【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 。， 在 Rt△ ADE 中， AE= = =18 ∴ BE=AE﹣ AB=18 ﹣ 18， 在 Rt△ BCE 中， CE=BE?tan60176。=（ 18 ﹣ 18） =54﹣ 18 ， ∴ CD=CE﹣ DE=54﹣ 18 ﹣ 18≈5米． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了解直角三角形﹣仰角俯角問(wèn)題，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形；難點(diǎn)是充分找到并運(yùn)用題中相等的線段． 13. (2022浙江麗水 模擬 )（本題 6 分） 如圖，梯子斜靠在與地面垂直 (垂足為 O)的墻上，當(dāng)梯子位于 AB 位置時(shí)，它與地面所成的角 ∠ ABO＝ 60176。；當(dāng)梯子底端向右滑動(dòng) 2 m(即 BD＝ 2 m)到達(dá) CD 位置時(shí)，它與地面所成的角 ∠ CDO＝ 45176。，求梯子的長(zhǎng)． 解 ： 解設(shè) OB=x,則 OD=x+2 ∵∠ OBA=60176?！?cos∠ OBA=21?ABOB ∴ AB=2x ∵∠ ODA=45176?！?cos∠ ODA=22?CDOD ∴ CD= ）（ 22 ?x ∵ AB= CD,即 2x= ）（ 22 ?x ∴ x= 222 ? ∴ 梯子的長(zhǎng) AB= 424 ? 14.（ 2022紹興市浣紗初中等六校 5 月聯(lián)考模擬）（本題 8 分）如圖，某大樓的頂部樹有一塊廣告牌 CD，小李在山坡的坡腳 A 處測(cè)得廣告牌底部 D 的仰角為 60176。．沿坡面 AB 向上走到 B 處測(cè)得廣告牌頂部 C 的仰角為 45176。，已知山坡 AB 的坡度 i=1： ， AB=10 米， AE=15米．（ i=1： 是指坡面的鉛直高度 BH 與水平寬度 AH 的比） （ 1）求點(diǎn) B 距水平面 AE 的高度 BH； （ 2）求廣告牌 CD 的高度． 解：（ 1） 過(guò) B 作 BG⊥ DE 于 G， Rt△ ABF 中， i=tan∠ BAH= = ， ∴∠ BAH=30176。， ∴ BH= AB=5； （ 2） 由 （ 1） 得 ： BH=5， AH=5 ， ∴ BG=AH+AE=5 +15， Rt△ BGC 中 ， ∠ CBG=45176。， ∴ CG=BG=5 +15． Rt△ ADE 中 ， ∠ DAE=60176。， AE=15， ∴ DE= AE=15 ． ∴ CD=CG+GE﹣ DE=5 +15+5﹣ 15 =20﹣ 10 ． 答：宣傳牌 CD 高 20﹣ 10 米． 15． (2022浙江鎮(zhèn)江 模擬 )從一幢建筑大樓的兩個(gè)觀察點(diǎn)A， B 觀察地面的花 壇（點(diǎn) C），測(cè)得俯角分別為 15176。和 60176。，如圖，直線 AB 與地 面垂直， AB=50 米，試求出點(diǎn) B 到點(diǎn) C的距離．（結(jié)果保留根號(hào)） 解：作 AD⊥ BC 于點(diǎn) D， ∵∠ MBC=60176。， 6 0 176。CBA1 5 176。∴∠ ABC=30176。， ∵ AB⊥ AN， ∴∠ BAN=90176。， ∴∠ BAC=105176。， 則 ∠ ACB=45176。， 在 Rt△ ADB 中， AB=1000，則 AD=500， BD= 3500 ， 在 Rt△ ADC 中， AD=500， CD=500， 則 BC= 3500500? ． ……4 分 答：觀察點(diǎn) B 到花壇 C 的距離為 )3500500( ? 米． 16． (2022新疆烏魯木齊九十八中 一模 )如圖， MN 表示襄樊至武漢的一段高速公路設(shè)計(jì)路線圖．在點(diǎn) M 測(cè)得點(diǎn) N 在它的南偏東 30176。的方向，測(cè)得另一點(diǎn) A 在它的南偏東 60176。的方向；取 MN 上另一點(diǎn) B，在點(diǎn) B 測(cè)得點(diǎn) A 在它的南偏東 75176。