【正文】 (4。 我們先來對區(qū)域作些補充說明：如果經(jīng)過區(qū)域(σ)內(nèi)任意一點(即不是區(qū)域邊界上的點)作平行于y軸(或x軸)的直線,且此直線交(σ)的邊界不超過兩點，那末稱(σ)為沿y軸(x軸)(σ)即是沿y軸方向也是沿x軸方向的正規(guī)區(qū)域,那末(σ): 累次積分上下限的確定方法 在這里我們可能會有這個問題：累次積分的上下限是怎么確定的呢？ 或 也就是先把x看成常量，對y進行積分，然后在對x進行積分，或者是先把y看成常量，對x進行積分，然后在對y進行積分。 如果被積函數(shù)f(x,y)在積分區(qū)域(σ)上連續(xù)，那末二重積分必定存在。 對于二重積分的定義,我們并沒有f(x,y)≥,當f(x,y)≥0時,二重積分在幾何上就是以z=f(x,y)為曲頂，以(σ)為底且母線平行于z軸的曲頂柱體的體積。 關于二重積分的問題 其中x與y稱為積分變量，函數(shù)f(x,y)稱為被積函數(shù),f(x,y)dσ稱為被積表達式,(σ)稱為積分區(qū)域. 即：= (4),上述和數(shù)當n→＋∞且d→0時的極限存在,那末稱此極限為函數(shù)f(x,y)在區(qū)域(σ): (3)把所有這些乘積相加,即作出和數(shù) (2)在每一個子域(△σk)上任取一點，作乘積； (1)把區(qū)域(σ)任意劃分成n個子域(△σk)(k=1,2,3,…,n）,其面積記作△σk(k=1,2,3,…,n）； 設z=f(x,y)為有界閉區(qū)域(σ)上的有界函數(shù)：二重積分的定義 前面我們已經(jīng)知道了，定積分與曲邊梯形的面積有關。八、多元函數(shù)的積分學二重積分的概念及性質(zhì)　 z=1 解得唯一駐點x=3，y=,故可知 ,∞＜x＜+∞,∞＜y＜+∞ 求解與原點的距離最短的問題等價于求解與原點距離的平方下面我們給出實際問題中多元函數(shù)的極大值、極小值求解步驟。 例題：求的極值。 其中 設z=f(x,y)在(x0,y0)，那末函數(shù)f(x,y)在(x0,y0)取得極值的條件如下表所示：△=B2ACf(x0,y0)△＜0A＜0時取極大值A＞0時取極小值△＞0非極值△=0不定二元函數(shù)極值判定的方法 注意：此條件只是取得極值的必要條件。 二元可導函數(shù)在(x0,y0)取得極值的條件是：. (x0,y0)稱為極值點. 成立，那末就稱函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)處取得極小值f(x0,y0). f(x,y)≥f(x0,y0) 如果在(x0,y0)的某一去心鄰域內(nèi)的一切點(x,y)恒有等式：二元函數(shù)極值的定義 在一元函數(shù)中我們看到，利用函數(shù)的導數(shù)可以求得函數(shù)的極值，從而可以解決一些最大、最小值的應用問題。多元函數(shù)的極值　 此時的鏈導公式為: 這時復合函數(shù)的導數(shù)就是一個一元函數(shù)的導數(shù),稱為全導數(shù). 由二元函數(shù)z=f(u,v)和兩個一元函數(shù)復合起來的函數(shù)是x的一元函數(shù).全導數(shù) 一個多元復合函數(shù)，其一階偏導數(shù)的個數(shù)取決于此復合函數(shù)自變量的個數(shù)。下面我們來學習多元函數(shù)的復合函數(shù)的求導公式。y(x,y)連續(xù)，那末z=f(x,y)一定可微。 如果偏導數(shù)f39。 所以關于全微分的問題 注意：在找函數(shù)相應的全增量時，為了使△z與偏導數(shù)發(fā)生關系，我們把由(x0,y0)變到(x0+△x,y0+△y)的過程分為兩部：先由點(x0,y0)變到點(x0,y0+△y)，再變到點(x0+△x,y0+△y).其過程如下圖所示：y(x,y)△y+αρ，(α是當ρ→0時的無窮小) 注意：其中△z=f39。y(x,y)△y 記作：dz=f39。 那末該表達式稱為函數(shù)z=f(x,y)在(x,y)處(關于△x,△y)的全微分。 的高階無窮小， 當ρ→0時，是ρ()x(x,y)△x+f39。y(x,y)分別與自變量的增量△x,△y乘積之和 函數(shù)z=f(x,y)的兩個偏導數(shù)f39。全微分的定義 我們已經(jīng)學習了一元函數(shù)的微分的概念了，現(xiàn)在我們用類似的思想方法來學習多元函數(shù)的的全增量，從而把微分的概念推廣到多元函數(shù)。 解答：，全微分　 例題：求函數(shù)的二階偏導數(shù). 那末這兩個偏導函數(shù)的偏導數(shù)稱為z=f(x,y)的二階偏導數(shù)。