【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，分式求值題中比較多的題型主要有三種：轉(zhuǎn)化已知條件后整體代入求值；轉(zhuǎn)化所求問(wèn)題后將條件整體代入求值；既要轉(zhuǎn)化條件，也要轉(zhuǎn)化問(wèn)題，然后再代入求值． 22．如圖，已知 ABCD是平行四邊形， AE平分 ∠ BAD， CF 平分 ∠ BCD，分別交 BC、 AD于 E、 F．求證：AF=EC． 【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)． 【專(zhuān)題】證明題． 【分析】由四邊形 ABCD是平行四邊形， AE 平分 ∠ BAD， CF平分 ∠ BCD，易證得 △ ABE≌△ CDF（ ASA），即可得 BE=DF，又由 AD=BC，即可得 AF=CE． 【解答】證明： ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形， ∴∠ B=∠ D， AD=BC， AB=CD， ∠ BAD=∠ BCD， ∵ AE平分 ∠ BAD， CF平分 ∠ BCD， ∴∠ EAB= ∠ BAD， ∠ FCD= ∠ BCD， ∴∠ EAB=∠ FCD， 在 △ ABE和 △ CDF中， ， ∴△ ABE≌△ CDF（ ASA）， ∴ BE=DF． ∵ AD=BC， ∴ AF=EC． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意證得 △ ABE≌△ CDF是關(guān)鍵． 第 20 頁(yè)（共 48 頁(yè)） 23．如圖，一次函數(shù) y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A和點(diǎn) B． （ 1）求該一次函數(shù)的解析式； （ 2）求該函數(shù)與兩坐標(biāo)軸所圍成的直角三角形的面積． 【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式． 【分析】（ 1）把點(diǎn) A、 B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式，列出關(guān)于 k、 b的方程組，通過(guò)解方程組求得它們的值； （ 2）結(jié)合一次函數(shù)解析式求得該直線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，然后由三角形的面積公式進(jìn)行解答． 【解答】解：（ 1）將 A與 B代入一次函數(shù)解析式得： ， 解得： ， 則一次函數(shù)解析式為： y=﹣ 2x+1； （ 2）由（ 1）得到一次函數(shù)解析式為： y=﹣ 2x+1， 所以該直線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（ 0， 1），（ ， 0）， 所以該函數(shù)與兩坐標(biāo)軸所圍成的直角三角形的面積為： 1 = ． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，不過(guò)需要學(xué)生具備一定的讀圖能力． 24．如圖，在 Rt△ ABC中， ∠ ACB=90176。 ，過(guò)點(diǎn) C的直線(xiàn) m∥ AB， D為 AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) D作 DE⊥ BC，交直線(xiàn) m 于點(diǎn) E，垂足為點(diǎn) F，連接 CD， BE． （ 1）求證： CE=AD； （ 2）當(dāng)點(diǎn) D是 AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形 BECD是什么特殊四邊形？說(shuō)明你的理由； 第 21 頁(yè)（共 48 頁(yè)） （ 3）當(dāng) ∠ A的大小滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形 BECD是正方形？（不需要證明） 【考點(diǎn)】四邊形綜合題． 【分析】（ 1）由 BC⊥ AC， DE⊥ BC，得到 DE∥ AC，從而判斷出四邊形 ADEC是平行四邊形．即可， （ 2）先判斷出 △ BFD≌△ CFE，再判斷出 BC 和 DE垂直且互相平分，得到四邊形 BECD 是菱形． （ 3）先判斷出 ∠ CDB=90176。 ，從而得到有一個(gè)角是直角的菱形是正方形． 【解答】（ 1）證明： ∵ 直線(xiàn) m∥ AB， ∴ EC∥ AD． 又 ∵∠ ACB=90176。 ， ∴ BC⊥ AC． 又 ∵ DE⊥ BC， ∴ DE∥ AC． ∵ EC∥ AD， DE∥ AC， ∴ 四邊形 ADEC是平行四邊形． ∴ CE=AD． （ 2）當(dāng)點(diǎn) D是 AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形 BECD是菱形． 證明： ∵ D是 AB 中點(diǎn)， DE∥ AC（已證）， ∴ F為 BC中點(diǎn)， ∴ BF=CF． ∵ 直線(xiàn) m∥ AB， ∴∠ ECF=∠ DBF． ∵∠ BFD=∠ CFE， ∴△ BFD≌△ CFE． ∴ DF=EF． ∵ DE⊥ BC， ∴ BC和 DE垂直且互相平分． ∴ 四邊形 BECD是菱形． 