【正文】 我們稱f(x,y)在(x0,y0)處可導(dǎo)。如果函數(shù)f(x,y)在域D的每一點均可導(dǎo)， 那末稱函數(shù)f(x,y)在域D可導(dǎo)。 此時，對應(yīng)于域D的每一點(x,y)，必有一個對x(對y)的偏導(dǎo)數(shù)，因而在域D確定了一個新的二元函數(shù)， 稱為f(x,y)對x(對y)的偏導(dǎo)函數(shù)。簡稱偏導(dǎo)數(shù)。 例題：求z=x2siny的偏導(dǎo)數(shù) 解答：把y看作常量對x求導(dǎo)數(shù)，得 把x看作常量對y求導(dǎo)數(shù)，得 注意：二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義和求法可以推廣到三元和三元以上函數(shù)。 例題：求的偏導(dǎo)數(shù)。 解答：我們根據(jù)二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法來做。 把y和z看成常量對x求導(dǎo)，得. 把x和z看成常量對y求導(dǎo)，得. 把x和y看成常量對z求導(dǎo)，得.高階偏導(dǎo)數(shù) 如果二元函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)f39。x(x,y)與f39。y(x,y)仍然可導(dǎo)， 那末這兩個偏導(dǎo)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)稱為z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)。 二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)有四個：fxx，fxy，fyx，fyy. 注意：fxy與fyx的區(qū)別在于：前者是先對x求偏導(dǎo)，然后將所得的偏導(dǎo)函數(shù)再對y求偏導(dǎo)；xy與fyx都連續(xù)時，求導(dǎo)的結(jié)果于求導(dǎo)的先后次序無關(guān)。 例題：求函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù). 解答：，全微分　 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元函數(shù)的微分的概念了，現(xiàn)在我們用類似的思想方法來學(xué)習(xí)多元函數(shù)的的全增量，從而把微分的概念推廣到多元函數(shù)。 這里我們以二元函數(shù)為例。全微分的定義 函數(shù)z=f(x,y)的兩個偏導(dǎo)數(shù)f39。x(x,y),f39。y(x,y)分別與自變量的增量△x,△y乘積之和 f39。x(x,y)△x+f39。y(x,y)△y 若該表達式與函數(shù)的全增量△z之差， 當ρ→0時，是ρ() 的高階無窮小， 那末該表達式稱為函數(shù)z=f(x,y)在(x,y)處(關(guān)于△x,△y)的全微分。 記作：dz=f39。x(x,y)△x+f39。y(x,y)△y 注意：其中△z=f39。x(x,y)△x+f39。y(x,y)△y+αρ，(α是當ρ→0時的無窮小) 注意：在找函數(shù)相應(yīng)的全增量時，為了使△z與偏導(dǎo)數(shù)發(fā)生關(guān)系，我們把由(x0,y0)變到(x0+△x,y0+△y)的過程分為兩部：先由點(x0,y0)變到點(x0,y0+△y)，再變到點(x0+△x,y0+△y).其過程如下圖所示： 例題：求的全微分 解答：由于， 所以關(guān)于全微分的問題 如果偏導(dǎo)數(shù)f39。x(x,y),f39。y(x,y)連續(xù)，那末z=f(x,y)一定可微。多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法　 在一元函數(shù)中，我們已經(jīng)知道，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式在求導(dǎo)法中所起的重要作用，對于多元函數(shù)來說也是如此。下面我們來學(xué)習(xí)多元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式。我們先以二元函數(shù)為例：多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式 鏈導(dǎo)公式： 設(shè)均在(x,y)處可導(dǎo),函數(shù)z=F(u,v)在對應(yīng)的(u,v)處有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù), 那末,復(fù)合函數(shù)在(x,y)處可導(dǎo),且有鏈導(dǎo)公式： 例題：求函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù) 解答：令 由于 而 由鏈導(dǎo)公式可得： 其中 上述公式可以推廣到多元，在此不詳述。 一個多元復(fù)合函數(shù)，其一階偏導(dǎo)數(shù)的個數(shù)取決于此復(fù)合函數(shù)自變量的個數(shù)。在一階偏導(dǎo)數(shù)的鏈導(dǎo)公式中，項數(shù)的多少取決于與此自變量有關(guān)的中間變量的個數(shù)。全導(dǎo)數(shù) 由二元函數(shù)z=f(u,v)和兩個一元函數(shù)復(fù)合起來的函數(shù)是x的一元函數(shù). 這時復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是一個一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù),稱為全導(dǎo)數(shù). 此時的鏈導(dǎo)公式為: 例題：設(shè)z=u2v，u=cosx，v=sinx，求 解答：由全導(dǎo)數(shù)的鏈導(dǎo)公式得： 將u=cosx，v=sinx代入上式，得： 關(guān)于全導(dǎo)數(shù)的問題 全導(dǎo)數(shù)實際上是一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，只是求導(dǎo)的過程是借助于偏導(dǎo)數(shù)來完成而已。