【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 在[a,b]對(duì)應(yīng)的曲線是凸的； 例題：判斷函數(shù)的凹向 解答：我們根據(jù)定理二來(lái)判定。 因?yàn)?，所以在函?shù)的定義域(0,+∞)內(nèi)，＜0， 故函數(shù)所對(duì)應(yīng)的曲線時(shí)下凹的。拐點(diǎn)的定義 連續(xù)函數(shù)上，上凹弧與下凹弧的分界點(diǎn)稱(chēng)為此曲線上的拐點(diǎn)。拐定的判定方法 如果在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，我們可按下列步驟來(lái)判定的拐點(diǎn)。 (1)：求； (2)：令=0，解出此方程在區(qū)間(a,b)內(nèi)實(shí)根； (3)：對(duì)于(2)中解出的每一個(gè)實(shí)根x0，檢查在x0左、右兩側(cè)鄰近的符號(hào)，若符號(hào)相反，則此點(diǎn)是拐點(diǎn)，若相同，則不是拐點(diǎn)。 例題：求曲線的拐點(diǎn)。 解答：由， 令=0，得x=0，2/3 判斷在0，2/3左、右兩側(cè)鄰近的符號(hào)，可知此兩點(diǎn)皆是曲線的拐點(diǎn)。四、不定積分不定積分的概念 不定積分的概念 函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)叫做函數(shù)f(x)的不定積分，記作。 由上面的定義我們可以知道：如果函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，那末f(x)的不定積分就是函數(shù)族F(x)+C. 即:=F(x)+C不定積分的性質(zhì) 函數(shù)的和的不定積分等于各個(gè)函數(shù)的不定積分的和； 即： 求不定積分時(shí)，被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面來(lái)， 即： 求不定積分的方法換元法 換元法（一）：設(shè)f(u)具有原函數(shù)F(u)，u=g(x)可導(dǎo)，那末F[g(x)]是f[g(x)]g39。(x)的原函數(shù). 即有換元公式: 例題：求 解答：這個(gè)積分在基本積分表中是查不到的，故我們要利用換元法。 設(shè)u=2x，那末cos2x=cosu，du=2dx，因此： 換元法（二）：設(shè)x=g(t)是單調(diào)的，可導(dǎo)的函數(shù)，并且g39。(t)≠0，又設(shè)f[g(t)]g39。(t)具有原函數(shù)φ(t)， 則φ[g(x)]是f(x)的原函數(shù).(其中g(shù)(x)是x=g(t)的反函數(shù)） 即有換元公式: 例題：求 解答：這個(gè)積分的困難在于有根式，但是我們可以利用三角公式來(lái)?yè)Q元. 設(shè)x=asint(π/2tπ/2)，那末，dx=acostdt,于是有： 關(guān)于換元法的問(wèn)題 不定積分的換元法是在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的基礎(chǔ)上得來(lái)的，我們應(yīng)根據(jù)具體實(shí)例來(lái)選擇所用的方法，求不定積分不象求導(dǎo)那樣有規(guī)則可依，因此要想熟練的求出某函數(shù)的不定積分，只有作大量的練習(xí)。分部積分法 這種方法是利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則得來(lái)的。 設(shè)函數(shù)u=u(x)及v=v(x)，兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)公式為： (uv)39。=u39。v+uv39。，移項(xiàng)，得 uv39。=(uv)39。u39。v，對(duì)其兩邊求不定積分得： ，關(guān)于分部積分法的問(wèn)題 在使用分部積分法時(shí)，應(yīng)恰當(dāng)?shù)倪x取u和dv，否則就會(huì)南轅北轍。選取u和dv一般要考慮兩點(diǎn)： (1)v要容易求得；(2)容易積出。原則：反、對(duì)、冪、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)幾種特殊類(lèi)型函數(shù)的積分舉例有理函數(shù)的積分舉例有理函數(shù)是指兩個(gè)多項(xiàng)式的商所表示的函數(shù)，當(dāng)分子的最高項(xiàng)的次數(shù)大于分母最高項(xiàng)的次數(shù)時(shí)稱(chēng)之為假分式，反之為真分式。 在求有理函數(shù)的不定積分時(shí)，若有理函數(shù)為假分式應(yīng)先利用多項(xiàng)式的除法，把一個(gè)假分式化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和的形式，然后再求之。 