【正文】 大一期末復(fù)習(xí)和考研復(fù)習(xí)必備高高等數(shù)學(xué)基本知識(shí)點(diǎn)83一、函數(shù)與極限集合的概念 ⑴、全體非負(fù)整數(shù)組成的集合叫做非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集）。記作N⑵、所有正整數(shù)組成的集合叫做正整數(shù)集。記作N+或N+。⑶、全體整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集。記作Z。⑷、全體有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集。記作Q。⑸、全體實(shí)數(shù)組成的集合叫做實(shí)數(shù)集。記作R。⑶、鄰域：設(shè)α與δ是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且δ＞│xα│＜δ的實(shí)數(shù)x的全體稱為點(diǎn)α的δ鄰域，點(diǎn)α稱為此鄰域的中心，δ稱為此鄰域的半徑。函數(shù)⑴、函數(shù)的定義：如果當(dāng)變量x在其變化范圍內(nèi)任意取定一個(gè)數(shù)值時(shí)，量y按照一定的法則f總有確定的數(shù)值與它對(duì)應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)。變量x的變化范圍叫做這個(gè)函數(shù)的定義域。通常x叫做自變量，y叫做函數(shù)值（或因變量），變量y的變化范圍叫做這個(gè)函數(shù)的值域。注：為了表明y是x的函數(shù)，我們用記號(hào)y=f(x)、y=F(x)等等來表示。這里的字母f、F表示y與x之間的對(duì)應(yīng)法則即函數(shù)關(guān)系,它們是可以任意采用不同的字母來表示的。如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)確定的值時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)確定的值和它對(duì)應(yīng)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)。這里我們只討論單值函數(shù)。⑵、函數(shù)相等由函數(shù)的定義可知，一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域。由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱兩個(gè)函數(shù)相等。⑶、域函數(shù)的表示方法a)：解析法：用數(shù)學(xué)式子表示自變量和因變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法即是解析法。例：笛卡爾直角坐標(biāo)系中，半徑為r、圓心在原點(diǎn)的圓的方程是：x2+y2=r2b)：表格法：將一系列的自變量值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值列成表來表示函數(shù)關(guān)系的方法即是表格法。例：在實(shí)際應(yīng)用中，我們經(jīng)常會(huì)用到的平方表，三角函數(shù)表等都是用表格法表示的函數(shù)。c)：圖示法：用坐標(biāo)平面上曲線來表示函數(shù)的方法即是圖示法。一般用橫坐標(biāo)表示自變量，縱坐標(biāo)表示因變量。例：笛卡爾直角坐標(biāo)系中，半徑為r、圓心在原點(diǎn)的圓用圖示法表示為：函數(shù)的簡單性態(tài)⑴、函數(shù)的有界性：如果對(duì)屬于某一區(qū)間I的所有x值總有│f(x)│≤M成立，其中M是一個(gè)與x無關(guān)的常數(shù)，那么我們就稱f(x)在區(qū)間I有界，否則便稱無界。注：一個(gè)函數(shù)，如果在其整個(gè)定義域內(nèi)有界，則稱為有界函數(shù)例題：函數(shù)cosx在(∞,+∞)內(nèi)是有界的.⑵、函數(shù)的單調(diào)性：如果函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x增大而增大，即：對(duì)于(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，有 ，則稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)增加的。如果函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x增大而減小，即：對(duì)于(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，有，則稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)減小的。