第 22 頁(yè)（共 48 頁(yè)） （ 3）當(dāng) ∠ A的大小是 45176。 時(shí)，四邊形 BECD是正方形． 理由是： ∵∠ ACB=90176。 ， ∠ A=45176。 ， ∴∠ ABC=∠ A=45176。 ， ∴ AC=BC， ∵ D為 BA中點(diǎn)， ∴ CD⊥ AB， ∴∠ CDB=90176。 ， ∵ 四邊形 BECD是菱形， ∴ 四邊形 BECD是正方形， 即當(dāng) ∠ A=45176。 時(shí)，四邊形 BECD是正方形． 【點(diǎn)評(píng)】此題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，正方形的判定，解本題的關(guān)鍵是四邊形 BECD是菱形． 五、解答題：（本大題共 2個(gè)小題，每小題 12分，共 24分）解答時(shí)每小題都必須寫(xiě)出必要的演算過(guò)程或推理步驟． 25．閱讀材料： 小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫(xiě)成另一個(gè)式子的平方，如 3+ =（ 1+ ）2．善于思考的小明進(jìn)行了以下探索： 設(shè) a+b =（ m+n ） 2（其中 a、 b、 m、 n均為整數(shù)），則有 a+b =m2+2n2+2mn ． ∴ a=m2+2n2， b=2mn．這樣小明就找到了一種把類(lèi)似 a+b 的式子化為平方式的方法． 請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題： （ 1）當(dāng) a、 b、 m、 n均為正整數(shù)時(shí)，若 a+b = ，用含 m、 n 的式子分別表示 a、 b，得：a= m2+3n2 ， b= 2mn ； （ 2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù) a、 b、 m、 n填空： 4 + 2 =（ 1 + 1 ） 2； （ 3）若 a+4 = ，且 a、 m、 n均為正整數(shù)，求 a的值？ 【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算． 【分析】（ 1）根據(jù)完全平方公式運(yùn)算法則，即可得出 a、 b的表達(dá)式； （ 2）首先確定好 m、 n的正整數(shù)值，然后根據(jù)（ 1）的結(jié)論即可求出 a、 b的值； （ 3）根據(jù)題意， 4=2mn，首先確定 m、 n的值，通過(guò)分析 m=2， n=1或者 m=1， n=2，然后即可確定好 第 23 頁(yè)（共 48 頁(yè)） a 的值． 【解答】解：（ 1） ∵ a+b = ， ∴ a+b =m2+3n2+2mn ， ∴ a=m2+3n2， b=2mn． 故答案為： m2+3n2， 2mn． （ 2）設(shè) m=1， n=1， ∴ a=m2+3n2=4， b=2mn=2． 故答案為 1． （ 3）由題意，得： a=m2+3n2， b=2mn ∵ 4=2mn，且 m、 n為正整數(shù)， ∴ m=2， n=1或者 m=1， n=2， ∴ a=22+3 12=7，或 a=12+3 22=13． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，完全平方公式，解題的關(guān)鍵在于熟練運(yùn)算完全平方公式和二次根式的運(yùn)算法則． 26．（ 2022?永川區(qū)校級(jí)二模）如圖，在正方形 ABCD中，點(diǎn) E是 AB中點(diǎn)，點(diǎn) F是 AD上一點(diǎn)，且 DE=CF，ED、 FC 交于點(diǎn) G，連接 BG， BH平分 ∠ GBC交 FC 于 H，連接 DH． （ 1）若 DE=10，求線(xiàn)段 AB 的長(zhǎng)； （ 2）求證： DE﹣ HG=EG． 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)；等腰直角三角形；圓周角定理． 第 24 頁(yè)（共 48 頁(yè)） 【分析】（ 1）設(shè) AE=x，則 AD=2x，在直角三角形 AED 中利用勾股定理即可求出 x 的值，進(jìn)而求出AB的長(zhǎng)； （ 2）利用已知得出 B、 C、 G、 E四點(diǎn)共圓，得出 BG=BC，進(jìn)而得到 BH 是 GC 的中垂線(xiàn)，再利用 △ BHC≌△ CGD，得出 GH=DG即可證明 DE﹣ HG=EG． 【解答】（ 1）解：設(shè) AE=x，則 AD=2x， ∵ 四邊形 ABCD是正方形， ∴∠ A=90176。 ， ∴ x2+（ 2x） 2=102， ∴ x=2 ， ∴ AB=2AE=4 ； （ 2）證明：在正方形 ABCD 中， 易證 RT△ CDF≌ RT△ DAE， ∴∠ FCD=∠ ADE， ∴∠ GDC+∠ DCF=90176。 ， ∴∠ DGC=∠ CGE=90176。 ， ∴∠ EGC=∠ EBC=90176。 ， ∴∠ EGC+∠ EBC=180176。 ， ∴ B、 C、 G、 E四點(diǎn)共圓， ∠ AED=∠ BCG， 連 EC， ∴∠ BGC=∠ BEC， ∵ BE=EA， BC=AD， ∴ RT△ BCE≌ RT△ ADE， ∴∠ AED=∠ BEC， ∴∠ BGC=∠ AED， ∴∠ BGC=∠ BCG， ∴ BG=BC， 又 ∵ BH 平分 ∠ GBC， ∴ BH是 GC的中垂線(xiàn)， 第 25 頁(yè)（共 48 頁(yè)） ∴ GH=HC， ∴ GH=DG， ∴△ DGH是等腰直角三角形， 即： DE﹣ HG=EG． