【正文】 （ 3）當(dāng) ∠ A的大小滿足什么條件時，四邊形 BECD是正方形？（不需要證明） 【考點】四邊形綜合題． 【分析】（ 1）由 BC⊥ AC， DE⊥ BC，得到 DE∥ AC，從而判斷出四邊形 ADEC是平行四邊形．即可， （ 2）先判斷出 △ BFD≌△ CFE，再判斷出 BC 和 DE垂直且互相平分，得到四邊形 BECD 是菱形． （ 3）先判斷出 ∠ CDB=90176。 ， ∴△ AOB是等邊三角形， ∴ OA=OB=AB=12， ∴ AC=BD=24． 第 15 頁（共 48 頁） 故答案為： 24． 【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，并能進行推理論證與計算是解決問題的關(guān)鍵． 16．如圖由于臺風(fēng)的影響，一棵樹在離地面 6m 處折斷，樹頂落在離樹干底部 8m 處，則這棵樹在折斷前（不包括樹根）長度是 16 m． 【考點】勾股定理的應(yīng)用． 【分析】根據(jù)大樹折斷部分、下部、地面恰好構(gòu)成直角三角形，根據(jù)勾股定理解答即可． 【解答】解：由題意得 BC=8m， AC=6m， 在直角三角形 ABC中，根據(jù)勾股定理得： AB= =10（米）． 所以大 樹的高度是 10+6=16（米）． 故答案為： 16． 【點評】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方． 17．如圖，每個小正方形的邊長為 1，在 △ ABC中，點 D為 AB的中點，則線段 CD的長為 ． 【考點】勾股定理；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理的逆定理． 第 16 頁（共 48 頁） 【分析】本題考查勾股定理的逆定理和直角三角形的性質(zhì)，利用了勾股定理的逆定理和直角三角形的性質(zhì)求解． 【解答】解：觀察圖形 AB= = ， AC= =3 ， BC= =2 ∴ AC2+BC2=AB2， ∴ 三角形為直角三角形， ∵ 直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半 ∴ CD= ． 【點評】解決此類題目要熟記斜邊上的中線等于斜邊的一半．注意勾股定理的應(yīng)用． 18． =2 ， =3 ， =4 ， … 觀察下列各式：請你找出其中規(guī)律，并將第 n（ n≥ 1）個等式寫出來 =（ n+1） ． 【考點】二次根式的性質(zhì)與化簡． 【專題】規(guī)律型． 【分析】根據(jù)觀察，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律，可得答案． 【解答】解：由 =2 ， =3 ， =4 ， … 得 =（ n+1） ， 故答案為： =（ n+1） ． 【點評】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題關(guān)鍵． 三、解答題（本大題 2個小題，每小題 7分，共 14分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟 19．計算： ． 【考點】實數(shù)的運算；零指數(shù)冪；負整數(shù)指數(shù)冪． 【專題】計算題． 【分析】根據(jù)實數(shù)的運算順序，首先計算乘方、開方，然后從左向右依次計算，求出算式的值是多少即可． 第 17 頁（共 48 頁） 【解答】解： =﹣ 1 +1﹣ 3 =3﹣ 4+2 +1﹣ 3 =﹣ 【點評】（ 1）此題主要考查了實數(shù)的運算，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行．另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用． （ 2）此題還考查了零指數(shù)冪的運算，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確： ① a0=1（ a≠ 0）； ②00≠ 1． （ 3）此題還考查了負整數(shù)指數(shù)冪的運算，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確： ① a﹣ p= （ a≠0， p為正整數(shù)）； ② 計算負整數(shù)指數(shù)冪 時，一定要根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪的意義計算； ③ 當(dāng)?shù)讛?shù)是分數(shù)時，只要把分子、分母顛倒，負指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù)． 20．如圖，已知，在平面直角坐標(biāo)系中， A（﹣ 3，﹣ 4）， B（ 0，﹣ 2）． （ 1） △ OAB繞 O點旋轉(zhuǎn) 180176。 ， ∴∠ OHD=180176。 ﹣ 176。 ﹣ 176。=176。 ， ∵ CE=CF， ∴ Rt△ BCE≌ Rt△ DCF， ∴∠ EBC=∠ CDF=176。 ﹣ 176。=176。 ，過點 C的直線 m∥ AB， D為 AB邊上一點，過點 D作 DE⊥ BC，交直線 m 于點 E，垂足為點 F，連接 CD， BE． （ 1）求證： CE=AD； （ 2）當(dāng)點 D是 AB中點時，四邊形 BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由； 第 5 頁（共 48 頁） （ 3）當(dāng) ∠ A的大小滿足什么條件時，四邊形 BECD是正方形？（不需要證明） 五、解答題：（本大題共 2個小題，每小題 12分，共 24分）解答時每小題都必須寫出必要的演算過程或推理步驟． 25．閱讀材料： 小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如 3+ =（ 1+ ）2．善于思考的小明進行了以下探索： 設(shè) a+b =（ m+n ） 2（其中 a、 b、 m、 n均為整數(shù)），則有 a+b =m2+2n2+2mn ． ∴ a=m2+2n2， b=2mn．這樣小明就找到了一種把類似 a+b 的式子化為平方式的方法． 請你仿照小明的方法探索并解決下列問題： （ 1）當(dāng) a、 b、 m、 n均為正整數(shù)時，若 a+b = ，用含 m、 n 的式子分別表示 a、 b，得：a= ， b= ； （ 2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù) a、 b、 m、 n填空： + =（ + ） 2； （ 3）若 a+4 = ，且 a、 m、 n均為正整數(shù)，求 a的值？ 26．如圖，在正方形 ABCD中，點 E是 AB 中點，點 F是 AD上一點，且 DE=CF， ED、 FC交于點 G，連接 BG， BH平分 ∠ GBC交 FC 于 H，連接 DH． （ 1）若 DE=10，求線段 AB 的長； （ 2）求證： DE﹣ HG=EG． 第 6 頁（共 48 頁） 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題 12個小題，每小題 4分，共 48分） 1．下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【考點】最簡二次根式． 【分析】判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最 簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是． 【解答】解： A、被開方數(shù)含分母，故 A錯誤； B、被開方數(shù)含分母，故 B錯誤； C、被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)，故 C錯誤； D、被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式，故 D正確； 故選： D． 【點評】本題考查最簡二次根式的定義，被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式． 2．二次根式 有意義的條件是（ ） A． x＞ 3 B． x＞ ﹣ 3 C． x≥ ﹣ 3 D． x≥ 3 【考點】二次根式有意義的條件． 【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件求出 x+3≥ 0，求出即可． 【解答】解： ∵ 要使 有意義，必須 x+3≥ 0， ∴ x≥ ﹣ 3， 故選 C． 【點評】本題考查了二次根式有意義的條件的應(yīng)用，注意：要使 有意義，必須 a≥ 0． 3．下列各組數(shù)中，以 a， b， c為邊的三角形不是直角三角形的是（ ） A． a=， b=2， c=3 B． a=7， b=24， c=25 C． a=6， b=8， c=10 D． a=3， b=4， c=5 【考點】勾股定理的逆定理． 【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這 個是直角 第 7 頁（共 48 頁） 三角形判定則可．如果有這種關(guān)系，這個就是直角三角形． 【解答】解： A、 ∵ +22≠ 32， ∴ 該三角形不是直角三角形，故 A選項符合題意； B、 ∵ 72+242=252， ∴ 該三角形是直角三角形，故 B選項不符合題意； C、 ∵ 62+82=102， ∴ 該三角形是直角三角形，故 C選項不符合題意； D、 ∵ 32+42=52， ∴ 該三角形不是直角三角形，故 D選項不符合題意． 故選： A． 【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時，應(yīng)先認真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與 最大邊的平方之間的關(guān)系，進而作出判斷． 4．已知一次函數(shù) y=﹣ x+b，過點（﹣ 8，﹣ 2），那么一次函數(shù)的解析式為（ ） A． y=﹣ x﹣ 2 B． y=﹣ x﹣ 6 C． y=﹣ x﹣ 10 D． y=﹣ x﹣ 1 【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式． 【專題】計算題；整式． 