AB 的函數(shù)表達式為 y=2x+10，與 x 軸交點為 A，與 y 軸交點為 B． （ 1）求 A， B 兩點的坐標； （ 2）若點 P 為線段 AB 上的一個動點，作 PE⊥ y 軸于點 E， PF⊥ x 軸于點 F，連接 EF．是否存在點 P，使 EF 的值最小？若存在，求出 EF 的最小值；若不存在，請說明理由． 【考點】 一次函數(shù)綜合題． 【分析】 （ 1）在一次函數(shù) y=2x+10 中，分別令 x=0 和 y=0，解相應方程，可求得A、 B 兩點的坐標； （ 2）由矩形的性質可知 EF=OP，可知當 OP 最小時，則 EF 有最小值，由垂線段最短可知當 OP⊥ AB 時，滿足條件，由條件可證明 △ AOB∽△ OPB，利用相似三角形的性質可求得 OP 的長，即可求得 EF 的最小值． 【解答】 解： （ 1） ∵ 一次函數(shù) y=2x+10， 令 x=0，則 y=10，令 y=0，則 x=﹣ 5， ∴ 點 A 坐標為（﹣ 5， 0），點 B 坐標為（ 0， 10）； （ 2）存在點 P 使得 EF 的值最小， 理由如下： 第 22 頁（共 68 頁） ∵ PE⊥ y 軸于點 E， PF⊥ x 軸于點 F， ∴ 四邊形 PEOF 是矩形，且 EF=OP， ∵ O 為定點， P 在線段上 AB 運動， ∴ 當 OP⊥ AB 時， OP 取得最小值，此時 EF 最小， ∵ 點 A 坐標為（﹣ 5， 0），點 B 坐標為（ 0， 10）， ∴ OA=5， O B=10， 由勾股定理得： AB= ∵∠ AOB=90， OP⊥ AB， ∴△ AOB∽△ OPB， ∴ ， ∴ OP= ， 即存在點 P 使得 EF 的值最小，最小值為 ． 22．如圖，延長 △ ABC 的邊 BC 到 D，使 CD=BC．取 AB 的中點 F，連接 FD 交 AC于點 E．求 EC： AC 的值． 【考點】 平行線分線段成比例． 【分析】 取 BC 中點 G，則 CG= BC，連接 GF，得出 FG∥ AC， FG= AC，證出 EC=FG，進而得出答案． 【解答】 解：取 BC 中點 G，則 CG= BC，連接 GF，如圖所示： 第 23 頁（共 68 頁） 又 ∵ F 為 AB 中點， ∴ FG∥ AC，且 FG= AC， ∴ EC∥ FG， ∴ ， ∵ CG= BC， DC=BC 設 CG=k，那么 DC=BC=2k， DG=3k ∴ 即 ， ∵ FG= AC ∴ ， ∴ EC： AC=1： 3． 23． 2022 年 4 月 12 日，由國家新聞出版廣電總局和北京市人民政府共同主辦的“2022 書香中國暨北京閱讀季 ”啟動儀式于在我區(qū)良鄉(xiāng)體育館隆重舉行．房山是北京城發(fā)展的源頭，歷史源遠流長，文化底蘊深厚．啟動儀式上，全國書香家庭及社會各界代表，與我區(qū)近 2022 名中小學師生一起，在這傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代文明交相輝映的地方，吟誦經典篇章，倡導全面閱讀．為了對我區(qū)全民閱讀狀況進行調查和評估，有關部門隨機抽取了部分市民進行每天閱讀時間情況的調查，并根據調查結果制做了如下尚不完整的頻數(shù)分布表（被調查者每天的閱讀時間均在0～ 120 分鐘之內）： 閱讀時間 x（分鐘） 0≤ x＜ 30 30≤ x＜ 60 60≤ x＜ 90 90≤ x≤ 120 頻數(shù) 450 400 m 50 頻率 n 第 24 頁（共 68 頁） （ 1）表格中， m= 100 ； n= ；被調查的市民人數(shù)為 1000 ． （ 2）補全頻數(shù)分布直方圖； （ 3）我區(qū)目前的常住人口約有 103 萬人，請估計我區(qū)每天閱讀時間在 60～ 120 分鐘 的市民大約有多少萬人？ 【考點】 頻數(shù)（率）分布直方圖；用樣本估計總體；頻數(shù)（率）分布表． 【分析】 （ 1）根據 0≤ x＜ 30 的頻數(shù)和頻率先求出總人數(shù)，用總人數(shù)乘以 60≤ x＜ 90 的頻率求出 m，用 90≤ x≤ 120 的頻數(shù)除以總人數(shù)求出 n； （ 2）根據（ 1）求出的總人數(shù)，補全統(tǒng)計圖即可； （ 3）用常住人口數(shù)乘以閱讀時間在 60～ 120 分鐘的人數(shù)的頻率即可得出答案． 