y(x,y)仍然可導， 如果二元函數(shù)z=f(x,y)的偏導數(shù)f39。 把x和y看成常量對z求導，得.高階偏導數(shù) 把y和z看成常量對x求導，得. 解答：我們根據(jù)二元函數(shù)的偏導數(shù)的求法來做。 注意：二元函數(shù)偏導數(shù)的定義和求法可以推廣到三元和三元以上函數(shù)。 把x看作常量對y求導數(shù)，得簡稱偏導數(shù)。 那末稱函數(shù)f(x,y)在域D可導。如果函數(shù)f(x,y)在域D的每一點均可導，x(x0,y0)與f39。 記作f39。 同樣，把x固定在x0,讓y有增量△y,如果極限 函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)處對x的偏導數(shù)，實際上就是把y固定在y0看成常數(shù)后，一元函數(shù)z=f(x,y0)在x0處的導數(shù) 關于對x的偏導數(shù)的問題 記作：f39。 那末此極限值稱為函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)處對x的偏導數(shù)。 存在， 設有二元函數(shù)z=f(x,y)，點(x0,y0)△x，相應地函數(shù)z=f(x,y)有增量(稱為對x的偏增量)偏導數(shù)的定義然而，由于自變量多了一個，當變點由(x0,y0)沿不同方向變化時，函數(shù)f(x,y)的變化快慢一般說來時不同的，因此就需要研究f(x,y)在(x0,y0)點處沿不同方向的變化率。 在一元函數(shù)中，我們已經(jīng)知道導數(shù)就是函數(shù)的變化率。偏導數(shù)　 例題：求下面函數(shù)的間斷線 二元連續(xù)函數(shù)的和，差，積，商(分母不為零）和復合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù)。 二元函數(shù)間斷點的產(chǎn)生與一元函數(shù)的情形類似，但是二元函數(shù)間斷的情況要比一元函數(shù)復雜，它除了有間斷點，還有間斷線。 像一元函數(shù)一樣，我們可以利用二重極限來給出二元函數(shù)連續(xù)的定義：二元函數(shù)的連續(xù)性g(x,y)→A177。 那末常數(shù)A稱為函數(shù)f(x,y)當(x,y)→(ξ,η)時的二重極限。 成立， 的一切(x,y)都使不等式 如果定義于(ξ,η)的某一去心鄰域的一個二元函數(shù)f(x,y)跟一個確定的常數(shù)A有如下關系：對于任意給定的正數(shù)ε，無論怎樣小，相應的必有另一個正數(shù)δ，凡是滿足 下面我們用εδ語言給出二重極限的嚴格定義：二重極限的定義 那末就稱A是二元函數(shù)f(x,y)當(x,y)→(ξ,η)時的極限。如果當點(x,y)以任意方式趨向點(ξ,η)時，f(x,y)總是趨向于一個確定的常數(shù)A，對于二元函數(shù)z=f(x,y)我們同樣可以學習當自變量x與y趨向于有限值ξ與η時，函數(shù)z的變化狀態(tài)。 其定義域D就是此曲面在xOy平面上的投影。 當M點在D中變動時，對應的P點的軌跡就是函數(shù)z=f(x,y)， 把自變量x、y及因變量z當作空間點的直角坐標，先在xOy平面內(nèi)作出函數(shù)z=f(x,y)的定義域D；再過D域中得任一點M(x,y)作垂直于xOy平面的有向線段MP,使其值為與(x,y)對應的函數(shù)值z； 解答：該函數(shù)的定義域為：x≥,y≥0.二元函數(shù)的幾何表示 常見的區(qū)域有矩形域和圓形域。 關于二元函數(shù)的定義域的問題 記作：z=f(x,y). 其中x與y稱為自變量，函數(shù)z也叫做因變量，自變量x與y的變域D稱為函數(shù)的定義域。 設有兩個獨立的變量x與y在其給定的變域中D中，任取一組數(shù)值時，第三個變量z就以某一確定的法則有唯一確定的值與其對應，那末變量z稱為變量x與y的二元函數(shù)。 我們先以二個獨立的變量為基礎，來給出二元函數(shù)的定義。 例：一個圓柱體的體積與兩個獨立變量r,h有關。 我們前面所學的函數(shù)的自變量的個數(shù)都是一個，但是在實際問題中，所涉及的函數(shù)的自變量的個數(shù)往往是兩個，或者更多。 設有一條平面曲線C，繞著同一平面內(nèi)的一條直線L旋轉一周，這樣由C旋轉所形成的曲面稱為旋轉面，曲線C稱為旋轉面的母線，直線L稱為旋轉面的軸。 旋轉面 便是它們的交線方程。 