【分析】把已知點坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出 b的值，即可確定出一次函數(shù)解析式． 【解答】解：把（﹣ 8，﹣ 2）代入 y=﹣ x+b得：﹣ 2=8+b， 解得： b=﹣ 10， 則一次函數(shù)解析式為 y=﹣ x﹣ 10， 故選 C 【點評】此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵． 5．如圖，平行四邊形 ABCD 中， AD=5， AB=3， AE平分 ∠ BAD交 BC邊于點 E，則 EC等于（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 【考點】平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可以推導(dǎo)出等角，進而得到等腰三角形，推得 AB=BE，根據(jù) AD、 AB 的值，求出 EC 的值． 【解答】解： ∵ AD∥ BC， 第 8 頁（共 48 頁） ∴∠ DAE=∠ BEA ∵ AE平分 ∠ BAD ∴∠ BAE=∠ DAE ∴∠ BAE=∠ BEA ∴ BE=AB=3 ∵ BC=AD=5 ∴ EC=BC﹣ BE=5﹣ 3=2 故選： B． 【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定；在平行四邊形中，當(dāng)出現(xiàn)角平分線時，一般可構(gòu)造等腰三角形，進而利用等腰三角形的性質(zhì)解題． 6．已知函數(shù) y=（ a﹣ 1） x的圖象過一、三象限，那么 a的取值范圍是（ ） A． a＞ 1 B． a＜ 1 C． a＞ 0 D． a＜ 0 【考點】正比例函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)正比例函數(shù) y=（ a﹣ 1） x 的圖象經(jīng)過第一、三象限列出關(guān)于 a 的不等式 a﹣ 1＞ 0，通過解該不等式即可求得 a的取值范圍． 【解答】解： ∵ 正比例函數(shù) y=（ a﹣ 1） x的圖象經(jīng)過第一、三象限， ∴ a﹣ 1＞ 0， ∴ a＞ 1， 故選 A 【點評】本題主要考查一次函數(shù)圖象在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置與 k、 b的關(guān)系．解答本題注意理解：直線y=kx+b所在的位置與 k、 b 的符號有直接的關(guān)系． k＞ 0時，直線必經(jīng)過一、三象限． k＜ 0時，直線必經(jīng)過二、四象限． b＞ 0時，直線與 y軸正半軸相交． b=0時，直線過原點； b＜ 0時，直線與 y軸負半軸相交． 7．菱形 ABCD的兩條對角線相交于 O，若 AC=6， BD=8，則菱形 ABCD的周長是（ ） 第 9 頁（共 48 頁） A． B． 20 C． 24 D． 【考點】菱形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)菱形對角線互相垂直平分的性質(zhì)，可以求得 BO=OD， AO=OC，在 Rt△ AOD中，根據(jù)勾股定理可以求得 AB 的長，即可求菱形 ABCD的周長． 【解答】解： ∵ 菱形 ABCD的兩條對角線相交于 O， AC=6， BD=8，由菱形對角線互相垂直平分， ∴ BO=OD=4， AO=OC=3， ∴ AB= =5， 故菱形的周長為 20， 故選： B． 【點評】本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，以及菱形各邊長相等的性質(zhì)，本題中根據(jù)勾股定理計算 AB的長是解題的關(guān)鍵． 8．正比例函數(shù) y=kx（ k≠ 0）的函數(shù)值 y隨 x的增大而增大，則一次函數(shù) y=x+k的圖象大致是（ ） A． B． C． D． 【考點】一次函數(shù)的圖象；正比例函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】先根據(jù)正比例函數(shù) y=kx的函數(shù)值 y隨 x的增大而增大判斷出 k的符號，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論． 【解答】解： ∵ 正比例函數(shù) y=kx的函數(shù)值 y隨 x的增大而增大， ∴ k＞ 0， ∵ b=k＞ 0， ∴ 一次函數(shù) y=x+k的圖象經(jīng)過一、二、三象限， 故選 A 【點評】本題考查的是一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，即一次函數(shù) y=kx+b（ k≠ 0）中，當(dāng) k＞ 0， b＞ 0時函數(shù)的圖象在一、二、三象限． 9．如圖，函數(shù) y=2x和 y=ax+4的圖象相交于點 A（ m， 3），則不等式 2x＜ ax+4的解集為（ ） 第 10 頁（共 48 頁） A． x＜ 3 B． C． x＜ D． x＞ 3 【考點】一次函數(shù)與一元一次不等式． 【分析】觀察圖象，寫出直線 y=2x在直線 y=ax+4的下方所對應(yīng)的自變量的范圍即可． 【解答】解：把 x=m