【正文】 例題：求的定義域.如下圖所示： 如果一個區(qū)域D(開域或閉域)中任意兩點之間的距離都不超過某一常數(shù)M，則稱D為有界區(qū)域；否則稱D為無界區(qū)域。 ，邊界上的點稱為邊界點，包括邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為閉域，不包括邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為開域。二元函數(shù)的定義` 下面我們再列舉出幾種常見的二次曲面二次曲面的名稱二次曲面的方程橢球面單葉雙曲面雙葉雙曲面橢圓拋物面雙曲拋物面七、多元函數(shù)的微分學(xué)多元函數(shù)的概念　 設(shè)有動直線L沿一給定的曲線C移動，移動時始終與給定的直線M平行，這樣由動直線L所形成的曲面稱為柱面，動直線L稱為柱面的母線，定曲線C稱為柱面的準(zhǔn)線。 柱面兩類常見的曲面 一般地，空間曲線也可以象空間直線那樣看成是兩個曲面的交線，因而空間曲線的方程就可由此兩相交曲面方程的聯(lián)立方程組來表示。那末我們就用這個方程表示曲面，并稱這個方程為曲面的方程，把這個曲面稱為方程的圖形。 設(shè)曲面上動點P的坐標(biāo)為(x,y,z)，由這一條件或規(guī)律就能導(dǎo)出一個含有變量x,y,z的方程：在此我們就不列舉例題了。平面與直線間的平行與垂直關(guān)系，也就是平面的法線與直線的平行與垂直關(guān)系。 對于一個給定的平面，它的法線也就可以知道了。平面、直線間的平行垂直關(guān)系 直線方程也有一般式，它是有兩個平面方程聯(lián)立得到的，如下： 設(shè)已知直線L的方向數(shù)為{l,m,n}，又知L上一點Po(x0,y0,z0),則直線L的方程可表示為： 垂直于x、y、z軸的平面方程的一般形式為： 垂直于坐標(biāo)軸 Ax+Cz=0，Ax+By=0. 通過y軸和z軸的平面方程的一般形式為： By+Cz=0. 通過x軸的平面方程的一般形式為： 通過坐標(biāo)軸 Ax+By+D=0. 平行于z軸的平面方程的一般形式為： Ax+Cz+D=0. 平行于y軸的平面方程的一般形式為： By+Cz+D=0. 平行于x軸的平面方程的一般形式為： 平行于坐標(biāo)軸 Ax+By+Cz=0. 其平面方程的一般形式為： 通過原點幾種特殊位置平面的方程 稱為平面方程的一般式。 Ax+By+Cz+D=0. 我們把形式為： 即 注意：此種形式的方程稱為平面方程的點法式。 設(shè)給定點為Po(x0,y0,z0),給定法線n的一組方向數(shù)為{A,B,C}A2+B2+C2≠0，則過此定點且以n為法線的平面方程可表示為： 其中：θ為兩直線的夾角。 若知道L1與L2的方向余弦則有公式為： 設(shè)L1與L2是空間的任意兩條直線，它們可能相交，. 空間任意兩點坐標(biāo)之差就是聯(lián)結(jié)此兩點直線的一組方向數(shù)。 關(guān)于方向數(shù)的問題 據(jù)此我們可得到方向余弦與方向數(shù)的轉(zhuǎn)換公式： 方向余弦可以用來確定空間有向直線的方向，但是，如果只需要確定一條空間直線的方位(一條直線的兩個方向均確定著同一方位)，那末就不一定需要知道方向余弦，而只要知道與方向余弦成比例的三個數(shù)就可以了。方向數(shù) 從上面的公式我們可以得到方向余弦之間的一個基本關(guān)系式： 方向角的余弦稱為有向線段或相應(yīng)的有向線段的方向余弦。 解析幾何中除了兩點間的距離外，還有一個最基本的問題就是如何確定有向線段的或有向直線的方向。 由于，所以△ABC是一等腰三角形方向余弦與方向數(shù)　 設(shè)M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)為空間兩點，為了用兩點的坐標(biāo)來表達(dá)它們間的距離d我們有公式：空間兩點間的距離 這樣，通過空間直角坐標(biāo)系，我們就建立了空間的點M和有序數(shù)組x,y,z之間的一一對應(yīng)關(guān)系。 坐標(biāo)為x,y,z的點M通常記為M(x,y,z).(如下圖所示） 取定了空間直角坐標(biāo)系后，就可以建立起空間的點與有序數(shù)組之間的對應(yīng)關(guān)系。 過定點O，作三條互相垂直的數(shù)軸，(橫軸）、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)；，而z軸則是鉛垂線；它們的正方向要符合右手規(guī)則，即以右手握住z軸，當(dāng)右手的四指從正向x軸以π/2角度轉(zhuǎn)向正向y軸時，大拇指的指向就是z軸的正向，這樣的三條坐標(biāo)軸就組成了一個空間直角坐標(biāo)系，點O叫做坐標(biāo)原點。 解答：因為，所以x=a為被積函數(shù)的無窮間斷點，于是我們有上面所學(xué)得公式可得： 否則就說廣義積分發(fā)散。 則定義=； 存在， ，就說廣義積分發(fā)散。 即：=， 仍然記作：. 設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b]上連續(xù)，0，如果極限 解答：二：積分區(qū)間有無窮間斷點的廣義積分 即：= 如果廣義積分和都收斂，則稱上述兩廣義積分之和為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間(∞,+∞)上的廣義積分，如果上述極限不存在，就說廣義積分發(fā)散。 記作：，如果上述即先不存在，則說廣義積分發(fā)散，此時雖然用同樣的記號，但它已不表示數(shù)值了。 