大一高等數(shù)學優(yōu)秀復習資料(編輯修改稿)
2025-02-04 20:54 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 分母 分拆成兩個沒有 Qx 公因式的多項式的乘積：其中一個多項式可以表示為一次因式 ；而另一個多項式可以表示為二次質(zhì)因式 ，（ ）； 即： k a i b n i （ 稱為被積函數(shù)， 稱為被積表達式， x b稱為積分上限，則稱為積 分變量， a稱為積分下限， 2 l 稱為積分區(qū)間） ○定積分的性質(zhì)（ ★★★ ） ，則參數(shù) bc 則參數(shù) 一般地： ⑵ ⑶ ⑴ a a a ab b b b aa ⑷ （線性性質(zhì)） ⑸ （積分區(qū)間的可加性） bbb ⑵ 則設有理函數(shù) Qx的分拆和式為： b a a c cb 其中 ⑹ 若函數(shù) 在積分區(qū)間 上滿足 ，則 ； a b b b （推論一） k 2 AkA1A2 l 若函數(shù) 、函數(shù) 在積分區(qū)間 上滿 l ； （推論二） a a b b a a 足 ，則 ○積分中值定理（不作要求） 第二節(jié) 微積分基本公式 ○牛頓 萊布尼茲公式（ ★★★ ） （定理三）若果函數(shù) 是連續(xù)函數(shù) 在區(qū)間 參數(shù) 由待定系 數(shù)法（比較法）求出 ⑶ 得到分拆式后分項積分即可求解 上的一個原函數(shù)，則 a b x2 dx（構(gòu)造法） 【題型示例】求 【求解示例】 ○變限積分的導數(shù)公式（ ★★★ ）（上上導 ― 下下導） 【題型示例】求 lim 11 第五節(jié) 積分表的使用（不作要求） 1 cosx 2 【求解示例】 解： 1 高等數(shù)學期末復習資料 第 8頁（共 18頁） x 2x 2 x ○偶倍奇零（ ★★ ） 設 ，則有以下結(jié)論成立： ⑴ 若 ，則 a 2d a a ⑵ 若 ，則 s2x 2 第四節(jié) 定積分在幾何上的應用（暫時不作要求） 第五節(jié) 定積分在物理上的應用（暫時不作要求） 第六節(jié) 反常積分（不作要求） 第三節(jié) 定積分的換元法及分部積分法 ○定積分的換元法（ ★★★ ） ⑴ （第一換元法） 21 dx 【題型示例】求 bb 如：不定積分公式 a 1 的證明。很 多同學上課時無法證明，那么在學期結(jié)束時，我給出這樣一種證明方法以說明問題： 1112 11x 也就很如此，不定積分公式 2 【求解示例】 解： 211211 2 ⑵ （第二換元法） 設函數(shù) ，函數(shù) 滿足： a ． ，使得； b．在區(qū)間 或 上， 連續(xù) 則： b a 【題型示例】求【求解示例】 4 22 解： 33 ⑶ （分部積分法） 3 aba b aba b a b 容易證明了，希望大家仔細揣摩，認真理解。 最后，限于編者水平的限制，資料中錯誤和疏漏在所難免，希望同學們積極指出，以便互相學習改進。 高等數(shù)學期末復習資料 第 9頁（共 18頁） 高等數(shù)學（本科少學時類型） 第六章 函數(shù)與極限 第十節(jié) 函數(shù) ○函數(shù)基礎（高中函數(shù)部分相關知識）（ ★★★ ） ○鄰域（去心鄰域）（ ★ ） ○無窮小與無窮大的相關定理與推論（ ★★ ） （定理三）假設 為有界函數(shù)， 為無窮小，則 （定理四）在自變量的某個變化過程中，若 為無窮大，則 為無窮??；反之，若 為無窮小，且 ，則 為無窮大 【題型示例】計算：（或 ） 第十一節(jié) 數(shù)列的極限 ○數(shù)列極限的證明（ ★ ） 【題型示例】已知數(shù)列 ，證明 1． ∵ ∴ 函數(shù) 在 的任一去心鄰域 則有 lim （特別地，當 （不定型）時，通常分 【證明示例】 語言 1．由 化簡得 ， ∴ 2．即對 ， ，當 時，始終有不等式 成立， ∴ 時函數(shù)極限的證明（ ★ ） 【題型示例】已知函數(shù) ，證明 li 【證明示例】 語言 1．由 化簡得 ， ∴ 2．即對 ， ，當 時，始終有不等式 成立， ∴ 第十三節(jié) 無窮小與無窮大 ○無窮小與無窮大的本質(zhì)（ ★ ） 函數(shù) 無窮小函數(shù) 無窮大 子分母約去公因式即約去可去間斷點便可求解出極限值，也可以用羅比達法則求解） 【題型示例】求值 lim 高等數(shù) 學期末復習資料 第 10頁（共 18頁） 【求解示例】解：因為 ，從而可得 ，所以原 其中 為函數(shù) 的可去間斷點 式 倘若運用羅比達法則求解（詳見第三章第二節(jié)）： 解： 2 解： lim2 ○連續(xù)函數(shù)穿越定理（復合函數(shù)的極限求解）（ ★★ ） （定理五）若函數(shù) 是定義域上的連續(xù)函數(shù)，那 00 lim 么， 【題型示例】求值： lim 第十六節(jié) 無窮小量的階（無窮 小的比較） ○等價無窮小（ ★★ ） ． U ． （乘除可替，加減不行） 【題型示例】求值： 【求解示例】 解：因為 即 所以原式 33第十七節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性 ○函 數(shù)連續(xù)的定義（ ★ ） 【求解示例】 2 2 第十五節(jié) 極限存在準則及兩個重要極限 ○夾迫準則（ P53）（ ★★★ ） 第一個重要極限： lim∵ sinx ， ∴ ○間斷點的分類（ P67）（ ★ ） 跳越間斷點（不等） 第一類間斷點（左右極限存在） 可去間斷點（相等） 第二類間斷點 ） 無窮間斷點（極限為 （特別地，可去間斷點能在分式中約去相應公因式） （特別地， ） ○單調(diào)有界收斂準則（ P57）（ ★★★ ） 第二個重要極限： （一般地， ） x ，其中 【題型示例】設函數(shù) ，應該怎樣選 擇數(shù) a，使得 成為在 R上的連續(xù)函數(shù)？ 【求解示例】 1． ∵ ．由連續(xù)函數(shù)定義 【題型示例】求值： 【求解示例】 ∴ 高等數(shù)學期末復習資料 第 11 頁（共 18頁） 第 十八節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) ○零點定理（ ★ ） 【題型示例】證明：方程 至少有一個根介于 a與 b之間 【證明示例】 1．（建立輔助函數(shù)）函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)； 2． ∵ （端點異號） 3．
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