【正文】 做數(shù)列的一般項或通項.注：我們也可以把數(shù)列an看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù)，即：an=，它的定義域是全體正整數(shù) ⑵、極限：極限的概念是求實際問題的精確解答而產(chǎn)生的。設(shè)有一圓，首先作圓內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為A1；再作圓的內(nèi)接正十二邊形，其面積記為A2；再作圓的內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為A3；依次循下去(一般把內(nèi)接正62n1邊形的面積記為An)可得一系列內(nèi)接正多邊形的面積：A1，A2，A3，…，An，…，它們就構(gòu)成一列有序數(shù)列。注：上面這個例子就是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽(公元三世紀(jì))的割圓術(shù)。且定義中的正整數(shù)N與任意給定的正數(shù)ε是有關(guān)的，它是隨著ε的給定而選定的。數(shù)列極限為a的一個幾何解釋：將常數(shù)a及數(shù)列在數(shù)軸上用它們的對應(yīng)點表示出來，再在數(shù)軸上作點a的ε鄰域即開區(qū)間(aε，a+ε)，如下圖所示：注：至于如何求數(shù)列的極限，我們在以后會學(xué)習(xí)到，這里我們不作討論。定理：若數(shù)列收斂，那末數(shù)列一定有界。例：數(shù)列 是有界的，但它是發(fā)散的。下面我們來學(xué)習(xí)函數(shù)的極限.函數(shù)的極值有兩種情況：a)：自變量無限增大；b)：自變量無限接近某一定點x0，如果在這時，函數(shù)值無限接近于某一常數(shù)A，就叫做函數(shù)存在極值。 那末常數(shù)A就叫做函數(shù)當(dāng)x→∞時的極限，記作：下面我們用表格把函數(shù)的極限與數(shù)列的極限對比一下：數(shù)列的極限的定義函數(shù)的極限的定義存在數(shù)列與常數(shù)A，任給一正數(shù)ε＞0，總可找到一正整數(shù)N，對于n＞N的所有都滿足＜ε則稱數(shù)列，當(dāng)x→∞時收斂于A記：。從上表我們發(fā)現(xiàn)了什么 ？？試思考之b):自變量趨向有限值時函數(shù)的極限。注：在定義中為什么是在去心鄰域內(nèi)呢？這是因為我們只討論x→x0的過程，與x=x0出的情況無關(guān)。有些時候，我們要用此極限的定義來證明函數(shù)的極限為 A，其證明方法是怎樣的呢？ a):先任取ε＞0； b):寫出不等式＜ε；c):解不等式能否得出去心鄰域0＜＜δ，若能；⑴、函數(shù)極限的運算規(guī)則 若已知x→x0(或x→∞)時，.則： 例題：求解答：例題：求此題如果像上題那樣求解，像這種情況怎么辦呢？下面我們把它解出來。函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則學(xué)習(xí)函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則之前，我們先來學(xué)習(xí)一下左、右的概念。定義：如果x僅從左側(cè)(x＜x0)趨近x0時，函數(shù)與常量A無限接近，：如果x僅從右側(cè)(x＞x0)趨近x0時，函數(shù)與常量A無限接近，：注：只有當(dāng)x→x0時，函數(shù)的左、右極限存在且相等，方稱在x→x0時有極限函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則 準(zhǔn)則一：對于點x0的某一鄰域內(nèi)的一切x，x0點本身可以除外(或絕對值大于某一正數(shù)的一切x)有≤≤，且，那末存在，且等于A注：此準(zhǔn)則也就是夾逼準(zhǔn)則.準(zhǔn)則二：單調(diào)有界的函數(shù)必有極限.注：有極限的函數(shù)不一定單調(diào)有界兩個重要的極限 一：注：其中e為無理數(shù)，它的值為：e=...二：注：在此我們對這兩個重要極限不加以證明.注：我們要牢記這兩個重要極限，在今后的解題中會經(jīng)常用到它們.例題：求解答：令，則x=2t，因為x→∞，故t→∞，則注：解此類型的題時，一定要注意代換后的變量的趨向情況，象x→∞時，若用t代換1/x，則t→0.無窮大量和無窮小量無窮大量我們先來看一個例子：已知函數(shù)，當(dāng)x→0時，可知，我們把這種情況稱為趨向無窮大。