【正文】 限呢？ 下面我們來學(xué)習(xí)羅彼塔(L39。羅彼塔(L39。Hospital)法則 注：它是以前求極限的法則的補(bǔ)充，以前利用法則不好求的極限，可利用此法則求解。 例題：求 解答：此題利用以前所學(xué)的法則是不好求解的，它為型，故可先將其轉(zhuǎn)化為型后在求解， 注：羅彼塔法則只是說明：對(duì)未定式來說，當(dāng)存在，則存在且二者的極限相同；而并不是不存在時(shí)，也不存在，此時(shí)只是說明了羅彼塔法則存在的條件破列。 函數(shù)的單調(diào)性也就是函數(shù)的增減性，怎樣才能判斷函數(shù)的增減性呢？ 設(shè)函數(shù)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo). a)：如果在(a,b)內(nèi)＞0，那末函數(shù)在[a,b]上單調(diào)增加； b)：如果在(a,b)內(nèi)＜0，那末函數(shù)在[a,b]上單調(diào)減少. 例題：確定函數(shù)的增減區(qū)間. 解答：容易確定此函數(shù)的定義域?yàn)?－∞,＋∞) 其導(dǎo)數(shù)為：，因此可以判出： 當(dāng)x＞0時(shí)，＞0，故它的單調(diào)增區(qū)間為(0,＋∞)； 當(dāng)x＜0時(shí)，＜0，故它的單調(diào)減區(qū)間為(∞,0)；注：此判定方法若反過來講，則是不正確的。 在學(xué)習(xí)函數(shù)的極值之前，我們先來看一例子： 事實(shí)上，這就是我們將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容——函數(shù)的極值，函數(shù)極值的定義 若存在著x0點(diǎn)的一個(gè)鄰域，對(duì)于這個(gè)鄰域內(nèi)任何點(diǎn)x(x0點(diǎn)除外)，＜均成立， 若存在著x0點(diǎn)的一個(gè)鄰域，對(duì)于這個(gè)鄰域內(nèi)任何點(diǎn)x(x0點(diǎn)除外)，＞均成立， 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。 我們知道了函數(shù)極值的定義了，怎樣求函數(shù)的極值呢？ 凡是使的x點(diǎn)，稱為函數(shù)的駐點(diǎn)。 判斷極值點(diǎn)存在的方法有兩種：如下方法一： 情況一：若當(dāng)x取x0左側(cè)鄰近值時(shí)，＞0，當(dāng)x取x0右側(cè)鄰近值時(shí)，＜0， 則函數(shù)在x0點(diǎn)取極大值。 情況一：若當(dāng)x取x0左側(cè)鄰近值時(shí)，＜0，當(dāng)x取x0右側(cè)鄰近值時(shí)，＞0， 則函數(shù)在x0點(diǎn)取極小值。 注：此判定方法也適用于導(dǎo)數(shù)在x0點(diǎn)不存在的情況。 用方法一求極值的一般步驟是： a)：求； b)：求的全部的解——駐點(diǎn)； c)：判斷在駐點(diǎn)兩側(cè)的變化規(guī)律，即可判斷出函數(shù)的極值。 例題：求極值點(diǎn) 解答：先求導(dǎo)數(shù) 再求出駐點(diǎn)：當(dāng)時(shí)，x=4/5 判定函數(shù)的極值，如下圖所示 方法二： ，故此時(shí)的情形不確定，我們可由方法一來判定； ＜0，故此點(diǎn)為極大值點(diǎn)； ＞0，故此點(diǎn)為極小值點(diǎn)。 這類問題在數(shù)學(xué)上可歸結(jié)為求某一函數(shù)的最大值、最小值的問題。要求在[a,b]上的最大值、最小值時(shí)，可求出開區(qū)間(a,b)內(nèi)全部的極值點(diǎn)，加上端點(diǎn)的值，從中取得最大值、最小值即為所求。 解答：在此區(qū)間處處可導(dǎo)，1， 故函數(shù)的最大值為，函數(shù)的最小值為。 面積 曲線的凹向與拐點(diǎn) 　定義：曲線凹向的判定定理 例題：判斷函數(shù)的凹向 解答：我們根據(jù)定理二來判定。拐點(diǎn)的定義拐定的判定方法 (2)：令=0，解出此方程在區(qū)間(a,b)內(nèi)實(shí)根； 解答：由， 判斷在0，2/3左、右兩側(cè)鄰近的符號(hào)，可知此兩點(diǎn)皆是曲線的拐點(diǎn)。(x)=f(x)dx， 則在該區(qū)間內(nèi)就稱函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的原函數(shù)。 