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,+∞)上連續(xù)，取b一：積分區(qū)間為無窮區(qū)間的廣義積分 在一些實際問題中，我們常遇到積分區(qū)間為無窮區(qū)間，或者被積函數(shù)在積分區(qū)間上具有無窮間斷點的積分，它們已不屬于前面我們所學(xué)習(xí)的定積分了。 故：廣義積分　設(shè)u=t,dv=etdt,則du=dt,v=： 解答：設(shè)，且當(dāng)x=0時，t=0；當(dāng)x=1時，t=：,分別求此等式兩端在[a,b]上的定積分，并移向得：=u39。(x)、v39。定積分的分部積分法 例題:計算 我們知道求定積分可以轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的增量，在前面我們又知道用換元法可以求出一些函數(shù)的原函數(shù)。 注意：通常也把牛頓萊布尼茲公式稱作微積分基本公式。 例題：求 給定積分提供了一個有效而簡便的計算方法。 它表明：一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分等于它的任一個原函數(shù)再去見[a,b]上的增量。 注意：此公式被稱為牛頓萊布尼茲公式，它進一步揭示了定積分與原函數(shù)(不定積分）之間的聯(lián)系。 定理(3)：如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個原函數(shù)，則 注意：定理（2）即肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的，又初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系。 (2)：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則函數(shù)就是f(x)在[a,b]上的一個原函數(shù)。 并且它的導(dǎo)數(shù)是 定理(1)：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)在[a,b]上具有導(dǎo)數(shù)， 如果上限x在區(qū)間[a,b]上任意變動，則對于每一個取定的x值，定積分有一個對應(yīng)值，所以它在[a,b]上定義了一個函數(shù)，記作φ(x): 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，并且設(shè)x為[a,b](x)在部分區(qū)間[a,x]上的定積分,我們知道f(x)在[a,x]上仍舊連續(xù)，因此此定積分存在。 注：此性質(zhì)就是定積分中值定理。 性質(zhì)(5)：如果f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一點ξ，使下式成立： （ab) 即： 性質(zhì)(2)：被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外面.定積分的性質(zhì) 我們有了定積分的概念了，那么函數(shù)f(x)滿足什么條件時才可積？ 這時我們稱這個極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分， 在每個小區(qū)間[xi1,xi]上任取一點ξi(xi1≤ξi≤xi),作函數(shù)值f(ξi)與小區(qū)間長度的乘積f(ξi)△xi， [x0，x1]，...[xn1,xn],為此我們產(chǎn)生了定積分的概念。 我們知道曲邊梯形在底邊上各點處的高f(x)在區(qū)間[a,b]上變動，而且它的高是連續(xù)變化的，因此在很小的一段區(qū)間的變化很小，近似于不變，并且當(dāng)區(qū)間的長度無限縮小時，高的變化也無限減小。 如下圖所示： 五、定積分及其應(yīng)用定積分的概念　 解答：設(shè)，于是x=u2+1，dx=2udu，從而所求積分為： 例題：求簡單無理函數(shù)的積分舉例 任何三角函數(shù)都可用正弦與余弦函數(shù)表出，故變量代換u=tan(x/2)對三角函數(shù)的有理式的積分應(yīng)用，在此我 解答： 例題：求 有理函數(shù)積分的具體方法請大家參照有關(guān)書籍，請諒。 在求有理函數(shù)的不定積分時，若有理函數(shù)為假分式應(yīng)先利用多項式的除法，把一個假分式化成一個多項式和一個真分式之和的形式，然后再求之。 反之為真分式。 有理函數(shù)是指兩個多項式的商所表示的函數(shù)，當(dāng)分子的最高項的次數(shù)大于分母最高項的次數(shù)時稱之為假分式，幾種特殊類型函數(shù)的積分舉例　有理函數(shù)的積分舉例 在使用分部積分法時，應(yīng)恰當(dāng)?shù)倪x取u和dv，否則就會南轅北轍。 設(shè)u=x，dv=cosxdx，那末du=dx，v=sinx，代入分部積分公式得： 解答：這個積分用換元法不易得出結(jié)果，我們來利用分部積分法。 例題：求 這就是分部積分公式 ，v，對其兩邊求不定積分得：=(uv)39。v+uv39。 (uv)39。 這種方法是利用兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則得來的。分部積分法 關(guān)于換元法的問題 則φ[g(x)]是f(x)的原函數(shù).