記為：（表示為無窮大量，實際它是沒有極限的）同樣我們可以給出當(dāng)x→∞時，無限趨大的定義：設(shè)有函數(shù)y=，當(dāng)x充分大時有定義，對于任意給定的正數(shù)N(一個任意大的數(shù))，總可以找到正數(shù)M，當(dāng)時，成立，則稱函數(shù)當(dāng)x→∞時是無窮大量，記為：無窮小量以零為極限的變量稱為無窮小量。無窮大量與無窮小量的區(qū)別是：前者無界，后者有界，前者發(fā)散，.關(guān)于無窮小量的兩個定理定理一：如果函數(shù)在(或x→∞)時有極限A，則差是當(dāng)(或x→∞)時的無窮小量，反之亦成立。定義：設(shè)α，β都是時的無窮小量，且β在x0的去心領(lǐng)域內(nèi)不為零，a)：如果，則稱α是β的高階無窮小或β是α的低階無窮小；b)：如果，則稱α和β是同階無窮??；c)：如果，則稱α和β是等價無窮小，記作：α∽β(α與β等價)例：因為，所以當(dāng)x→0時，x與3x是同階無窮??；因為，所以當(dāng)x→0時，x2是3x的高階無窮??；因為，所以當(dāng)x→0時，sinx與x是等價無窮小。例題： 解答：當(dāng)x→0時，sinax∽ax，tanbx∽bx，故：例題： 解答：注：注：從這個例題中我們可以發(fā)現(xiàn)，作無窮小變換時，要代換式中的某一項，不能只代換某個因子。函數(shù)連續(xù)性的定義：設(shè)函數(shù)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，如果有稱函數(shù)在點x0處連續(xù)，且稱x0為函數(shù)的的連續(xù)點.下面我們結(jié)合著函數(shù)左、右極限的概念再來學(xué)習(xí)一下函數(shù)左、右連續(xù)的概念：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b]內(nèi)有定義，如果左極限存在且等于，即：=，[a,b)內(nèi)有定義，如果右極限存在且等于，即：=，那末我們就稱函數(shù)在點a右連續(xù).一個函數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每點連續(xù),則為在(a,b)連續(xù)，若又在a點右連續(xù)，b點左連續(xù)，則在閉區(qū)間[a，b]連續(xù)，如果在整個定義域內(nèi)連續(xù)，則稱為連續(xù)函數(shù)。通過上面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道函數(shù)的連續(xù)性了，同時我們可以想到若函數(shù)在某一點要是不連續(xù)會出現(xiàn)什么情形呢？接著我們就來學(xué)習(xí)這個問題：函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點定義：我們把不滿足函數(shù)連續(xù)性的點稱之為間斷點. 它包括三種情形：a)：在x0無定義；b)：在x→x0時無極限；c)：在x→x0時有極限但不等于；下面我們通過例題來學(xué)習(xí)一下間斷點的類型：例1： 正切函數(shù)在處沒有定義，所以點是函數(shù)的間斷點，因，我們就稱為函數(shù)的無窮間斷點；例2：函數(shù)在點x=0處沒有定義；故當(dāng)x→0時，函數(shù)值在1與+1之間變動無限多次，我們就稱點x=0叫做函數(shù)的振蕩間斷點；我們還可以發(fā)現(xiàn)在點x=0時，函數(shù)值產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，為此我們把這種間斷點稱為跳躍間斷點；我們把上述三種間斷點用幾何圖形表示出來如下:間斷點的分類我們通常把間斷點分成兩類：如果x0是函數(shù)的間斷點，且其左、右極限都存在，我們把x0稱為函數(shù)的第一類間斷點；不是第一類間斷點的任何間斷點，稱為第二類間斷點.可去間斷點若x0是函數(shù)的間斷點，但極限存在，那末x0是函數(shù)的第一類間斷點。我們令，則可使函數(shù)在點x0處連續(xù)，故這種間斷點x0稱為可去間斷點。復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)當(dāng)x→x0時的極限存在且等于a，即：.而函數(shù)在點u=a連續(xù)，那末復(fù)合函數(shù)當(dāng)x→：例題：求解答：注：函數(shù)可看作與復(fù)合而成，且函數(shù)在點u=e連續(xù)，因此可得出上述結(jié)論。