例題：函數(shù)=x2在區(qū)間(∞,0)上是單調(diào)減小的，在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)增加的。⑶、函數(shù)的奇偶性如果函數(shù)對(duì)于定義域內(nèi)的任意x都滿足=，則叫做偶函數(shù)；如果函數(shù)對(duì)于定義域內(nèi)的任意x都滿足=，則叫做奇函數(shù)。注：偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。⑷、函數(shù)的周期性對(duì)于函數(shù)，若存在一個(gè)不為零的數(shù)l，使得關(guān)系式對(duì)于定義域內(nèi)任何x值都成立，則叫做周期函數(shù)，l是的周期。注：我們說的周期函數(shù)的周期是指最小正周期。例題：函數(shù)是以2π為周期的周期函數(shù)；函數(shù)tgx是以π為周期的周期函數(shù)。反函數(shù)⑴、反函數(shù)的定義：設(shè)有函數(shù)，若變量y在函數(shù)的值域內(nèi)任取一值y0時(shí)，變量x在函數(shù)的定義域內(nèi)必有一值x0與之對(duì)應(yīng)，即，稱為函數(shù)的反函數(shù).注：由此定義可知，函數(shù)也是函數(shù)的反函數(shù)。 ⑵、反函數(shù)的存在定理：若在(a，b)上嚴(yán)格增(減)，其值域?yàn)?R，則它的反函數(shù)必然在R上確定，且嚴(yán)格增(減).注：嚴(yán)格增(減)即是單調(diào)增(減)例題：y=x2，其定義域?yàn)?∞,+∞)，值域?yàn)閇0,+∞).對(duì)于y取定的非負(fù)值,可求得x=177。.若我們不加條件，由y的值就不能唯一確定x的值，也就是在區(qū)間(∞,+∞)上，函數(shù)不是嚴(yán)格增(減)，故其沒有反函數(shù)。如果我們加上條件，要求x≥0，則對(duì)y≥0、x=就是y=x2在要求x≥0時(shí)的反函數(shù)。即是：函數(shù)在此要求下嚴(yán)格增(減). ⑶、反函數(shù)的性質(zhì)：在同一坐標(biāo)平面內(nèi)，與的圖形是關(guān)于直線y=x對(duì)稱的。例題：函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，則它們的圖形在同一笛卡爾直角坐標(biāo)系中是關(guān)于直線y=x對(duì)稱的。如右圖所示： 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)的定義：若y是u的函數(shù)：，而u又是x的函數(shù)：，且的函數(shù)值的全部或部分在的定義域內(nèi)，那末，y通過u的聯(lián)系也是x的函數(shù)，我們稱后一個(gè)函數(shù)是由函數(shù)及復(fù)合而成的函數(shù)，簡稱復(fù)合函數(shù)，記作，其中u叫做中間變量。注：并不是任意兩個(gè)函數(shù)就能復(fù)合；復(fù)合函數(shù)還可以由更多函數(shù)構(gòu)成。例題：函數(shù)與函數(shù)是不能復(fù)合成一個(gè)函數(shù)的。因?yàn)閷?duì)于的定義域(∞,+∞)中的任何x值所對(duì)應(yīng)的u值（都大于或等于2），使都沒有定義。初等函數(shù)⑴、基本初等函數(shù)：我們最常用的有五種基本初等函數(shù)，分別是：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)。下面我們用表格來把它們總結(jié)一下：函數(shù)名稱函數(shù)的記號(hào)函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)指數(shù)函數(shù)a):不論x為何值,y總為正數(shù)。b):當(dāng)x=0時(shí),y=1.對(duì)數(shù)函數(shù)a):其圖形總位于y軸右側(cè),并過(1,0)點(diǎn)b):當(dāng)a＞1時(shí),在區(qū)間(0,1)的值為負(fù)；在區(qū)間(,+∞)的值為正；在定義域內(nèi)單調(diào)增.冪函數(shù)a為任意實(shí)數(shù)這里只畫出部分函數(shù)圖形的一部分。令a=m/na):當(dāng)m為偶數(shù)n為奇數(shù)時(shí),y是偶函數(shù)。b):當(dāng)m,n都是奇數(shù)時(shí),y是奇函數(shù)。c):當(dāng)m奇n偶時(shí),y在(∞,0)無意義.三角函數(shù)(正弦函數(shù))這里只寫出了正弦函數(shù)a):正弦函數(shù)是以2π為周期的周期函數(shù)b):正弦函數(shù)是奇函數(shù)且反三角函數(shù)(反正弦函數(shù))這里只寫出了反正弦函數(shù)a):由于此函數(shù)為多值函數(shù),因此我們此函數(shù)值限制在[π/2,π/2]上,并稱其為反正弦函數(shù)的主值.