【解答】 解：（ 1）根據題意得：被調查的市民人數(shù)為 =1000（人）， m=1000 =100， n= =； 故答案為： 100， ， 1000； （ 2）根據（ 1）補圖如下： 第 25 頁（共 68 頁） （ 3）根據題意得： 103 （ +） =（萬人） 估計我區(qū)每天閱讀時間在 60～ 120 分鐘 的市民大約有 萬人． 24．某工廠現(xiàn)有甲種原料 360 千克，乙種原料 290 千克，計劃利用這兩種原料生產 A、 B 兩種產品共 50 件．已知生產一件 A 種產品，需用甲種原料 9 千克、乙種原料 3 千克，可獲利潤 700 元；生產一件 B 種產品，需用甲種原料 4 千克、乙種原料 10 千克，可獲利潤 1200 元．設生產 A 種產品的生產件數(shù)為 x， A、 B 兩種產品所獲總利潤為 y（元）． （ 1）試寫出 y 與 x 之間的函數(shù)關系式； （ 2）求出自變量 x 的取值范圍； （ 3）利用函數(shù)的性質說明哪種生產方案獲總利潤最大？最大利潤是多少？ 【考點】 一次函數(shù)的應用；一元一次不等式組的應用． 【分析】 （ 1）由于用這兩種原料生 產 A、 B 兩種產品共 50 件，設生產 A 種產品 x件，那么生產 B 種產品（ 50﹣ x）件．由 A 產品每件獲利 700 元， B 產品每件獲利 1200 元，根據總利潤 =700 A 種產品數(shù)量 +1200 B 種產品數(shù)量即可得到 y 與x 之間的函數(shù)關系式； （ 2）關系式為： A 種產品需要甲種原料數(shù)量 +B 種產品需要甲種原料數(shù)量 ≤ 360；A 種產品需要乙種原料數(shù)量 +B 種產品需要乙種原料數(shù)量 ≤ 290，把相關數(shù)值代入得到不等式組，解不等式組即可得到自變量 x 的取值范圍； （ 3）根據（ 1）中所求的 y 與 x 之間的函數(shù)關系式，利用一次函數(shù)的增減性和（ 2）得到的取值范 圍即可求得最大利潤． 第 26 頁（共 68 頁） 【解答】 解：（ 1）設生產 A 種產品 x 件，則生產 B 種產品（ 50﹣ x）件， 由題意得： y=700x+1200（ 50﹣ x） =﹣ 500x+60000， 即 y 與 x 之間的函數(shù)關系式為 y=﹣ 500x+60000； （ 2）由題意得 ， 解得 30≤ x≤ 32． ∵ x 為整數(shù)， ∴ 整數(shù) x=30， 31 或 32； （ 3） ∵ y=﹣ 500x+60000，﹣ 500＜ 0， ∴ y 隨 x 的增大而減小， ∵ x=30， 31 或 32， ∴ 當 x=30 時， y 有最大值為﹣ 500 30+60000=45000． 即生產 A 種產品 30 件， B 種產品 20 件時，總利潤最大，最大利潤是 45000 元． 25．在同一坐標系中畫出了三個一次函數(shù)的圖象： y=1﹣ x， y=x+1 和 y=3x﹣ 1 （ 1）求 y=1﹣ x 和 y=3x﹣ 1 的交點 A 的坐標； （ 2）根據圖象填空： ① 當 x ＞ 1 時 3x﹣ 1＞ x+1； ② 當 x ＜ 0 時 1﹣ x＞ x+1； （ 3）對于三個實數(shù) a， b， c，用 max{a， b， c}表示這三個數(shù)中最大的數(shù)，如max{﹣ 1， 2， 3}=3， max{﹣ 1， 2， a}= ，請觀察三個函數(shù)的圖象，直接寫出 max{1﹣ x， x+1， 3x﹣ 1}的最小值． 第 27 頁（共 68 頁） 【考點】 兩條直線相交或平行問題． 【分析】 （ 1）根據解方程組可以求得 y=1﹣ x 和 y=3x﹣ 1 的交點 A 的坐標； （ 2）根據一元一次不等式與一次函數(shù)的關系進行判斷即可； （ 3）分情況進行討論，根據圖象利用自變量取值范圍得出函數(shù)值的大小關系，進而求出函數(shù)值，通過比較得出最小值． 