(在此不作證明) 例：函數(shù)y=sinx在閉區(qū)間[0，2π]上連續(xù)，則在點x=π/2處，它的函數(shù)值為1，且大于閉區(qū)間[0，2π]上其它各點出的函數(shù)值；則在點x=3π/2處，它的函數(shù)值為1，且小于閉區(qū)間[0，2π]上其它各點出的函數(shù)值。即：，μ在α、β之間，則在[a，b]間一定有一個ξ，使在閉區(qū)間連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值最小值之間的任何值。例：設(shè)一質(zhì)點沿x軸運動時，其位置x是時間t的函數(shù)，求質(zhì)點在t0的瞬時速度？我們知道時間從t0有增量△t時，質(zhì)點的位置有增量 ，這就是質(zhì)點在時間段△t的位移。我們認為當(dāng)時間段△t無限地接近于0時，此平均速度會無限地接近于質(zhì)點t0時的瞬時速度，即：質(zhì)點在t0時的瞬時速度=為此就產(chǎn)生了導(dǎo)數(shù)的定義，如下：導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)在點x0的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處有增量△x(x+△x也在該鄰域內(nèi))時，相應(yīng)地函數(shù)有增量，若△y與△x之比當(dāng)△x→0時極限存在，則稱這個極限值為在x0處的導(dǎo)數(shù)。若函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點都可導(dǎo)，就稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。若極限存在，我們就稱它為函數(shù)在x=x0處的左導(dǎo)數(shù)。注：函數(shù)在x0處的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是函數(shù)在x0處的可導(dǎo)的充分必要條件函數(shù)的和、差求導(dǎo)法則函數(shù)的和差求導(dǎo)法則 法則：兩個可導(dǎo)函數(shù)的和(差)的導(dǎo)數(shù)等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(差).用公式可寫為：。例題：已知，求解答：例題：已知，求解答：函數(shù)的積商求導(dǎo)法則常數(shù)與函數(shù)的積的求導(dǎo)法則法則：在求一個常數(shù)與一個可導(dǎo)函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)時，常數(shù)因子可以提到求導(dǎo)記號外面去。用公式可寫成：例題：已知，求解答：注：若是三個函數(shù)相乘，則先把其中的兩個看成一項。用公式可寫成： 例題：已知，求解答：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則在學(xué)習(xí)此法則之前我們先來看一個例子!例題：求=?解答：由于，故 這個解答正確嗎?這個解答是錯誤的，正確的解答應(yīng)該如下：我們發(fā)生錯誤的原因是是對自變量x求導(dǎo)，而不是對2x求導(dǎo)。用公式表示為：，其中u為中間變量例題：已知，求解答：設(shè),則可分解為,因此注：在以后解題中，我們可以中間步驟省去。注：這里的反函數(shù)是以y為自變量的，我們沒有對它作記號變換。這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做s對t的二階導(dǎo)數(shù)。由此可見，求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連地求導(dǎo)，所以，在求高階導(dǎo)數(shù)時可運用前面所學(xué)的求導(dǎo)方法。 解答：因為=a，故=0例題：求對數(shù)函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。注：有些隱函數(shù)并不是很容易化為顯函數(shù)的，那么在求其導(dǎo)數(shù)時該如何呢？下面讓我們來解決這個問題！