⑵、初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運(yùn)算及有限次的函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生并且能用一個(gè)解析式表出的函數(shù)稱為初等函數(shù).例題：是初等函數(shù)。雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)⑴、雙曲函數(shù)：在應(yīng)用中我們經(jīng)常遇到的雙曲函數(shù)是：(用表格來描述)函數(shù)的名稱函數(shù)的表達(dá)式函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)雙曲正弦a)：其定義域?yàn)?(∞,+∞)；b)：是奇函數(shù)；c)：在定義域內(nèi)是單調(diào)增雙曲余弦a)：其定義域?yàn)?(∞,+∞)；b)：是偶函數(shù)；c)：其圖像過點(diǎn)(0,1)；雙曲正切a)：其定義域?yàn)?(∞,+∞)；b)：是奇函數(shù)；c)：其圖形夾在水平直線y=1及y=1之間；在定域內(nèi)單調(diào)增；我們再來看一下雙曲函數(shù)與三角函數(shù)的區(qū)別：雙曲函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì)shx與thx是奇函數(shù)，chx是偶函數(shù)sinx與tanx是奇函數(shù)，cosx是偶函數(shù)它們都不是周期函數(shù)都是周期函數(shù)雙曲函數(shù)也有和差公式：⑵、反雙曲函數(shù)：雙曲函數(shù)的反函數(shù)稱為反雙曲函數(shù).a)：反雙曲正弦函數(shù) 其定義域?yàn)椋?∞,+∞)；b)：反雙曲余弦函數(shù) 其定義域?yàn)椋篬1,+∞)；c)：反雙曲正切函數(shù) 其定義域?yàn)椋?1,+1)；數(shù)列的極限我們先來回憶一下初等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的數(shù)列的概念。 ⑴、數(shù)列：若按照一定的法則，有第一個(gè)數(shù)a1，第二個(gè)數(shù)a2，…，依次排列下去，使得任何一個(gè)正整數(shù)n對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的數(shù)an，那末，我們稱這列有次序的數(shù)a1，a2，…，an，…。第n項(xiàng)an叫做數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng).注：我們也可以把數(shù)列an看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù)，即：an=，它的定義域是全體正整數(shù) ⑵、極限：極限的概念是求實(shí)際問題的精確解答而產(chǎn)生的。例：我們可通過作圓的內(nèi)接正多邊形，近似求出圓的面積。⑶、數(shù)列的極限：一般地，對(duì)于數(shù)列來說，若存在任意給定的正數(shù)ε(不論其多么小)，總存在正整數(shù)N，使得對(duì)于n＞N時(shí)的一切不等式都成立，那末就稱常數(shù)a是數(shù)列的極限，或者稱數(shù)列收斂于a .記作：或注：此定義中的正數(shù)ε只有任意給定，不等式才能表達(dá)出與a無限接近的意思。且定義中的正整數(shù)N與任意給定的正數(shù)ε是有關(guān)的，它是隨著ε的給定而選定的。⑷、數(shù)列的極限的幾何解釋：在此我們可能不易理解這個(gè)概念，下面我們再給出它的一個(gè)幾何解釋，以使我們能理解它。數(shù)列極限為a的一個(gè)幾何解釋：將常數(shù)a及數(shù)列在數(shù)軸上用它們的對(duì)應(yīng)點(diǎn)表示出來，再在數(shù)軸上作點(diǎn)a的ε鄰域即開區(qū)間(aε，a+ε)，如下圖所示： 因不等式與不等式等價(jià)，故當(dāng)n＞N時(shí)，所有的點(diǎn)都落在開區(qū)間(aε，a+ε)內(nèi)，而只有有限個(gè)(至多只有N個(gè))在此區(qū)間以外。注：至于如何求數(shù)列的極限，我們在以后會(huì)學(xué)習(xí)到，這里我們不作討論。 ⑸、數(shù)列的有界性：對(duì)于數(shù)列，若存在著正數(shù)M，使得一切都滿足不等式││≤M，則稱數(shù)列是有界的，若正數(shù)M不存在，則可說數(shù)列是無界的。定理：若數(shù)列收斂，那末數(shù)列一定有界。