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定與四點(diǎn)共圓的性質(zhì)與判定，根據(jù)已知得出 B、 C、 G、 E四點(diǎn)共圓，以及 BG 是 GC的中垂線(xiàn)是解題關(guān)鍵． 八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（本題共 12個(gè)小題．在每題所列四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題意，把符合題意的選項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的字母代號(hào)寫(xiě)在答題紙中各題對(duì)應(yīng)的方格里）． 1．若 有意義，則 x的取值范圍（ ） A． x＞ 2 B． x≤ C． x≠ D． x≤ 2 2．已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為 3和 4，則第三邊長(zhǎng)的平方是（ ） A． 25 B． 7 C． 5和 7 D． 25或 7 3．下列各組數(shù)中不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（ ） A． ， 2， 3 B． 7， 24， 25 C． 6， 8， 10 D． 9， 12， 15 4．四邊形 ABCD中，對(duì)角線(xiàn) AC、 BD相交于點(diǎn) O，下列條件不能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形的是（ ） A． AB∥ DC， AD∥ BC B． AB=DC， AD=BC C． AO=CO， BO=DO D． AB∥ DC， AD=BC 5．已知二次根式 中最簡(jiǎn)二次根式共有（ ） 第 26 頁(yè)（共 48 頁(yè)） A． 1個(gè) B． 2個(gè) C． 3個(gè) D． 4個(gè) 6．如圖，長(zhǎng)為 8cm 的橡皮筋放置在 x 軸上，固定兩端 A 和 B，然后把中點(diǎn) C 向上拉升 3cm 至 D 點(diǎn)，則橡皮筋被拉長(zhǎng)了（ ） A． 2cm B． 3cm C． 4cm D． 5cm 7．如圖，平行四邊形 ABCD的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn) O，且 AB=6， △ OCD的周長(zhǎng)為 16，則 AC與 BD的和是（ ） A． 10 B． 16 C． 20 D． 22 8．如圖字母 B所代表的正方形的面積是（ ） A． 12 B． 13 C． 144 D． 194 9．如果最簡(jiǎn)根式 與 是同類(lèi)二次根式，那么使 有意義的 x 的取值范圍是（ ） A． x≤ 10 B． x≥ 10 C． x＜ 10 D． x＞ 10 10．如圖所示，在菱形 ABCD 中， AC、 BD相交于點(diǎn) O， E為 AB 中點(diǎn)，若 OE=3，則菱形 ABCD的周長(zhǎng)是（ ） A． 12 B． 18 C． 24 D． 30 11．矩形一個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)把矩形的一邊分成 3cm和 5cm，則矩形的周長(zhǎng)為（ ） A． 16cm B． 22cm或 26cm C． 26cm D．以上都不對(duì) 第 27 頁(yè)（共 48 頁(yè)） 12．實(shí)數(shù) a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則 化簡(jiǎn)后為（ ） A． 7 B．﹣ 7 C． 2a﹣ 15 D．無(wú)法確定 二、填空題（本題共 6個(gè)小題．請(qǐng)把最終結(jié)果填寫(xiě)在答題紙中各題對(duì)應(yīng)的橫線(xiàn)上）． 13．已知平行四邊形 ABCD中， ∠ B=70176。 ，則 ∠ A= ， ∠ D= ． 14．若直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為 a、 b，且滿(mǎn)足 +（ b﹣ 4） 2=0，則該直角三角形的斜邊長(zhǎng)為 ． 15．若 a= + +2，則 a= ， b= ． 16．小玲要求 △ ABC最長(zhǎng)邊上的高，測(cè)得 AB=8cm， AC=6cm， BC=10cm，則最長(zhǎng)邊上的高為 cm． 17．如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)分別為 4cm、 8cm的矩形紙片 ABCD 折疊，使 C點(diǎn)與 A點(diǎn)重合，則 EB的長(zhǎng)是 ． 18．對(duì)于任意不相等的兩個(gè)數(shù) a， b，定義一種運(yùn)算 ※ 如下： a※b= ，如 3※2= ．那么 12※4= ． 三、解答題（請(qǐng)?jiān)诖痤}紙中各題對(duì)應(yīng)的空間寫(xiě)出必要的過(guò)程）． 19．計(jì)算： （ 1） ． （ 2） （ 3）先化簡(jiǎn)，再求值： ，其中 x= ． 20．如圖，墻 A處需要維修， A處距離墻腳 C處 8米，墻下是一條寬 BC 為 6米的小河