例題：求 解答： 三角函數(shù)的有理式的積分舉例 三角函數(shù)的有理式是指由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算所構(gòu)成的函數(shù)。 例題：求 解答：五、定積分及其應(yīng)用定積分的概念　 我們先來(lái)看一個(gè)實(shí)際問(wèn)題———求曲邊梯形的面積。 設(shè)曲邊梯形是有連續(xù)曲線y=f(x)、x軸與直線x=a、x=b所圍成。如下圖所示： ，但是此圖形有一邊是一條曲線，該如何求呢？ 我們知道曲邊梯形在底邊上各點(diǎn)處的高f(x)在區(qū)間[a,b]上變動(dòng)，而且它的高是連續(xù)變化的，因此在很小的一段區(qū)間的變化很小，近似于不變，并且當(dāng)區(qū)間的長(zhǎng)度無(wú)限縮小時(shí)，高的變化也無(wú)限減小。因此，如果把區(qū)間[a,b]分成許多小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上，用其中某一點(diǎn)的高來(lái)近似代替同一個(gè)小區(qū)間上的窄曲變梯形的變高，我們?cè)俑鶕?jù)矩形的面積公式，即可求出相應(yīng)窄曲邊梯形面積的近似值，從而求出整個(gè)曲邊梯形的近似值。 顯然：把區(qū)間[a,b]分的越細(xì)，所求出的面積值越接近于精確值。為此我們產(chǎn)生了定積分的概念。定積分的概念 設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干個(gè)分點(diǎn) a=x0x1...xn1xn=b 把區(qū)間[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間 [x0，x1]，...[xn1,xn], 在每個(gè)小區(qū)間[xi1,xi]上任取一點(diǎn)ξi(xi1≤ξi≤xi),作函數(shù)值f(ξi)與小區(qū)間長(zhǎng)度的乘積f(ξi)△xi， 并作出和， 如果不論對(duì)[a,b]怎樣分法，也不論在小區(qū)間上的點(diǎn)ξi怎樣取法，只要當(dāng)區(qū)間的長(zhǎng)度趨于零時(shí)，和S總趨于確定的極限I， 這時(shí)我們稱(chēng)這個(gè)極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分， 記作。即：關(guān)于定積分的問(wèn)題 我們有了定積分的概念了，那么函數(shù)f(x)滿足什么條件時(shí)才可積？ 定理（1）：設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積。（2）：設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積。定積分的性質(zhì) 性質(zhì)(1)：函數(shù)的和(差)得定積分等于它們的定積分的和(差）. 即： 性質(zhì)(2)：被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面. 即： 性質(zhì)(3)：如果在區(qū)間[a,b]上，f(x)≤g(x)，則≤ （ab) 性質(zhì)(4)：設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值及最小值，則 m(ba)≤≤M(ba) 性質(zhì)(5)：如果f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一點(diǎn)ξ，使下式成立： =f(ξ)(ba) 注：此性質(zhì)就是定積分中值定理。微積分積分公式 積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，并且設(shè)x為[a,b](x)在部分區(qū)間[a,x]上的定積分,我們知道f(x)在[a,x]上仍舊連續(xù)，因此此定積分存在。 如果上限x在區(qū)間[a,b]上任意變動(dòng)，則對(duì)于每一個(gè)取定的x值，定積分有一個(gè)對(duì)應(yīng)值，所以它在[a,b]上定義了一個(gè)函數(shù)，記作φ(x): 注意：為了明確起見(jiàn)，我們改換了積分變量（定積分與積分變量的記法無(wú)關(guān)） 定理(1)：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)在[a,b]上具有導(dǎo)數(shù)， 并且它的導(dǎo)數(shù)是 （a≤x≤b) (2)：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則函數(shù)就是f(x)在[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)。 