設有兩個相交曲面，它們的方程是，那末聯(lián)立方程組： 我們知道，空間直線可看成兩平面的交線，因而它的方程可用此兩相交平面的方程的聯(lián)立方程組來表示，這就是直線方程的一般式?？臻g曲線的方程 如果此方程當且僅當P為曲面上的點時，才為P點的坐標所滿足。 我們知道，在空間中曲面可看成是一個動點或一條動曲線(直線)按一定的條件或規(guī)律運動而產(chǎn)生的軌跡。曲面與空間曲線曲面的方程 總的來說，平面、直線間的垂直與平行關系，最終都轉化為直線與直線的平行與垂直關系。因此平面間的平行與垂直關系，也就轉化為直線間的平行與垂直關系。 這就是直線方程的一般式。 上式就是直線L的方程，這種方程的形式被稱為直線方程的對稱式。 ,具有某一確定方位的直線可以有無窮多條,則直線便被唯一確定，因而此直線的方程就可由通過它的方向數(shù)和定點的坐標表示出來。直線及其方程 垂直于x、y、z軸的平面方程的一般形式為：Ax+D=0，By+D=0，Cz+D=0. 垂直于坐標軸通過y軸和z軸的平面方程的一般形式為：Ax+Cz=0，Ax+By=0. Ax+Cz+D=0.平行于y軸的平面方程的一般形式為：其中x,y,z的系數(shù)A，B，C是平面的法線的一組方向數(shù)。 解答：應用上面的公式得所求的平面方程為： 例題：設直線L的方向數(shù)為{3，4，8}，求通過點(2,1,4)且垂直于直線L的平面方程. 我們把與一平面垂直的任一直線稱為此平面的法線。 平面與空間直線平面及其方程 兩直線垂直的充分必要條件為： 兩直線平行的充分必要條件為： 兩直線平行、垂直的條件 若知道L1與L2的方向數(shù)則有公式為：兩直線的夾角 其中：根式取正負號分別得到兩組方向余弦，它們代表兩個相反的方向。 ，這三個與方向余弦成比例且不全為零的數(shù)A，B，C稱為空間直線的方向數(shù)，記作：{A，B，C}.即： 注意：從原點出發(fā)的任一單位的有向線段的方向余弦就是其端點坐標。 設有空間兩點，則其方向余弦可表示為： 若有向線段的方向確定了，則其方向角也是唯一確定的。 關于方向角的問題 設有空間兩點，若以P1為始點，,Oy,Oz三個坐標軸正向夾角分別記作α,β,β,≤α≤π,0≤β≤π,0≤γ≤π.方向角與方向余弦 設M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)為空間兩點，為了用兩點的坐標來表達它們間的距離d我們有公式： 六、空間解析幾何空間笛卡爾直角坐標系空間兩點間的距離 例題：計算廣義積分(a0) 否則就說廣義積分發(fā)散。 則定義：=+. 又，設f(x)在[a,b]上除點c(acb)外連續(xù)， 類似地，設f(x)在[a,b)上連續(xù)，0，如果極限 存在，則極限叫做函數(shù)f(x)在(a,b]上的廣義積分， 例題：計算廣義積分 上述廣義積分統(tǒng)稱積分區(qū)間為無窮的廣義積分。 記作：， 此時也就是說廣義積分收斂。 即：=. 則此極限叫做函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間(∞，b]上的廣義積分， 存在， 類似地，設函數(shù)f(x)在區(qū)間(∞，b]上連續(xù)，取a 此時也就是說廣義積分收斂。 即：=. 記作：， 則此極限叫做函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間[a,+∞）上的廣義積分， 存在，為此我們對定積分加以推廣，也就是———廣義積分。 再用分部積分公式計算上式的右端的積分。 例題：計算 上式即為定積分的分部積分公式。v+uv39。(x)，則有(uv)39。 設u(x)、v(x)在區(qū)間[a,b]上具有連續(xù)導數(shù)u39。 計算不定積分有分部積分法，相應地，計算定積分也有分部積分法。 注意：在使用定積分的換元法時，當積分變量變換時，積分的上下限也要作相應的變換。 解答:設x=asint,則dx=acostdt,且當x=0時，t=0；當x=a時，t=π/： 定理：設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)；函數(shù)g(t)在區(qū)間[m,n]上是單值的且有連續(xù)導數(shù)；當t在區(qū)間[m,n]上變化時，x=g(t)的值在[a,b]上變化，且g(m)=a,g(n)=b；則有定積分的換元公式:因此，在一定條件下，可以用換元法來計算定積分。定積分的換元法與分部積分法定積分的換元法 牛頓萊布尼茲公式 （a≤x≤b) 注意：為了明確起見，我們改換了積分變量（定積分與積分變量的記法無關）微積分積分公式 積分上限的函數(shù)