注：有界的數(shù)列不一定收斂，即：數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件。例：數(shù)列 1，1，1，1，…，(1)n+1，… 是有界的，但它是發(fā)散的。函數(shù)的極限前面我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限，已經(jīng)知道數(shù)列可看作一類特殊的函數(shù)，即自變量取 1→∞內(nèi)的正整數(shù)，若自變量不再限于正整數(shù)的順序，而是連續(xù)變化的，就成了函數(shù)。下面我們來學(xué)習(xí)函數(shù)的極限.函數(shù)的極值有兩種情況：a)：自變量無限增大；b)：自變量無限接近某一定點(diǎn)x0，如果在這時(shí)，函數(shù)值無限接近于某一常數(shù)A，就叫做函數(shù)存在極值。我們已知道函數(shù)的極值的情況，那么函數(shù)的極限如何呢 ?下面我們結(jié)合著數(shù)列的極限來學(xué)習(xí)一下函數(shù)極限的概念!⑴、函數(shù)的極限(分兩種情況)a):自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限定義：設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意給定的正數(shù)ε(不論其多么小)，總存在著正數(shù)X，使得對(duì)于適合不等式 的一切x，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式 那末常數(shù)A就叫做函數(shù)當(dāng)x→∞時(shí)的極限，記作：下面我們用表格把函數(shù)的極限與數(shù)列的極限對(duì)比一下：數(shù)列的極限的定義函數(shù)的極限的定義存在數(shù)列與常數(shù)A，任給一正數(shù)ε＞0，總可找到一正整數(shù)N，對(duì)于n＞N的所有都滿足＜ε則稱數(shù)列，當(dāng)x→∞時(shí)收斂于A記：。存在函數(shù)與常數(shù)A，任給一正數(shù)ε＞0，總可找到一正數(shù)X，對(duì)于適合的一切x，都滿足，函數(shù)當(dāng)x→∞時(shí)的極限為A，記：。b):自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限。我們先來看一個(gè)例子.例：函數(shù)，當(dāng)x→1時(shí)函數(shù)值的變化趨勢如何？函數(shù)在x=，在數(shù)軸上任何一個(gè)有限的范圍內(nèi)，都有無窮多個(gè)點(diǎn)，為此我們把x→1時(shí)函數(shù)值的變化趨勢用表列出,如下圖:從中我們可以看出x→1時(shí)，→，：只要與2只差一個(gè)微量ε，就一定可以找到一個(gè)δ，當(dāng)＜δ時(shí)滿足＜δ定義：設(shè)函數(shù)在某點(diǎn)x0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，且存在數(shù)A，如果對(duì)任意給定的ε(不論其多么小)，總存在正數(shù)δ，當(dāng)0＜＜δ時(shí)，＜ε則稱函數(shù)當(dāng)x→x0時(shí)存在極限，且極限為A，記：。注：在定義中為什么是在去心鄰域內(nèi)呢？這是因?yàn)槲覀冎挥懻搙→x0的過程，與x=x0出的情況無關(guān)。此定義的核心問題是：對(duì)給出的ε，是否存在正數(shù)δ，使其在去心鄰域內(nèi)的x均滿足不等式。有些時(shí)候，我們要用此極限的定義來證明函數(shù)的極限為 A，其證明方法是怎樣的呢？ a):先任取ε＞0； b):寫出不等式＜ε；c):解不等式能否得出去心鄰域0＜＜δ，若能； d):則對(duì)于任給的ε＞0，總能找出δ，當(dāng)0＜＜δ時(shí)，＜ε成立，因此函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則⑴、函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則 若已知x→x0(或x→∞)時(shí)，.則： 推論： 在求函數(shù)的極限時(shí)，利用上述規(guī)則就可把一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)化為若干個(gè)簡單的函數(shù)來求極限。函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則學(xué)習(xí)函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則之前，我們先來學(xué)習(xí)一下左、右的概念。 我們先來看一個(gè)例子：例：符號(hào)函數(shù)為對(duì)于這個(gè)分段函數(shù),、右極限的概念。