隱函數(shù)的求導(dǎo)若已知F(x,y)=0，求時，一般按下列步驟進行求解：a)：若方程F(x,y)=0，能化為的形式，則用前面我們所學(xué)的方法進行求導(dǎo)；b)：若方程F(x,y)=0，不能化為的形式，則是方程兩邊對x進行求導(dǎo)，并把y看成x的函數(shù)，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進行。例題：求隱函數(shù)，在x=0處的導(dǎo)數(shù)解答：兩邊對x求導(dǎo)，故，當(dāng)x=0時，y=。注：此方法特別適用于冪函數(shù)的求導(dǎo)問題。如下解答：先兩邊取對數(shù)： ，把其看成隱函數(shù)，再兩邊求導(dǎo)因為，所以例題：已知，求此題可用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進行求導(dǎo)，但是比較麻煩，下面我們利用對數(shù)求導(dǎo)法進行求導(dǎo)解答：先兩邊取對數(shù)再兩邊求導(dǎo)因為，所以函數(shù)的微分學(xué)習(xí)函數(shù)的微分之前，我們先來分析一個具體問題：一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響時，其邊長由x0變到了x0+△x，則此薄片的面積改變了多少？解答：設(shè)此薄片的邊長為x，面積為A，則A是x的函數(shù)： 薄片受溫度變化的影響面積的改變量，可以看成是當(dāng)自變量x從x0取的增量△x時，函數(shù)A相應(yīng)的增量△A，即：。下面我們給出微分的數(shù)學(xué)定義：函數(shù)微分的定義：設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，x0及x0+△x在這區(qū)間內(nèi)，若函數(shù)的增量可表示為，其中A是不依賴于△x的常數(shù)，是△x的高階無窮小，則稱函數(shù)在點x0可微的。通過上面的學(xué)習(xí)我們知道：微分是自變量改變量△x的線性函數(shù)，dy與△y的差是關(guān)于△x的高階無窮小量，我們把dy稱作△y的線性主部。微分形式不變性 什么是微分形式不邊形呢？ 設(shè)，則復(fù)合函數(shù)的微分為： ， 由于，故我們可以把復(fù)合函數(shù)的微分寫成 由此可見，不論u是自變量還是中間變量，的微分dy總可以用與du的乘積來表示， 我們把這一性質(zhì)稱為微分形式不變性。 通過上面的學(xué)習(xí)，我們知道微分與導(dǎo)數(shù)有著不可分割的聯(lián)系，前面我們知道基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù) 的運算法則，那么基本初等函數(shù)的微分公式和微分運算法則是怎樣的呢？ 例題：設(shè)，求對x3的導(dǎo)數(shù) 解答：根據(jù)微分形式的不變性 微分的應(yīng)用 ，有時比較困難，但計算微分則比較簡單，為此我們用函數(shù)的微分來近似的代替函數(shù)的增量，這就是微分在近似計算中的應(yīng)用. 例題：求的近似值。 差商就是割線AB的斜率，若我們把割線AB作平行于自身的移動，那么至少有一次機會達到離割線最遠的一點P(x=c)處成為曲線的切線，而曲線的斜率為，由于切線與割線是平行的，因此 成立。 成立。描述如下： 若在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且，那末在(a,b)內(nèi)至少有一點c，使成立。 注：在此我們對這兩個定理不加以證明，若有什么疑問，請參考相關(guān)書籍 下面我們在學(xué)習(xí)一條通過拉格朗日中值定理推廣得來的定理——柯西中值定理柯西中值定理 如果函數(shù)，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且≠0，那末在(a，b)內(nèi)至少有一點c，使成立。 證明：不難發(fā)現(xiàn)方程左端是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 函數(shù)在[0，1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且，由羅爾定理 可知，在0與1之間至少有一點c，使，即 也就是：方程在0與1之間至少有一個實根未定式問題 　 問題：什么樣的式子稱作未定式呢？ 答案：對于函數(shù),來說，當(dāng)x→a(或x→∞)時，函數(shù),都趨于零或無窮大分別記為型 我們?nèi)菀字?，對于未定式的極限求法，是不能應(yīng)用商的極限等于極限的商這個法則來求解的，那么我們該如何求這類問題的極