(其中g(shù)(x)是x=g(t)的反函數(shù)）(t)≠0，又設(shè)f[g(t)]g39。 解答：這個積分在基本積分表中是查不到的，故我們要利用換元法。 例題：求 即有換元公式:(x)的原函數(shù). 即： 求不定積分的方法　換元法 即： 解答：由于，故=不定積分的性質(zhì) F(x)+C. 記作。 我們可以明顯的看出來：若函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的原函數(shù)，若其存在原函數(shù)，那末原函數(shù)一共有多少個呢？ 例：sinx是cosx的原函數(shù)。 dF39。 已知函數(shù)f(x)是一個定義在某區(qū)間的函數(shù)，如果存在函數(shù)F(x)，使得在該區(qū)間內(nèi)的任一點都有四、不定積分不定積分的概念 　原函數(shù)的概念 令=0，得x=0，2/3 例題：求曲線的拐點。 (3)：對于(2)中解出的每一個實根x0，檢查在x0左、右兩側(cè)鄰近的符號，若符號相反，則此點是拐點，若相同，則不是拐點。 (1)：求； 如果在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，我們可按下列步驟來判定的拐點。 連續(xù)函數(shù)上，上凹弧與下凹弧的分界點稱為此曲線上的拐點。 故函數(shù)所對應(yīng)的曲線時下凹的。 因為，所以在函數(shù)的定義域(0,+∞)內(nèi)，＜0， 若在(a,b)內(nèi)，＜0，則在[a,b]對應(yīng)的曲線是上凹的； 若在(a,b)內(nèi)，＞0，則在[a,b]對應(yīng)的曲線是下凹的； 定理二：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，并且具有一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)；那末： 導(dǎo)數(shù)在區(qū)間(a,b)上是單調(diào)增(或單調(diào)減)。 定理一：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，它對應(yīng)曲線是向上凹(或向下凹)的充分必要條件是： 對區(qū)間I的曲線作切線，如果曲線弧在所有切線的下面，則稱曲線在區(qū)間I下凹，如果曲線在切線的上面，稱曲線在區(qū)間I上凹。 通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道由一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可以判定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，但是還不能進一步研究曲線的性態(tài)，為此我們還要了解曲線的凹性。 故：時，用料最省。 故在V不變的條件下，改變R使S取最小值。 解答：由題意可知：為一常數(shù)， 例題：圓柱形罐頭，高度H與半徑R應(yīng)怎樣配，使同樣容積下材料最??？ 因為， 再來比較端點與極值點的函數(shù)值，取出最大值與最小值即為所求。 先來求函數(shù)的極值，故x=177。 例題：求函數(shù)，在區(qū)間[3，3/2]的最大值、最小值。 怎樣求函數(shù)的最大值、最小值呢？前面我們已經(jīng)知道了，函數(shù)的極值是局部的。 在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)及科學(xué)實驗中，常會遇到這樣一類問題：在一定條件下，怎樣使產(chǎn)品最多、用料最省、成本最低等。函數(shù)的最大值、最小值及其應(yīng)用 解答：上面我們已求出了此函數(shù)的駐點，下面我們再來求它的二階導(dǎo)數(shù)。 例題：我們?nèi)砸岳?為例，以比較這兩種方法的區(qū)別。 c)：當(dāng)=0，其情形不一定，可由方法一來判定. b)：當(dāng)＞0，函數(shù)在x0點取極小值； 則：a)：當(dāng)＜0，函數(shù)在x0點取極大值； 設(shè)函數(shù)在x0點具有二階導(dǎo)數(shù)，且時. 設(shè)函數(shù)在x0點的鄰域可導(dǎo)，且. 學(xué)習(xí)這個問題之前，我們再來學(xué)習(xí)一個概念——駐點 則說是函數(shù)的一個極小值. 則說是函數(shù)的一個極大值； 設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義，x0是(a,b)內(nèi)一點. 設(shè)有函數(shù)，容易知道點x=1及x=2是此函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點，又可知在點x=1左側(cè)附近，函數(shù)值是單調(diào)增加的，在點x=1右側(cè)附近，=1的一個鄰域,對于這個鄰域內(nèi),任何點x(x=1除外)，＜均成立，點x=2也有類似的情況(在此不多說),為什么這些點有這些性質(zhì)呢？函數(shù)的極值及其求法 我們知道若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增(或減)，則在此區(qū)間內(nèi)函數(shù)圖形上切線的斜率均為正(或負(fù)),也就是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在此區(qū)間上均取正值(或負(fù)