定義：如果x僅從左側(cè)(x＜x0)趨近x0時(shí)，函數(shù)與常量A無限接近，：如果x僅從右側(cè)(x＞x0)趨近x0時(shí)，函數(shù)與常量A無限接近，：注：只有當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)的左、右極限存在且相等，方稱在x→x0時(shí)有極限函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則 準(zhǔn)則一：對(duì)于點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)的一切x，x0點(diǎn)本身可以除外(或絕對(duì)值大于某一正數(shù)的一切x)有≤≤，且，那末存在，且等于A注：此準(zhǔn)則也就是夾逼準(zhǔn)則.準(zhǔn)則二：單調(diào)有界的函數(shù)必有極限.注：有極限的函數(shù)不一定單調(diào)有界兩個(gè)重要的極限 一：注：其中e為無理數(shù)，它的值為：e=...二：例題：求解答：令，則x=2t，因?yàn)閤→∞，故t→∞，則注：解此類型的題時(shí)，一定要注意代換后的變量的趨向情況，象x→∞時(shí)，若用t代換1/x，則t→0.無窮大量和無窮小量無窮大量我們先來看一個(gè)例子：已知函數(shù)，當(dāng)x→0時(shí)，可知，我們把這種情況稱為趨向無窮大。為此我們可定義如下：設(shè)有函數(shù)y=，在x=x0的去心鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于任意給定的正數(shù)N(一個(gè)任意大的數(shù))，總可找到正數(shù)δ，當(dāng)時(shí)，成立，則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)為無窮大量。記為：（表示為無窮大量，實(shí)際它是沒有極限的）同樣我們可以給出當(dāng)x→∞時(shí)，無限趨大的定義：設(shè)有函數(shù)y=，當(dāng)x充分大時(shí)有定義，對(duì)于任意給定的正數(shù)N(一個(gè)任意大的數(shù))，總可以找到正數(shù)M，當(dāng)時(shí)，成立，則稱函數(shù)當(dāng)x→∞時(shí)是無窮大量，記為：無窮小量以零為極限的變量稱為無窮小量。定義：設(shè)有函數(shù)，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε(不論它多么小)，總存在正數(shù)δ(或正數(shù)M)，使得對(duì)于適合不等式(或)的一切x，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值滿足不等式，則稱函數(shù)當(dāng)(或x→∞)時(shí) 為無窮小量.記作：(或)注意：無窮大量與無窮小量都是一個(gè)變化不定的量，不是常量，只有0可作為無窮小量的唯一常量。無窮大量與無窮小量的區(qū)別是：前者無界，后者有界，前者發(fā)散，.關(guān)于無窮小量的兩個(gè)定理定理一：如果函數(shù)在(或x→∞)時(shí)有極限A，則差是當(dāng)(或x→∞)時(shí)的無窮小量，反之亦成立。定理二：無窮小量的有利運(yùn)算定理a)：有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量； b)：有限個(gè)無窮小量的積仍是無窮小量；c)：常數(shù)與無窮小量的積也是無窮小量.無窮小量的比較通過前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道，兩個(gè)無窮小量的和、？好！接下來我們就來解決這個(gè)問題，這就是我們要學(xué)的兩個(gè)無窮小量的比較。定義：設(shè)α，β都是時(shí)的無窮小量，且β在x0的去心領(lǐng)域內(nèi)不為零，a)：如果，則稱α是β的高階無窮小或β是α的低階無窮小；b)：如果，則稱α和β是同階無窮小；c)：如果，則稱α和β是等價(jià)無窮小，記作：α∽β(α與β等價(jià))例：因?yàn)?，所以?dāng)x→0時(shí)，x與3x是同階無窮?。灰?yàn)?，所以?dāng)x→0時(shí)，x2是3x的高階無窮?。灰?yàn)?，所以?dāng)x→0時(shí)，sinx與x是等價(jià)無窮小。等價(jià)無窮小的性質(zhì)設(shè)，且存在，則.注：這個(gè)性質(zhì)表明：求兩個(gè)無窮小之比的極限時(shí)，分子及分母都可用等價(jià)無窮小來代替，因此我們可以利用這個(gè)性質(zhì)來簡化求極限問題。例題：求 此題不能將其展開成兩個(gè)函數(shù)差的形式，因?yàn)閄\（3X）^3的極限為無窮大，極限不存在，不符合等價(jià)無窮小的條件存在解答：注：注：從這個(gè)例題中我們可以發(fā)現(xiàn)，作無窮小變換時(shí)，要代換式中的某一項(xiàng)，不能只代換某個(gè)因子。