【文章內(nèi)容簡介】 【點評】本題考查的是分式的化簡求值，分式求值題中比較多的題型主要有三種：轉(zhuǎn)化已知條件后整體代入求值；轉(zhuǎn)化所求問題后將條件整體代入求值；既要轉(zhuǎn)化條件，也要轉(zhuǎn)化問題，然后再代入求值． 22．如圖，已知 ABCD是平行四邊形， AE平分 ∠ BAD， CF 平分 ∠ BCD，分別交 BC、 AD于 E、 F．求證：AF=EC． 【考點】平行四邊形的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】由四邊形 ABCD是平行四邊形， AE 平分 ∠ BAD， CF平分 ∠ BCD，易證得 △ ABE≌△ CDF（ ASA），即可得 BE=DF，又由 AD=BC，即可得 AF=CE． 【解答】證明： ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形， ∴∠ B=∠ D， AD=BC， AB=CD， ∠ BAD=∠ BCD， ∵ AE平分 ∠ BAD， CF平分 ∠ BCD， ∴∠ EAB= ∠ BAD， ∠ FCD= ∠ BCD， ∴∠ EAB=∠ FCD， 在 △ ABE和 △ CDF中， ， ∴△ ABE≌△ CDF（ ASA）， ∴ BE=DF． ∵ AD=BC， ∴ AF=EC． 【點評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意證得 △ ABE≌△ CDF是關鍵． 第 20 頁（共 48 頁） 23．如圖，一次函數(shù) y=kx+b的圖象經(jīng)過點 A和點 B． （ 1）求該一次函數(shù)的解析式； （ 2）求該函數(shù)與兩坐標軸所圍成的直角三角形的面積． 【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式． 【分析】（ 1）把點 A、 B的坐標代入一次函數(shù)解析式，列出關于 k、 b的方程組，通過解方程組求得它們的值； （ 2）結(jié)合一次函數(shù)解析式求得該直線與坐標軸的交點，然后由三角形的面積公式進行解答． 【解答】解：（ 1）將 A與 B代入一次函數(shù)解析式得： ， 解得： ， 則一次函數(shù)解析式為： y=﹣ 2x+1； （ 2）由（ 1）得到一次函數(shù)解析式為： y=﹣ 2x+1， 所以該直線與坐標軸的交點坐標是（ 0， 1），（ ， 0）， 所以該函數(shù)與兩坐標軸所圍成的直角三角形的面積為： 1 = ． 【點評】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，坐標與圖形的性質(zhì)，屬于基礎題，不過需要學生具備一定的讀圖能力． 24．如圖，在 Rt△ ABC中， ∠ ACB=90176。 ，過點 C的直線 m∥ AB， D為 AB邊上一點，過點 D作 DE⊥ BC，交直線 m 于點 E，垂足為點 F，連接 CD， BE． （ 1）求證： CE=AD； （ 2）當點 D是 AB中點時，四邊形 BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由； 第 21 頁（共 48 頁） （ 3）當 ∠ A的大小滿足什么條件時，四邊形 BECD是正方形？（不需要證明） 【考點】四邊形綜合題． 【分析】（ 1）由 BC⊥ AC， DE⊥ BC，得到 DE∥ AC，從而判斷出四邊形 ADEC是平行四邊形．即可， （ 2）先判斷出 △ BFD≌△ CFE，再判斷出 BC 和 DE垂直且互相平分，得到四邊形 BECD 是菱形． （ 3）先判斷出 ∠ CDB=90176。 ，從而得到有一個角是直角的菱形是正方形． 【解答】（ 1）證明： ∵ 直線 m∥ AB， ∴ EC∥ AD． 又 ∵∠ ACB=90176。 ， ∴ BC⊥ AC． 又 ∵ DE⊥ BC， ∴ DE∥ AC． ∵ EC∥ AD， DE∥ AC， ∴ 四邊形 ADEC是平行四邊形． ∴ CE=AD． （ 2）當點 D是 AB中點時，四邊形 BECD是菱形． 證明： ∵ D是 AB 中點， DE∥ AC（已證）， ∴ F為 BC中點， ∴ BF=CF． ∵ 直線 m∥ AB， ∴∠ ECF=∠ DBF． ∵∠ BFD=∠ CFE， ∴△ BFD≌△ CFE． ∴ DF=EF． ∵ DE⊥ BC， ∴ BC和 DE垂直且互相平分． ∴ 四邊形 BECD是菱形． 