關(guān)于原函數(shù)的問題 函數(shù)f(x)滿足什么條件是，才保證其原函數(shù)一定存在呢？這個(gè)問題我們以后來解決。 即：F(x)=f(x)， 則函數(shù)族F(x)+C(C為任一個(gè)常數(shù)）中的任一個(gè)函數(shù)一定是f(x)的原函數(shù)， 故：若函數(shù)f(x)有原函數(shù)，那末其原函數(shù)為無窮多個(gè).不定積分的概念 函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)叫做函數(shù)f(x)的不定積分， 由上面的定義我們可以知道：如果函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，那末f(x)的不定積分就是函數(shù)族 即:=F(x)+C 例題：求：. 函數(shù)的和的不定積分等于各個(gè)函數(shù)的不定積分的和； 求不定積分時(shí)，被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面來， 換元法（一）：設(shè)f(u)具有原函數(shù)F(u)，u=g(x)可導(dǎo)，那末F[g(x)]是f[g(x)]g39。 設(shè)u=2x，那末cos2x=cosu，du=2dx，因此： 換元法（二）：設(shè)x=g(t)是單調(diào)的，可導(dǎo)的函數(shù)，并且g39。(t)具有原函數(shù)φ(t)， 即有換元公式: 例題：求 解答：這個(gè)積分的困難在于有根式，但是我們可以利用三角公式來換元. 設(shè)x=asint(π/2tπ/2)，那末，dx=acostdt,于是有： 不定積分的換元法是在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的基礎(chǔ)上得來的，我們應(yīng)根據(jù)具體實(shí)例來選擇所用的方法，求不定積分不象求導(dǎo)那樣有規(guī)則可依，因此要想熟練的求出某函數(shù)的不定積分，只有作大量的練習(xí)。 設(shè)函數(shù)u=u(x)及v=v(x)，兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)公式為：=u39。移項(xiàng)，得 uv39。u39。 關(guān)于分部積分法的問題選取u和dv一般要考慮兩點(diǎn)： (1)v要容易求得； (2)容易積出。 例題：求 解答： 關(guān)于有理函數(shù)積分的問題三角函數(shù)的有理式的積分舉例 三角函數(shù)的有理式是指由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算所構(gòu)成的函數(shù)。 關(guān)于三角函數(shù)的有理式的積分的問題 們不再舉例。 我們先來看一個(gè)實(shí)際問題———求曲邊梯形的面積。 設(shè)曲邊梯形是有連續(xù)曲線y=f(x)、x軸與直線x=a、x=b所圍成。 ，但是此圖形有一邊是一條曲線，該如何求呢？因此，如果把區(qū)間[a,b]分成許多小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上，用其中某一點(diǎn)的高來近似代替同一個(gè)小區(qū)間上的窄曲變梯形的變高，我們?cè)俑鶕?jù)矩形的面積公式，即可求出相應(yīng)窄曲邊梯形面積的近似值，從而求出整個(gè)曲邊梯形的近似值。 顯然：把區(qū)間[a,b]分的越細(xì)，所求出的面積值越接近于精確值。定積分的概念 設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干個(gè)分點(diǎn) a=x0x1...xn1xn=b 把區(qū)間[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間 并作出和， 如果不論對(duì)[a,b]怎樣分法，也不論在小區(qū)間上的點(diǎn)ξi怎樣取法，只要當(dāng)區(qū)間的長度趨于零時(shí)，和S總趨于確定的極限I， 記作。 即：關(guān)于定積分的問題 定理（1）：設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積。 （2）：設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積。 