【正文】 21．已知 a、 b、 c滿足（ a﹣ 3） 2+ +|c﹣ 5|=0． 求：（ 1） a、 b、 c的值； （ 2）試問(wèn)以 a、 b、 c為邊能否構(gòu)成三角形？若能構(gòu)成三角形，求出三角形的周長(zhǎng)；若不能構(gòu)成三角形，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根． 【專題】計(jì)算題． 【分析】（ 1）根據(jù)已知條件，結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，易求 a、 b、 c的值； （ 2）由于 32+42=52，易知此三角形是直角三角形，故能夠構(gòu)成三角形，再利用三角形周長(zhǎng)公式易求其周長(zhǎng)． 第 41 頁(yè)（共 48 頁(yè)） 【解答】解：（ 1） ∵ ， 又 ∵ （ a﹣ 3） 2≥ 0， ， |c﹣ 5|≥ 0， ∴ a﹣ 3=0， b﹣ 4=0， c﹣ 5=0， ∴ a=3， b=4， c=5； （ 2） ∵ 32+42=52， ∴ 此 △ 是直角三角形， ∴ 能構(gòu)成三角形，且它的周長(zhǎng) l=3+4+5=12． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、三角形三邊之間的關(guān)系、勾股定理的逆定理．解題的關(guān)鍵是熟練掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)． 22．如圖所示，在 ?ABCD中，點(diǎn) E， F在對(duì)角線 AC上，且 AE=CF．請(qǐng)你以 F為一個(gè)端點(diǎn)，和圖中已知標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條新線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等（只須證明一組線段相等即可）． （ 1）連接 BF ； （ 2）猜想： DE = BF ； （ 3）證明． 【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題；壓軸題；開(kāi)放型． 【分析】（ 1）已知條件是 AE=CF，那么應(yīng)構(gòu)造 AE和 CF所在的三角形，所以連接 BF． （ 2）在兩個(gè)三角形中，已知其他兩條邊對(duì)應(yīng)相等，那么所求的一定是第三條邊對(duì)應(yīng)相等． （ 3）利用平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，加上已知條件利用 SAS可證得這兩條邊所在的三角形全等，進(jìn)而求得相應(yīng)的線段相等． 【解答】解：解法一：（如圖） 第 42 頁(yè)（共 48 頁(yè)） （ 1）連接 BF． （ 2）猜想： BF=DE． （ 3）證明： ∵ 四邊形 ABCD為平行四邊形， ∴ AD=BC， AD∥ BC． ∴∠ DAE=∠ BCF． 在 △ BCF和 △ DAE中， ， ∴△ BCF≌△ DAE， ∴ BF=DE． 解法二：（如圖） （ 1）連接 BF． （ 2）猜想： BF=DE． （ 3）證明： ∵ 四邊形 ABCD為平行四邊形， ∴ AO=OC， DO=OB． ∵ AE=FC， ∴ AO﹣ AE=OC﹣ FC． ∴ OE=OF． ∴ 四邊形 EBFD為平行四邊形． ∴ BF=DE． 解法三：（如圖） 第 43 頁(yè)（共 48 頁(yè)） （ 1）連接 DF． （ 2）猜想： DF=BE． （ 3）證明： ∵ 四邊形 ABCD為平行四邊形， ∴ CD∥ AB， CD=AB． ∴∠ DCF=∠ BAE． 在 △ CDF和 △ ABE中， ， ∴△ CDF≌△ ABE． ∴ DF=BE． 【點(diǎn)評(píng)】平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時(shí)要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法． 23．已知：如圖， ?ABCD中， E、 F分別是邊 AB、 CD 的中點(diǎn)． （ 1）求證：四邊形 EBFD是平行四邊形； （ 2）若 AD=AE=2， ∠ A=60176。 ， ∠ A=180176。 ， ∴∠ ABC=∠ A=45176。 ﹣ 176。=90176。 ，較短的邊長(zhǎng)為 12，則對(duì)角線長(zhǎng)為 ． 16．如圖由于臺(tái)風(fēng)的影響，一棵樹(shù)在離地面 6m 處折斷，樹(shù)頂落在離樹(shù)干底部 8m 處，則這棵樹(shù)在折斷前（不包括樹(shù)根）長(zhǎng)度是 m． 17．如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為 1，在 △ ABC中，點(diǎn) D為 AB的中點(diǎn)，則線段 CD的長(zhǎng)為 ． 18． =2 ， =3 ， =4 ， … 觀察下列各式：請(qǐng)你找出其中規(guī)律，并將第 n（ n≥ 1）個(gè)等式寫出來(lái) ． 三、解答題（本大題 2個(gè)小題，每小題 7分，共 14分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過(guò)程或推理步驟 19．計(jì)算： ． 20．如圖，已知，在平面直角坐標(biāo)系中， A（﹣ 3，﹣ 4）， B（ 0，﹣ 2）． （ 1） △ OAB繞 O點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180176。 ﹣ ∠ CDF=90176。 ， ∴∠ ODH=∠ OHD， ∴ OD=OH= BF；故 ③ 正確． 