第 22 頁（共 48 頁） （ 3）當 ∠ A的大小是 45176。 時，四邊形 BECD是正方形． 理由是： ∵∠ ACB=90176。 ， ∠ A=45176。 ， ∴∠ ABC=∠ A=45176。 ， ∴ AC=BC， ∵ D為 BA中點， ∴ CD⊥ AB， ∴∠ CDB=90176。 ， ∵ 四邊形 BECD是菱形， ∴ 四邊形 BECD是正方形， 即當 ∠ A=45176。 時，四邊形 BECD是正方形． 【點評】此題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，正方形的判定，解本題的關鍵是四邊形 BECD是菱形． 五、解答題：（本大題共 2個小題，每小題 12分，共 24分）解答時每小題都必須寫出必要的演算過程或推理步驟． 25．閱讀材料： 小明在學習二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如 3+ =（ 1+ ）2．善于思考的小明進行了以下探索： 設 a+b =（ m+n ） 2（其中 a、 b、 m、 n均為整數(shù)），則有 a+b =m2+2n2+2mn ． ∴ a=m2+2n2， b=2mn．這樣小明就找到了一種把類似 a+b 的式子化為平方式的方法． 請你仿照小明的方法探索并解決下列問題： （ 1）當 a、 b、 m、 n均為正整數(shù)時，若 a+b = ，用含 m、 n 的式子分別表示 a、 b，得：a= m2+3n2 ， b= 2mn ； （ 2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù) a、 b、 m、 n填空： 4 + 2 =（ 1 + 1 ） 2； （ 3）若 a+4 = ，且 a、 m、 n均為正整數(shù)，求 a的值？ 【考點】二次根式的混合運算． 【分析】（ 1）根據(jù)完全平方公式運算法則，即可得出 a、 b的表達式； （ 2）首先確定好 m、 n的正整數(shù)值，然后根據(jù)（ 1）的結(jié)論即可求出 a、 b的值； （ 3）根據(jù)題意， 4=2mn，首先確定 m、 n的值，通過分析 m=2， n=1或者 m=1， n=2，然后即可確定好 第 23 頁（共 48 頁） a 的值． 【解答】解：（ 1） ∵ a+b = ， ∴ a+b =m2+3n2+2mn ， ∴ a=m2+3n2， b=2mn． 故答案為： m2+3n2， 2mn． （ 2）設 m=1， n=1， ∴ a=m2+3n2=4， b=2mn=2． 故答案為 1． （ 3）由題意，得： a=m2+3n2， b=2mn ∵ 4=2mn，且 m、 n為正整數(shù)， ∴ m=2， n=1或者 m=1， n=2， ∴ a=22+3 12=7，或 a=12+3 22=13． 【點評】本題主要考查二次根式的混合運算，完全平方公式，解題的關鍵在于熟練運算完全平方公式和二次根式的運算法則． 26．（ 2022?永川區(qū)校級二模）如圖，在正方形 ABCD中，點 E是 AB中點，點 F是 AD上一點，且 DE=CF，ED、 FC 交于點 G，連接 BG， BH平分 ∠ GBC交 FC 于 H，連接 DH． （ 1）若 DE=10，求線段 AB 的長； （ 2）求證： DE﹣ HG=EG． 【考點】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰直角三角形；圓周角定理． 第 24 頁（共 48 頁） 【分析】（ 1）設 AE=x，則 AD=2x，在直角三角形 AED 中利用勾股定理即可求出 x 的值，進而求出AB的長； （ 2）利用已知得出 B、 C、 G、 E四點共圓，得出 BG=BC，進而得到 BH 是 GC 的中垂線，再利用 △ BHC≌△ CGD，得出 GH=DG即可證明 DE﹣ HG=EG． 【解答】（ 1）解：設 AE=x，則 AD=2x， ∵ 四邊形 ABCD是正方形， ∴∠ A=90176。 ， ∴ x2+（ 2x） 2=102， ∴ x=2 ， ∴ AB=2AE=4 ； （ 2）證明：在正方形 ABCD 中， 易證 RT△ CDF≌ RT△ DAE， ∴∠ FCD=∠ ADE， ∴∠ GDC+∠ DCF=90176。 ， ∴∠ DGC=∠ CGE=90176。 ， ∴∠ EGC=∠ EBC=90176。 ， ∴∠ EGC+∠ EBC=180176。 ， ∴ B、 C、 G、 E四點共圓， ∠ AED=∠ BCG， 連 EC， ∴∠ BGC=∠ BEC， ∵ BE=EA， BC=AD， ∴ RT△ BCE≌ RT△ ADE， ∴∠ AED=∠ BEC， ∴∠ BGC=∠ AED， ∴∠ BGC=∠ BCG， ∴ BG=BC， 又 ∵ BH 平分 ∠ GBC， ∴ BH是 GC的中垂線， 第 25 頁（共 48 頁） ∴ GH=HC， ∴ GH=DG， ∴△ DGH是等腰直角三角形， 即： DE﹣ HG=EG． 【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與四點共圓的性質(zhì)與判定，根據(jù)已知得出 B、 C、 G、 E四點共圓，以及 BG 是 GC的中垂線是解題關鍵． 八年級（下）期中數(shù)學試卷 一、選擇題（本題共 12個小題．在每題所列四個選項中，只有一個符合題意，把符合題意的選項所對應的字母代號寫在答題紙中各題對應的方格里）． 1．若 有意義，則 x的取值范圍（ ） A． x＞ 2 B． x≤ C． x≠ D． x≤ 2 2．已知一個直角三角形的兩邊長分別為 3和 4，則第三邊長的平方是（ ） A． 25 B． 7 C． 5和 7 D． 25或 7 3．下列各組數(shù)中不能作為直角三角形的三邊長的是（ ） A． ， 2， 3 B． 7， 24， 25 C． 6， 8， 10 D． 9， 12， 15 4．四邊形 ABCD中，對角線 AC、 BD相交于點 O，下列條件不能判定這個四邊形是平行四邊形的是（ ） A． AB∥ DC， AD∥ BC B． AB=DC， AD=BC C． AO=CO， BO=DO D． AB∥ DC， AD=BC 5．已知二次根式 中最簡二次根式共有（ ） 第 26 頁（共 48 頁） A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個 6．如圖，長為 8cm 的橡皮筋放置在 x 軸上，固定兩端 A 和 B，然后把中點 C 向上拉升 3cm 至 D 點，則橡皮筋被拉長了（ ） A． 2cm B． 3cm C． 4cm D． 5cm 7．如圖，平行四邊形 ABCD的對角線交于點 O，且 AB=6， △ OCD的周長為 16，則 AC與 BD的和是（ ） A． 10 B． 16 C． 20 D． 22 8．如圖字母 B所代表的正方形的面積是（ ） A． 12 B． 13 C． 144 D． 194 9．如果最簡根式 與 是同類二次根式，那么使 有意義的 x 的取值范圍是（ ） A． x≤ 10 B． x≥ 10 C． x＜ 10 D． x＞ 10 10．如圖所示，在菱形 ABCD 中， AC、 BD相交于點 O， E為 AB 中點，若 OE=3，則菱形 ABCD的周長是（ ） A． 12 B． 18 C． 24 D． 30 11．矩形一個內(nèi)角的平分線把矩形的一邊分成 3cm和 5cm，則矩形的周長為（ ） A． 16cm B． 22cm或 26cm C． 26cm D．以上都不對 第 27 頁（共 48 頁） 12．實數(shù) a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則 化簡后為（ ） A． 7 B．﹣ 7 C． 2a﹣ 15 D．無法確定 二、填空題（本題共 6個小題．請把最終結(jié)果填寫在答題紙中各題對應的橫線上）． 13．已知平行四邊形 ABCD中， ∠ B=70176。 ，則 ∠ A= ， ∠ D= ． 14．若直角三角形的兩直角邊的長分別為 a、 b，且滿足 +（ b﹣ 4） 2=0，則該直角三角形的斜邊長為 ． 15．若 a= + +2，則 a= ， b= ． 16．小玲要求 △ ABC最長邊上的高，測得 AB=8cm， AC=6cm， BC=10cm，則最長邊上的高為 cm． 17．如圖，將一個邊長分別為 4cm、 8cm的矩形紙片 ABCD 折疊，使 C點與 A點重合，則 EB的長是 ． 18．對于任意不相等的兩個數(shù) a， b，定義一種運算 ※ 如下： a※b= ，如 3※2= ．那么 12※4= ． 三、解答題（請在答題紙中各題對應的空間寫出必要的過程）． 19．計算： （ 1） ． （ 2） （ 3）先化簡，再求值： ，其中 x= ． 20．如圖，墻 A處需要維修， A處距離墻腳 C處 8米，墻下是一條寬 BC 為 6米的小河