的方向，以點(diǎn) A 為圓心， 500m為半徑的圓形區(qū)域?yàn)槟尘用駞^(qū)，已知 MB=400m，通過(guò)計(jì)算回答：如果不改變方向，高速公路是否會(huì)穿過(guò)居民區(qū)？ 【考點(diǎn)】 解直角三角形的應(yīng)用 方向角問(wèn)題． 【專題】 應(yīng)用題． 【分析】 高速公路是否會(huì)穿過(guò)居民區(qū)即是比較點(diǎn) A 到 MN 的距離與半徑的大小，于是作 AC⊥ MN 于點(diǎn) C，求 AC 的長(zhǎng)．解直角三角形 ACM 和 ACB． 【解答】 解：作 AC⊥ MN 于點(diǎn) C ∵∠ AMC=60176。﹣ 30176。=30176。， ∠ ABC=75176。﹣ 30176。=45176。 設(shè) AC 為 xm，則 AC=BC=x 在 Rt△ ACM 中， MC=400+x ∴ tan∠ AMC= ，即 解之，得 x=200+200 ∵ ＞ ∴ x=200+200 ＞ 500． MN60 176。15 176。DCBA∴ 如果不改變方向，高速公路不會(huì)穿過(guò)居民區(qū)． 【點(diǎn)評(píng)】 怎么理解是否穿過(guò)居民區(qū)是關(guān)鍵，與最近距離比較便知應(yīng)作垂線，構(gòu)造 Rt△求解． 17． (2022云南省 一模 )如圖，某同學(xué)站在旗桿正對(duì)的教學(xué)樓上點(diǎn) C 處觀測(cè)到旗桿頂端A 的仰角為 30176。，旗桿底端 B 的俯角為 45176。，已知旗桿距離教學(xué)樓 12 米，求旗桿 AB 的高度． （結(jié)果精確到 . ≈， ≈）（參考數(shù)據(jù)： sin30176。= ， cos30176。= ， tan30176。= ，sin45176。= ， cos45176。= ， tan45176。=1） 【考點(diǎn)】 解直角三角形的應(yīng)用 仰角俯角問(wèn)題． 【分析】 根據(jù)在 Rt△ ACD 中， tan∠ ACD= ，求出 AD 的值，再根據(jù)在 Rt△ BCD 中，tan∠ BCD= ，求出 BD 的值，最后 根據(jù) AB=AD+BD，即可求出答案． 【解答】 解：在 Rt△ ACD 中， ∵ tan∠ ACD= ， ∴ tan30176。= ， ∴ = ， ∴ AD=4 m， 在 Rt△ BCD 中， ∵∠ BCD=45176。， ∴ BD=CD=12m， ∴ AB=AD+BD=34 +12（ m）． 答：旗桿 AB 的高度為 34 +12m． 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，本題要求學(xué)生借助俯角構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形． 18． (2022鄭州 二模 )圖 l 是小明在健身器材上進(jìn)行仰臥起坐鍛煉時(shí)的情景，圖 2 是小明鍛煉時(shí) 上半身由 EN 位置運(yùn)動(dòng)到與地面垂直的 EM 位置時(shí)的示意圖．已知 BC＝ 米，AD＝ 米， α＝ 18176。（ sin18176?！?， cos18176?！?， tan18176?！郑? （ 1）求 AB 的長(zhǎng)（精確到 米） （ 2）若測(cè)得 EN＝ 米，計(jì)算小明頭頂由 N 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 M 點(diǎn)的路徑⌒MN 的長(zhǎng)度（結(jié)果保留 π） 【解答】 解：（ 1）作 AF⊥ BC 于點(diǎn) F． ∴∠ AFB=90176。. ∴∠ AFB=∠ AFC =∠ ADC =90176。. ∴ 四邊形 ADCF 是矩形 . ∴ FC=AD. ∴ BF= BC﹣ CF =BC﹣ AD== 米， ∴ AB=BF247。sin18176。=247?！郑? （ 2） ∵∠ NEM=90176。+18176。=108176。， 19. （ 2022廣東河源一模） 一測(cè)量愛好者在海邊測(cè)量位于其正東方向的小島高度 示，他先在點(diǎn) B 測(cè)得小島的頂點(diǎn) A 的仰角是?30，然后沿正東方向 前行 62 m 到達(dá)點(diǎn) D，在點(diǎn)D 測(cè)得小島的頂點(diǎn) A 的仰角為?60（ B， C， D 三點(diǎn) 在同一水平面上，且測(cè)量?jī)x的高度忽略不計(jì) )．