故選 B． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)．解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合角平分線的性質(zhì)逐步解答． 二、填空（本大題 6個(gè)小題，每題 4分，共 24分） 第 14 頁(yè)（共 48 頁(yè)） 13．計(jì)算 ﹣ = ． 【考點(diǎn)】二次根式的加減法． 【分析】先進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)，然后合并． 【解答】解：原式 =3 ﹣ = ． 故答案為： ． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的加減法，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次根式的化簡(jiǎn)以及同類二次根式的合并． 14．函數(shù) y=﹣ 2x+3的圖象經(jīng)不過(guò)第 一二四 象限． 【考點(diǎn)】一次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)解答即可． 【解答】解： ∵ 一次函數(shù) y=﹣ 2x+3中， k=﹣ 2＜ 0， b=3＞ 0， ∴ 此函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一二四象限． 故答案為：一二四． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)，熟知一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵． 15．矩形的兩條對(duì)角線所夾的銳角為 60176。 ， ∴∠ DGC=∠ CGE=90176。 ，求四邊形 EBFD的周長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理． 【專題】計(jì)算題；證明題． 【分析】 在 ?ABCD中， AB=CD， AB∥ CD，又 E、 F分別是邊 AB、 CD的中點(diǎn)，所以 BE=CF，因此四邊形 EBFD是平行四邊形 由 AD=AE=2， ∠ A=60176。 ，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)，即可求得答案． 【解答】解： ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴∠ D=∠ B=70176。 ， ∠ A=45176。 ﹣ 176。 ﹣ 176。 得到 △ OA1B1，請(qǐng)畫出 △ OA1B1，并寫出 A1， B1的坐標(biāo)； （ 2）直接判斷以 A， B， A1， B1為頂點(diǎn)的四邊形的形狀． 第 4 頁(yè)（共 48 頁(yè)） 四、解答題：（本大題共 4個(gè)小題，每小題 10分，共 40分）解答時(shí)每小題都必須寫出必要的演算過(guò)程或推理步驟． 21．化簡(jiǎn)求值： ． 22．如圖，已知 ABCD是平行四邊形， AE平分 ∠ BAD， CF 平分 ∠ BCD，分別交 BC、 AD于 E、 F．求證：AF=EC． 23．如圖，一次函數(shù) y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A和點(diǎn) B． （ 1）求該一次函數(shù)的解析式； （ 2）求該函數(shù)與兩坐標(biāo)軸所圍成的直角三角形的面積． 24．如圖，在 Rt△ ABC中， ∠ ACB=90176。 ﹣ 176。 ，較短的邊長(zhǎng)為 12，則對(duì)角線長(zhǎng)為 24 ． 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)． 【分析】由矩形的性質(zhì)得出 OA=OB，證明 △ AOB是等邊三角形，得出 OA=OB=AB=12，即可得出對(duì)角線的長(zhǎng)． 【解答】解：如圖所示： ∵ 四邊形 ABCD是矩形， ∴ OA= AC， OB= BD， AC=BD， ∴ OA=OB， ∵∠ AOB=60176。 ， ∴∠ EGC=∠ EBC=90176。 知 △ ADE是等邊三角形，又 E、 F分別是邊 AB、 CD的中點(diǎn)，四邊形 EBFD是平行四邊形，所以 EB=BF=FD=DE=2，四邊形 EBFD是平行四邊形的周長(zhǎng)是 2+2+2+2=8 【解答】解：（ 1）在 ?ABCD 中， 第 44 頁(yè)（共 48 頁(yè)） AB=CD， AB∥ CD． ∵ E、 F分別是 AB、 CD 的中點(diǎn)， ∴ ． ∴ BE=DF． ∴ 四邊形 EBFD是平行四邊形 （ 2） ∵ AD=AE， ∠ A=60176。 ． 第 37 頁(yè)（共 48 頁(yè)） 【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】由平行四邊形 ABCD 中， ∠ B=70176。 時(shí)，四邊形 BECD是正方形． 理由是： ∵∠ ACB=90176。 ﹣ ∠ HCF﹣ ∠ BFH=180176。 ﹣ 176。 ，過(guò)點(diǎn) C的直線 m∥ AB， D為 AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) D作 DE⊥ BC，交直線 m 于點(diǎn) E，垂足為點(diǎn) F，連接 CD， BE． （ 1）求證： CE=AD； （ 2）當(dāng)點(diǎn) D是 AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形 BECD是什么特殊四邊形？