函數(shù)的一重要性質(zhì)——連續(xù)性在自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，就是函數(shù)的連續(xù)性在定義函數(shù)的連續(xù)性之前我們先來學(xué)習(xí)一個(gè)概念——增量設(shè)變量x從它的一個(gè)初值x1變到終值x2，終值與初值的差x2x1就叫做變量x的增量，記為：△x即：△x=x2x1 增量△x可正可負(fù).我們再來看一個(gè)例子：函數(shù)在點(diǎn)x0的鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在領(lǐng)域內(nèi)從x0變到x0+△x時(shí)，函數(shù)y相應(yīng)地從變到，其對(duì)應(yīng)的增量為：這個(gè)關(guān)系式的幾何解釋如下圖：現(xiàn)在我們可對(duì)連續(xù)性的概念這樣描述：如果當(dāng)△x趨向于零時(shí)，函數(shù)y對(duì)應(yīng)的增量△y也趨向于零，即：，那末就稱函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)。函數(shù)連續(xù)性的定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果有稱函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)，且稱x0為函數(shù)的的連續(xù)點(diǎn).下面我們結(jié)合著函數(shù)左、右極限的概念再來學(xué)習(xí)一下函數(shù)左、右連續(xù)的概念：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b]內(nèi)有定義，如果左極限存在且等于，即：=，[a,b)內(nèi)有定義，如果右極限存在且等于，即：=，那末我們就稱函數(shù)在點(diǎn)a右連續(xù).一個(gè)函數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每點(diǎn)連續(xù),則為在(a,b)連續(xù)，若又在a點(diǎn)右連續(xù)，b點(diǎn)左連續(xù)，則在閉區(qū)間[a，b]連續(xù)，如果在整個(gè)定義域內(nèi)連續(xù)，則稱為連續(xù)函數(shù)。注：一個(gè)函數(shù)若在定義域內(nèi)某一點(diǎn)左、右都連續(xù)，則稱函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)，否則在此點(diǎn)不連續(xù).注：連續(xù)函數(shù)圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。通過上面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道函數(shù)的連續(xù)性了，同時(shí)我們可以想到若函數(shù)在某一點(diǎn)要是不連續(xù)會(huì)出現(xiàn)什么情形呢？接著我們就來學(xué)習(xí)這個(gè)問題：函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn)定義：我們把不滿足函數(shù)連續(xù)性的點(diǎn)稱之為間斷點(diǎn). 它包括三種情形：a)：在x0無定義；b)：在x→x0時(shí)無極限；c)：在x→x0時(shí)有極限但不等于；下面我們通過例題來學(xué)習(xí)一下間斷點(diǎn)的類型：例1： 正切函數(shù)在處沒有定義，所以點(diǎn)是函數(shù)的間斷點(diǎn)，因，我們就稱為函數(shù)的無窮間斷點(diǎn)；例2：函數(shù)在點(diǎn)x=0處沒有定義；故當(dāng)x→0時(shí)，函數(shù)值在1與+1之間變動(dòng)無限多次，我們就稱點(diǎn)x=0叫做函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn)； 例3：函數(shù)當(dāng)x→0時(shí)，左極限，右極限，從這我們可以看出函數(shù)左、右極限雖然都存在，但不相等，故函數(shù)在點(diǎn)x=0是不存在極限。我們還可以發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)x=0時(shí)，函數(shù)值產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，為此我們把這種間斷點(diǎn)稱為跳躍間斷點(diǎn)；我們把上述三種間斷點(diǎn)用幾何圖形表示出來如下:可去