求小島的高度 AC。 (結(jié)果精確到 1 m，參考數(shù)據(jù)：?，) 解： 設(shè) AC＝ x m，在 Rt△ ACD 中， CDACADC ??tan ，∴xACCD 3360tan ??? . 在 Rt△ ABC 中， BCACB ??tan ，∴ ．xACBC 330tan ??? 由 BCCDBD ?? ，得xx 33362 ?? ，解得 ．53331 ??x ∴小島的高度 AC 約為 53 m. 20. （ 2022廣東深圳聯(lián)考） 2022 年 9 月 23 日 強(qiáng)臺(tái)風(fēng)“天兔”登錄深圳 ，伴隨著就是 狂風(fēng) 暴雨 。梧桐山 山坡上有一棵與水平面垂直的大樹，臺(tái)風(fēng)過(guò)后，大樹 被刮傾斜后折斷倒在山坡上，樹的頂部恰好接觸到坡面（如圖所 示）。 已知山坡的坡角∠ AEF= 23176。 ，量得樹干 的傾斜角為 ∠ BAC=38176。 ,大樹被折斷部分和坡面所成的角 ∠ ADC=60176。 , AD=3m。 （ 1）求∠ DAC 的度數(shù)； （ 2） 求這棵大樹折斷 前 的高度。（結(jié)果保留根號(hào)） C 60176。 38176。 D E 23176。 A F 答案： 解：（ 1）延長(zhǎng) BA 交 EF 于一點(diǎn) G， 則 ∠ DAC=180176。﹣ ∠ BAC﹣ ∠ GAE =180176。﹣ 38176。﹣（ 90176。﹣ 23176。） =75176。； （ 2）過(guò)點(diǎn) A 作 CD 的垂線，設(shè)垂足為 H， 則 Rt△ ADH 中， ∵∠ ADC=60176。， ∠ AHD=90176。， ∴∠ DAH=30176。， ∵ AD=3， ∴ DH=32 ， AH=332 ． Rt△ ACH 中， ∵∠ CAH=∠ CAD﹣ ∠ DAH=75176。﹣ 30176。=45176。， ∴∠ C=45176。， 故 CH=AH=332 ， AC=362 ． 故樹高 362 +332 +32 （ 米 ） ． 21. （ 2022廣東深圳聯(lián)考） 如圖，在 □ ABCD 中， AE 平分 ∠ BAD，交 BC 于點(diǎn) E， BF 平分 ∠ ABC，交 AD 于點(diǎn) F， AE 與 BF 交于點(diǎn) P，連接 EF， PD． （ 1）求證：四邊形 ABEF 是菱形； （ 2）若 AB=4， AD=6， ∠ ABC=60176。，求 tan∠ DPF 的值． FDABPHCE 答案： （ 1）證明： ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴ AD∥ BC． ∴∠ DAE=∠ AEB． ∵ AE 是角平分線， ∴∠ DAE=∠ BAE． ∴∠ BAE=∠ AEB． ∴ AB=BE． 同理 AB=AF． ∴ AF=BE． ∴ 四邊形 ABEF 是平行四邊形． ∵ AB=BE， ∴ 四邊形 ABEF 是菱形． （ 2）解： 延長(zhǎng) BF， 作 DH⊥ PH 于 H， ∵ 四邊形 ABEF 是菱形， ∠ ABC=60176。， AB=4， ∴ AB=AF=4， ∠ ABF=∠ AFB=30176。， ∠ DFH=30176。， ∵ AD=6， AF=4， ∴ DF=1， ∵ DH⊥ PH， ∠ DFH=30176。， ∴ HFDHD F H ??tan ∴ FH= 3 ， ∴ 在 Rt△ APF 中 ,PF=AFcos30176。= 32 ， PH= 33 ∴ tan∠ DPF= PHDH =93331 ?． 22. 如圖，某高樓頂部有一信號(hào)發(fā)射塔，在矩形建筑物 ABCD 的 A， C 兩點(diǎn)測(cè)得該塔頂端 F的仰角 分別為 ? 和 β，矩形建筑物寬度 AD=20m，高度 DC=33m．求： （ 1）試用 α和 β的三角 函數(shù)值 表示線段 CG 的長(zhǎng)； （ 2）如果 α=48176。， β=65176。，請(qǐng)求出信號(hào)發(fā)射塔頂端到地面的高度 FG 的值．（結(jié)果精確到 1m）（