性質(zhì)(1)：函數(shù)的和(差)得定積分等于它們的定積分的和(差）. 即： 性質(zhì)(3)：如果在區(qū)間[a,b]上，f(x)≤g(x)，則≤ 性質(zhì)(4)：設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值及最小值，則 m(ba)≤≤M(ba) =f(ξ)(ba)微積分積分公式 　積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 注意：為了明確起見，我們改換了積分變量（定積分與積分變量的記法無關(guān)） （a≤x≤b)牛頓萊布尼茲公式 因此它就 解答：我們由牛頓萊布尼茲公式得：定積分的換元法與分部積分法　定積分的換元法因此，在一定條件下，可以用換元法來計(jì)算定積分。 定理：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)；函數(shù)g(t)在區(qū)間[m,n]上是單值的且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；當(dāng)t在區(qū)間[m,n]上變化時(shí)，x=g(t)的值在[a,b]上變化，且g(m)=a,g(n)=b；則有定積分的換元公式: 解答:設(shè)x=asint,則dx=acostdt,且當(dāng)x=0時(shí)，t=0；當(dāng)x=a時(shí)，t=π/： 注意：在使用定積分的換元法時(shí)，當(dāng)積分變量變換時(shí)，積分的上下限也要作相應(yīng)的變換。 計(jì)算不定積分有分部積分法，相應(yīng)地，計(jì)算定積分也有分部積分法。 設(shè)u(x)、v(x)在區(qū)間[a,b]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)u39。(x)，則有(uv)39。v+uv39。 上式即為定積分的分部積分公式。 例題：計(jì)算 再用分部積分公式計(jì)算上式的右端的積分。 為此我們對(duì)定積分加以推廣，也就是———廣義積分。 存在， 則此極限叫做函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間[a,+∞）上的廣義積分， 記作：， 即：=. 此時(shí)也就是說廣義積分收斂。 類似地，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(∞，b]上連續(xù)，取a 存在， 則此極限叫做函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間(∞，b]上的廣義積分， 即：=. 此時(shí)也就是說廣義積分收斂。 記作：， 上述廣義積分統(tǒng)稱積分區(qū)間為無窮的廣義積分。 例題：計(jì)算廣義積分 存在，則極限叫做函數(shù)f(x)在(a,b]上的廣義積分， 類似地，設(shè)f(x)在[a,b)上連續(xù)，0，如果極限 又，設(shè)f(x)在[a,b]上除點(diǎn)c(acb)外連續(xù)， 則定義：=+. 否則就說廣義積分發(fā)散。 例題：計(jì)算廣義積分(a0) 六、空間解析幾何空間直角坐標(biāo)系　空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)系 為了溝通空間圖形與數(shù)的研究，我們需要建立空間的點(diǎn)與有序數(shù)組之間的聯(lián)系，為此我們通過引進(jìn)空間直角坐標(biāo)系來實(shí)現(xiàn)。（如下圖所示） 三條坐標(biāo)軸中的任意兩條可以確定一個(gè)平面，這樣定出的三個(gè)平面統(tǒng)稱坐標(biāo)面。 例：、y軸、z軸，它們與x軸、y軸、z軸的交點(diǎn)依次為P、Q、R，這三點(diǎn)在x軸、y軸、z軸的坐標(biāo)依次為x、y、,y,y,z就叫做點(diǎn)M的坐標(biāo)，并依次稱x,y和z為點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)。 注意：坐標(biāo)面上和坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，其坐標(biāo)各有一定的特征. 例：如果點(diǎn)M在yOz平面上，則x=0；同樣，zOx面上的點(diǎn)，y=0；如果點(diǎn)M在x軸上，則y=z=0；如果M是原點(diǎn)，則x=y=z=0，等。 