多元函數(shù)的極值　 在一元函數(shù)中我們看到，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以求得函數(shù)的極值，從而可以解決一些最大、最小值的應(yīng)用問題。多元函數(shù)也有類似的問題，這里我們只學(xué)習(xí)二元函數(shù)的極值問題。二元函數(shù)極值的定義 如果在(x0,y0)的某一去心鄰域內(nèi)的一切點(x,y)恒有等式： f(x,y)≤f(x0,y0) 成立，那末就稱函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)處取得極大值f(x0,y0)；如果恒有等式： f(x,y)≥f(x0,y0) 成立，那末就稱函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)處取得極小值f(x0,y0). (x0,y0)稱為極值點. 二元可導(dǎo)函數(shù)在(x0,y0)取得極值的條件是：. 注意：此條件只是取得極值的必要條件。 凡是使的點(x,y)稱為函數(shù)f(x,y)，但駐點卻不一定是極值點。二元函數(shù)極值判定的方法 設(shè)z=f(x,y)在(x0,y0)，那末函數(shù)f(x,y)在(x0,y0)取得極值的條件如下表所示：△=B2ACf(x0,y0)△＜0A＜0時取極大值A(chǔ)＞0時取極小值△＞0非極值△=0不定 其中 例題：求的極值。 解答：設(shè),則 ，. . 解方程組，得駐點(1,1),(0,0). 對于駐點(1,1)有,故 B2AC=(3)=27＜0，A=6＞0 因此，在點(1,1)取得極小值f(1,1)=1. 對于駐點(0,0)有,故 B2AC=(3)=9＞0 因此，在點(0,0)不取得極值.多元函數(shù)的最大、最小值問題 我們已經(jīng)知道求一元函數(shù)極大值、極小值的步驟，對于多元函數(shù)的極大值、極小值的求解也可采用同樣的步驟。下面我們給出實際問題中多元函數(shù)的極大值、極小值求解步驟。如下： a)：根據(jù)實際問題建立函數(shù)關(guān)系，確定其定義域； b)：求出駐點； c)：結(jié)合實際意義判定最大、最小值. 例題：在平面3x+4yz=26上求一點，使它與坐標原點的距離最短。 解答：a)：先建立函數(shù)關(guān)系,確定定義域 求解與原點的距離最短的問題等價于求解與原點距離的平方 ,故z=3x+: ,∞＜x＜+∞,∞＜y＜+∞ b)：求駐點 解得唯一駐點x=3，y=,故可知 z=1 c)：結(jié)合實際意義判定最大、最小值 由問題的實際意義可知，原點與平面距離的最小值是客觀存在的， ，平面上與原點距離最短的點為P(3,4,1). 從上例我們可以看出，上面函數(shù)關(guān)系也可看成是：求三元函數(shù) ， 在約束條件 3x+4yz=26 。八、多元函數(shù)的積分學(xué)二重積分的概念及性質(zhì)　 前面我們已經(jīng)知道了，定積分與曲邊梯形的面積有關(guān)。下面我們通過曲頂柱體的體積來引出二重積分的概念，在此我們不作詳述，請大家參考有關(guān)書籍。二重積分的定義 設(shè)z=f(x,y)為有界閉區(qū)域(σ)上的有界函數(shù)： (1)把區(qū)域(σ)任意劃分成n個子域(△σk)(k=1,2,3,…,n）,其面積記作△σk(k=1,2,3,…,n）； (2)在每一個子域(△σk)上任取一點，作乘積； (3)把所有這些乘積相加,即作出和數(shù) (4),上述和數(shù)當n→＋∞且d→0時的極限存在,那末稱此極限為函數(shù)f(x,y)在區(qū)域(σ): 即：= 其中x與y稱為積分變量，函數(shù)f(x,y)稱為被積函數(shù),f(x,y)dσ稱為被積表達式,(σ)稱為積分區(qū)域. 關(guān)于二重積分的問題 對于二重積分的定義,我們并沒有f(x,y)≥,當f(x,y)≥0時,二重積分在幾何上就是以z=f(x,y)為曲頂，以(σ)為底且母線平行于z軸的曲頂柱體的體積。 上述就是二重積分的幾何意義。 如果被積函數(shù)f(x,y)在積分區(qū)域(σ)上連續(xù)，那末二重積分必定存在。二重積分的性質(zhì) (1).被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到二重積分符號外面去. (2).有限個函數(shù)代數(shù)和的二重積分等于各函數(shù)二重積分的代數(shù)和. (3).如果把積分區(qū)域(σ)分成兩個子域(σ1)與(σ2),即(σ)=(σ1)+(σ2),那末: (4).如果在(σ)上有f(x,y)≤g(x,y),那末: ≤ (5).設(shè)f(x,y)在閉域(σ)上連續(xù),則在(σ)上至少存在一點(ξ,η),使 其中σ是區(qū)域(σ)的面積.二重積分的計算法　笛卡爾直角坐標系中的計算方法 這里我們采取的方法是累次積分法。也就是先把x看成常量，對y進行積分，然后在對x進行積分，或者是先把y看成常量，對x進行積分，然后在對y進行積分。為此我們有積分公式，如下： 或 在這里我們可能會有這個問題：累次積分的上下限是怎么確定的呢？ 累次積分上下限的確定方法 我們先來對區(qū)域作些補充說明：如果經(jīng)過區(qū)域(σ)內(nèi)任意一點(即不是區(qū)域邊界上的點)作平行于y軸(或x軸)的直線,且此直線交(σ)的邊界不超過兩點，那末稱(σ)為沿y軸(x軸)(σ)即是沿y軸方向也是沿x軸方向的正規(guī)區(qū)域,那末(σ): 關(guān)于累次積分上下限的取法如下所述: (1).如果(σ)為沿y軸方向的正規(guī)區(qū)域，(σ)的下部邊界曲線所對應(yīng)的函數(shù)y1(x)，積分上限是上部邊界曲線所對應(yīng)的函數(shù)y2(x).對x的積分下限與上限分別是(σ)的最左與最右點的橫坐標a與b. (2).如果(σ)為沿x軸方向的正規(guī)區(qū)域,(σ)的左部邊界曲線所對應(yīng)的函數(shù)x1(y)，積分上限是右部邊界曲線所對應(yīng)的函數(shù)x2(y).對y的積分下限與上限分別是(σ)的最低與最高點的橫坐標c與d. (3).如果(σ)為正規(guī)區(qū)域，那末累次積分可以交換積分次序。 (4