【解答】 解：（ 1） ∵ ， ∴ 解得 ， ∴ y=1﹣ x 和 y=3x﹣ 1 的交點 A 的坐標為（ ， ）； （ 2） ① 根據直線的位置可得，當 x＞ 1 時， 3x﹣ 1＞ x+1； ② 根據直線的位置可得，當 x＜ 0 時， 1﹣ x＞ 1+x； 故答案為： ＞ 1， ＜ 0； （ 3）根據三個函數(shù)圖象，可得 當 x≤ 0 時， max{1﹣ x， x+1， 3x﹣ 1}=1﹣ x≥ 1； 當 0＜ x≤ 時， max{1﹣ x， x+1， 3x﹣ 1}=x+1≥ 1； 當 ＜ x≤ 1 時， max{1﹣ x， x+1， 3x﹣ 1}=x+1≥ ； 當 x＞ 1 時， max{1﹣ x， x+1， 3x﹣ 1}=3x﹣ 1≥ 2； 第 28 頁（共 68 頁） 綜上所述， max{1﹣ x， x+1， 3x﹣ 1}的最小值是 1． 26．小東根據學習一次函數(shù)的經驗，對函數(shù) y=|2x﹣ 1|的圖象和性質進行了探究．下面是小東的探究過程，請補充完成： （ 1）函數(shù) y=|2x﹣ 1|的自變量 x 的取值范圍是 全體實數(shù) ； （ 2）已知： ① 當 x= 時， y=|2x﹣ 1|=0； ② 當 x＞ 時， y=|2x﹣ 1|=2x﹣ 1 ③ 當 x＜ 時， y=|2x﹣ 1|=1﹣ 2x； 顯然， ② 和 ③ 均為某個一次函數(shù)的一部分． （ 3）由（ 2）的分析，取 5 個點可畫出此函數(shù)的圖象，請你幫小東確定下表中第5 個點的坐標（ m， n），其中 m= 3 ； n= 5 ；： x … ﹣ 2 0 1 m … y … 5 1 0 1 n … （ 4）在平面直角坐標系 xOy 中，作出函數(shù) y=|2x﹣ 1|的圖象； （ 5）根據函數(shù)的圖象，寫出函數(shù) y=|2x﹣ 1|的一條性質． 第 29 頁（共 68 頁） 【考點】 一次函數(shù)的性質；一次函數(shù)的圖象． 【分析】 （ 1）函數(shù) y=|2x﹣ 1|的自變量 x 的取值范圍是全體實數(shù)； （ 3）取 m=3，把 x=3 代入 y=|2x﹣ 1|計算即可； （ 4）根據（ 3）中的表格描點連線即可； （ 5）根據函數(shù)的圖象，即可求解． 【解答】 解：（ 1）函數(shù) y=|2x﹣ 1|的自變量 x 的取值范圍是全體實數(shù)； 故答案為全體實數(shù)； （ 3） m、 n 的取值不唯一，取 m=3， 把 x=3 代入 y=|2x﹣ 1|，得 y=|2 3﹣ 1|=5， 即 m=3， n=5． 故答案為 3， 5； （ 4）圖象如右： （ 5）當 x= 時，函數(shù) y=|2x﹣ 1|有最小值 0． 第 30 頁（共 68 頁） 27．四邊形 ABCD 中，點 E、 F、 G、 H 分別為 AB、 BC、 CD、 DA 邊的中點，順次連接各邊中點得到的新四邊形 EFGH 稱為中點四邊形． （ 1）我們知道：無論四邊形 ABCD 怎樣變化，它的中點四邊形 EFGH 都是平行四邊形．特殊的： ① 當對角線 AC=BD 時，四邊形 ABCD 的中點四邊形為 菱形 形； ② 當對角線 AC⊥ BD 時，四邊形 ABCD 的中點四邊形是 矩形 形． （ 2）如圖：四邊形 ABCD 中，已知 ∠ B=∠ C=60176。，且 BC=AB+CD，請利用（ 1）中的結論，判斷四邊形 ABCD 的中點四邊形 EFGH 的形狀并進行證明． 【考點】 四邊形綜合題． 【分析】 （ 1） ① 連接 AC、 BD，根據三角形中位線定理證明四邊形 EFGH 都是平行四邊形，根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明； ② 根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形證明； （ 2）分別延長 BA、 CD 相交于點 M，連接 AC、 BD，證明 △ ABC≌△ DMB，得到AC=DB，根據（ 1） ① 證明即可． 【解答】 解：（ 1） ① 連接 AC、 BD， ∵ 點 E、 F、 G、 H 分別為 AB、 BC、 CD、 DA 邊的中點， ∴ EH∥ BD， FG∥ BD， ∴ EH∥ FG， 同理 EF∥ HG， ∴ 四邊形 EFGH 都是平行四邊形， ∵ 對角線 AC=BD， ∴ EH=EF， ∴ 四邊形 ABCD 的中點四邊形是菱形； ② 當對角線 AC⊥ BD 時， EF⊥ EH， 第 31 頁（共 68 頁） ∴ 四邊形 ABCD 的中點四邊形是矩形； （ 2）四邊形 ABCD 的中點四邊形 EFGH 是菱形．理由如下： 分別延長 BA、 CD 相交于點 M，連接 A