說(shuō)明你的理由； 第 5 頁(yè)（共 48 頁(yè)） （ 3）當(dāng) ∠ A的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形 BECD是正方形？（不需要證明） 五、解答題：（本大題共 2個(gè)小題，每小題 12分，共 24分）解答時(shí)每小題都必須寫出必要的演算過(guò)程或推理步驟． 25．閱讀材料： 小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如 3+ =（ 1+ ）2．善于思考的小明進(jìn)行了以下探索： 設(shè) a+b =（ m+n ） 2（其中 a、 b、 m、 n均為整數(shù)），則有 a+b =m2+2n2+2mn ． ∴ a=m2+2n2， b=2mn．這樣小明就找到了一種把類似 a+b 的式子化為平方式的方法． 請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題： （ 1）當(dāng) a、 b、 m、 n均為正整數(shù)時(shí)，若 a+b = ，用含 m、 n 的式子分別表示 a、 b，得：a= ， b= ； （ 2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù) a、 b、 m、 n填空： + =（ + ） 2； （ 3）若 a+4 = ，且 a、 m、 n均為正整數(shù)，求 a的值？ 26．如圖，在正方形 ABCD中，點(diǎn) E是 AB 中點(diǎn)，點(diǎn) F是 AD上一點(diǎn)，且 DE=CF， ED、 FC交于點(diǎn) G，連接 BG， BH平分 ∠ GBC交 FC 于 H，連接 DH． （ 1）若 DE=10，求線段 AB 的長(zhǎng)； （ 2）求證： DE﹣ HG=EG． 第 6 頁(yè)（共 48 頁(yè)） 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題 12個(gè)小題，每小題 4分，共 48分） 1．下列二次根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【考點(diǎn)】最簡(jiǎn)二次根式． 【分析】判定一個(gè)二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式的方法，就是逐個(gè)檢查最 簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件是否同時(shí)滿足，同時(shí)滿足的就是最簡(jiǎn)二次根式，否則就不是． 【解答】解： A、被開(kāi)方數(shù)含分母，故 A錯(cuò)誤； B、被開(kāi)方數(shù)含分母，故 B錯(cuò)誤； C、被開(kāi)方數(shù)含能開(kāi)得盡方的因數(shù)，故 C錯(cuò)誤； D、被開(kāi)方數(shù)不含分母；被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，故 D正確； 故選： D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查最簡(jiǎn)二次根式的定義，被開(kāi)方數(shù)不含分母；被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式． 2．二次根式 有意義的條件是（ ） A． x＞ 3 B． x＞ ﹣ 3 C． x≥ ﹣ 3 D． x≥ 3 【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件． 【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件求出 x+3≥ 0，求出即可． 【解答】解： ∵ 要使 有意義，必須 x+3≥ 0， ∴ x≥ ﹣ 3， 故選 C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式有意義的條件的應(yīng)用，注意：要使 有意義，必須 a≥ 0． 3．下列各組數(shù)中，以 a， b， c為邊的三角形不是直角三角形的是（ ） A． a=， b=2， c=3 B． a=7， b=24， c=25 C． a=6， b=8， c=10 D． a=3， b=4， c=5 【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理． 【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這 個(gè)是直角 第 7 頁(yè)（共 48 頁(yè)） 三角形判定則可．如果有這種關(guān)系，這個(gè)就是直角三角形． 【解答】解： A、 ∵ +22≠ 32， ∴ 該三角形不是直角三角形，故 A選項(xiàng)符合題意； B、 ∵ 72+242=252， ∴ 該三角形是直角三角形，故 B選項(xiàng)不符合題意； C、 ∵ 62+82=102， ∴ 該三角形是直角三角形，故 C選項(xiàng)不符合題意； D、 ∵ 32+42=52， ∴ 該三角形不是直角三角形，故 D選項(xiàng)不符合題意． 故選： A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與 最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷． 4．已知一次函數(shù) y=﹣ x+b，過(guò)點(diǎn)（﹣ 8，﹣ 2），那么一次函數(shù)的解析式為（ ） A． y=﹣ x﹣ 2 B． y=﹣ x﹣ 6 C． y=﹣ x﹣ 10 D． y=﹣ x﹣ 1 【考點(diǎn)】待定系數(shù)法