例題：證明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)為頂點(diǎn)的三角形△ABC是一等腰三角形. 解答：由兩點(diǎn)間距離公式得：方向角與方向余弦 設(shè)有空間兩點(diǎn)，若以P1為始點(diǎn)，,Oy,Oz三個(gè)坐標(biāo)軸正向夾角分別記作α,β,β,≤α≤π,0≤β≤π,0≤γ≤π. 關(guān)于方向角的問題 若有向線段的方向確定了，則其方向角也是唯一確定的。 設(shè)有空間兩點(diǎn)，則其方向余弦可表示為： 注意：從原點(diǎn)出發(fā)的任一單位的有向線段的方向余弦就是其端點(diǎn)坐標(biāo)。這三個(gè)與方向余弦成比例且不全為零的數(shù)A，B，C稱為空間直線的方向數(shù)，記作：{A，B，C}.即： ， 其中：根式取正負(fù)號(hào)分別得到兩組方向余弦，它們代表兩個(gè)相反的方向。兩直線的夾角 若知道L1與L2的方向數(shù)則有公式為： 兩直線平行、垂直的條件 兩直線平行的充分必要條件為： 兩直線垂直的充分必要條件為： 平面與空間直線　平面及其方程 我們把與一平面垂直的任一直線稱為此平面的法線。 例題：設(shè)直線L的方向數(shù)為{3，4，8}，求通過點(diǎn)(2,1,4)且垂直于直線L的平面方程. 解答：應(yīng)用上面的公式得所求的平面方程為：其中x,y,z的系數(shù)A，B，C是平面的法線的一組方向數(shù)。 Ax+D=0，By+D=0，Cz+D=0.直線及其方程 ,具有某一確定方位的直線可以有無窮多條,則直線便被唯一確定，因而此直線的方程就可由通過它的方向數(shù)和定點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來。 上式就是直線L的方程，這種方程的形式被稱為直線方程的對(duì)稱式。 這就是直線方程的一般式。因此平面間的平行與垂直關(guān)系，也就轉(zhuǎn)化為直線間的平行與垂直關(guān)系。 總的來說，平面、直線間的垂直與平行關(guān)系，最終都轉(zhuǎn)化為直線與直線的平行與垂直關(guān)系。曲面與空間曲線　曲面的方程 我們知道，在空間中曲面可看成是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)或一條動(dòng)曲線(直線)按一定的條件或規(guī)律運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的軌跡。 如果此方程當(dāng)且僅當(dāng)P為曲面上的點(diǎn)時(shí)，才為P點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足?？臻g曲線的方程 我們知道，空間直線可看成兩平面的交線，因而它的方程可用此兩相交平面的方程的聯(lián)立方程組來表示，這就是直線方程的一般式。 設(shè)有兩個(gè)相交曲面，它們的方程是，那末聯(lián)立方程組： 便是它們的交線方程。 旋轉(zhuǎn)面 設(shè)有一條平面曲線C，繞著同一平面內(nèi)的一條直線L旋轉(zhuǎn)一周，這樣由C旋轉(zhuǎn)所形成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)面，曲線C稱為旋轉(zhuǎn)面的母線，直線L稱為旋轉(zhuǎn)面的軸。 我們前面所學(xué)的函數(shù)的自變量的個(gè)數(shù)都是一個(gè)，但是在實(shí)際問題中，所涉及的函數(shù)的自變量的個(gè)數(shù)往往是兩個(gè)，或者更多。 例：一個(gè)圓柱體的體積與兩個(gè)獨(dú)立變量r,h有關(guān)。 我們先以二個(gè)獨(dú)立的變量為基礎(chǔ)，來給出二元函數(shù)的定義。 設(shè)有兩個(gè)獨(dú)立的變量x與y在其給定的變域中D中，任取一組數(shù)值時(shí)，第三個(gè)變量z就以某一確定的法則有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那末變量z稱為變量x與y的二元函數(shù)。 記作：z=f(x,y). 其中x與y稱為自變量，函數(shù)z也叫做因變量，自變量x與y的變域D稱為函數(shù)的定義域。 關(guān)于二元函數(shù)的定義域的問題常見的區(qū)域有矩形域和圓形域。 解答：該函數(shù)的定義域?yàn)椋簒≥,