20xx屆中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八三角形的相似及全等解直角三角形試題浙教版(編輯修改稿)
2025-01-02 01:37 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 很多種，關(guān)鍵是抓住有一直角這一特征， 可以根據(jù)勾股定理的逆定理“若兩邊的平方和等于第三邊的平方，則三角形為直角三角形”構(gòu)造出直角三角形，答案如下圖． 例 8. 如 圖所示，在△ ABC中， AB＝ AC＝ 1，點(diǎn) D、 E在直線 BC 上運(yùn)動(dòng)，設(shè) BD＝ x， CE＝ y． （ 1）如果∠ BAC＝ 30176。，∠ DAE＝ 105176。，試確定 y與 x之間的函數(shù)關(guān)系式； （ 2）如果∠ BAC 的度數(shù)為α，∠ DAE 的度數(shù)為β，當(dāng)α、β滿足怎樣的關(guān)系式時(shí)，（ 1）中 y與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式還成立，試說明理由． 5 解： （ 1）在△ ABC中， AB＝ AC＝ 1，∠ BAC＝ 30176。，∠ ABC＝ ∠ ACB＝ 75176。，∠ ABD＝∠ ACE＝ 105176。． 又∠ DAE＝ 105176。，∴∠ DAB＋∠ CAE＝ 75176。． 又∠ DAB＋ ∠ ADB＝∠ ABC＝ 75176。， ∴∠ CAE＝∠ ADB，∴△ ADB∽△ EAC， ∴ 1,1A B B D xE C A C y??即，∴ y＝ 1x． （ 2）當(dāng)α、β滿足β－ 2?＝ 90176。， y＝ 1x仍成立． 此時(shí)∠ DAB＋∠ CAE＝β－α，∴ ∠ DAB＋∠ ADB＝β－α， ∴∠ CAE＝∠ ADB． 又∵∠ ABD＝∠ ACE，∴△ ADB∽△ EAC，∴ y＝ 1x． 點(diǎn)評(píng)： 確定兩線段間的函數(shù)關(guān)系，可利用線段成比例、找相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系． 例 9. 如圖，梯形 ABCD中， AB∥ CD，且 AB＝ 2CD， E， F分別是 AB， BC 的中點(diǎn)， EF 與 BD相交于點(diǎn) M． （ 1）求證：△ EDM∽△ FBM； （ 2）若 DB＝ 9，求 BM． （ 1） 證明： ∵ E是 AB中點(diǎn)，∴ AB＝ 2BE， AB＝ 2CD，∴ CD＝ EB， 又 AB∥ CD，∴四邊形 CBED是平行四邊形， ∴ CB∥ DE，∴ D E M B F ME D M F B M? ? ???? ? ??，∴△ EDM∽△ FBM． （ 2） 解： △ EDM∽△ FBM，∴ DM DEBM BF? ， ∴ F是 BC中點(diǎn)， DE＝ 2FB，∴ DM＝ 2BM，∴ BM＝ 13 DB＝ 3 例 10. 已知△ ABC中，∠ ACB＝ 90186。， CD⊥ AB于 D， AD∶ BD＝ 2∶ 3且 CD＝ 6。 求（ 1） AB；（ 2） AC。 分析： 設(shè) AD＝ 2k， BD＝ 3k。根據(jù)直角三角形和它斜邊上的高，可知△ ABC∽△ ACD∽△ CBD。通過相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出其中 k的大??；但是如果根據(jù)射影定理，那么就可以直接計(jì)算出 k的大小。 解： 設(shè) AD＝ 2k， BD＝ 3k（ k 0）。 ∵∠ ACB＝ 90186。， CD⊥ AB。∴ CD2＝ AD?BD， ∴ 62＝ 2k?3k，∴ k＝ 6 。∴ AB＝ 65 。又∵ AC2＝ AD?AB，∴ AC＝ 152 。 例 11. 已知△ ABC中，∠ ACB＝ 90186。， CH⊥ AB， HE⊥ BC， HF⊥ AC。 求證：（ 1）△ HEF ≌△ EHC；（ 2）△ HEF∽△ HBC。 分析： 從已知條件中可以獲得四邊形 CEHF是矩形，要證明三角形 全等要收集到三個(gè)條件，有公共邊 EH，根據(jù)矩形的性質(zhì)可知 EF＝ CH， HF＝ EC。 6 要證明三角形相似，從條件中得∠ FHE＝∠ CHB＝ 90186。，由全等三角形可知，∠ HEF＝∠ HCB，這樣就可以證明兩個(gè)三角形相似。 證明： ∵ HE⊥ BC， HF⊥ AC， ∴∠ CEH＝ ∠ CFH＝ 90186。又∵∠ ACB＝ 90186。，∴四邊形 CEHF是矩形。 ∴ EF＝ CH， HF＝ EC，∠ FHE＝ 90186。 又∵ HE＝ EH， ∴△ HFE ≌△ EHC?！唷?HEF＝∠ HCB。 ∵∠ FHE＝∠ CHB＝ 90186。， ∴△ HEF∽△ HBC。 說明： 在這一題的分析過程 中，走“兩頭湊”比較快捷，從已知出發(fā)，發(fā)現(xiàn)有用的信息，從結(jié)論出發(fā)，尋找解決 問題需要的條件。解題中還要注意上下兩小題的“臺(tái)階”關(guān)系。培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣。 例 12. 兩個(gè)全等的含 30186。， 60186。角的三角板 ADE 和 ABC 如圖所示放置， E， A， C三點(diǎn)在一條直線上，連接 BD，取 BD 的中點(diǎn) M，連結(jié) ME， MC。 試判斷 △ EMC是什么樣的三角形，并說明理由 。 分析： 判斷一個(gè)三角形的形狀，可以結(jié)合所給出的圖形作出假設(shè)，或許是等腰三角形。這樣就可以轉(zhuǎn)化為另一個(gè)問題：嘗試去證明 EM＝ MC，要證線段相等可以尋找全等三角形來 解決，然而圖中沒有形狀大小一樣的兩個(gè)三角形 。 這時(shí)思
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