注意：定理（2）即肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的，又初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系。牛頓萊布尼茲公式 定理(3)：如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)，則 注意：此公式被稱(chēng)為牛頓萊布尼茲公式，它進(jìn)一步揭示了定積分與原函數(shù)(不定積分）之間的聯(lián)系。定積分的換元法與分部積分法定積分的換元法 我們知道求定積分可以轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的增量，在前面我們又知道用換元法可以求出一些函數(shù)的原函數(shù)。因此，在一定條件下，可以用換元法來(lái)計(jì)算定積分。 定理：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)；函數(shù)g(t)在區(qū)間[m,n]上是單值的且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；當(dāng)t在區(qū)間[m,n]上變化時(shí)，x=g(t)的值在[a,b]上變化，且g(m)=a,g(n)=b；則有定積分的換元公式: 例題:計(jì)算 解答:設(shè)x=asint,則dx=acostdt,且當(dāng)x=0時(shí)，t=0；當(dāng)x=a時(shí)，t=π/： 注意：在使用定積分的換元法時(shí)，當(dāng)積分變量變換時(shí)，積分的上下限也要作相應(yīng)的變換。定積分的分部積分法 計(jì)算不定積分有分部積分法，相應(yīng)地，計(jì)算定積分也有分部積分法。 設(shè)u(x)、v(x)在區(qū)間[a,b]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)u39。(x)、v39。(x)，則有(uv)39。=u39。v+uv39。,分別求此等式兩端在[a,b]上的定積分，并移向得： 上式即為定積分的分部積分公式。 例題：計(jì)算 解答：設(shè)，且當(dāng)x=0時(shí)，t=0；當(dāng)x=1時(shí)，t=： 再用分部積分公式計(jì)算上式的右端的積分。設(shè)u=t,dv=etdt,則du=dt,v=： 故：廣義積分　 在一些實(shí)際問(wèn)題中，我們常遇到積分區(qū)間為無(wú)窮區(qū)間，或者被積函數(shù)在積分區(qū)間上具有無(wú)窮間斷點(diǎn)的積分，它們已不屬于前面我們所學(xué)習(xí)的定積分了。為此我們對(duì)定積分加以推廣，也就是———廣義積分。一：積分區(qū)間為無(wú)窮區(qū)間的廣義積分 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,+∞)上連續(xù)，取b 存在， 則此極限叫做函數(shù)f(x)在無(wú)窮區(qū)間[a,+∞）上的廣義積分， 記作：， 即：=. 此時(shí)也就是說(shuō)廣義積分收斂。如果上述極限不存在，則說(shuō)廣義積分發(fā)散，此時(shí)雖然用同樣的記號(hào)，但它已不表示數(shù)值了。 類(lèi)似地，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(∞，b]上連續(xù)，取a 存在， 則此極限叫做函數(shù)f(x)在無(wú)窮區(qū)間(∞，b]上的廣義積分， 記作：， 即：=. 此時(shí)也就是說(shuō)廣義積分收斂。如果上述極限不存在，就說(shuō)廣義積分發(fā)散。 如果廣義積分和都收斂，則稱(chēng)上述兩廣義積分之和為函數(shù)f(x)在無(wú)窮區(qū)間(∞,+∞)上的廣義積分， 記作：， 即：= 上述廣義積分統(tǒng)稱(chēng)積分區(qū)間為無(wú)窮的廣義積分。 例題：計(jì)算廣義積分 解答：二：積分區(qū)間有無(wú)窮間斷點(diǎn)的廣義積分 設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b]上連續(xù)，0，如果極限 存在，則極限叫做函數(shù)f(x)在(a,b]上的廣義積分， 仍然記作：. 即：=， ，就說(shuō)廣義積分發(fā)散。 類(lèi)似地，設(shè)f(x)在[a,b)上連續(xù)，0，如果極限 存在， 則定義=； 否則就說(shuō)廣義積分發(fā)散。 又，設(shè)f(x)在[a,b]上除點(diǎn)c(acb)外連續(xù)， 則定義：=+. 否則就說(shuō)廣義積分發(fā)散。 例題：計(jì)算廣義積分(a0) 解答：因?yàn)椋詘=a為被積函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn)，于是我們有上面所學(xué)得公式可得： 六、空間解析幾何空間笛卡爾直角坐標(biāo)系空間兩點(diǎn)間的距離1