[研究生入學考試]高等數學考研知識綜合必備_不全你來找我(編輯修改稿)
2025-09-13 02:48 本頁面
【文章內容簡介】 _y_x__1_2（2）求不等式的解；解：（1）方程的根就是函數和的圖象交點的橫坐標，當在如圖兩直線之間時有兩交點。由由∴（2）解方程得，結合圖形知，不等式的解集為點評：利用函數圖象的交點研究方程的根、不等式的解；這是數形結合的典范，要能熟練運用?！纠?】已知函數（1）證明函數y=f(x)的圖象關于點（1/2,1/2）對稱（2）求f(2)+ f(1)+ f(0)+ f(1)+ f(2)+ f(3)的值 證明（1）設是圖象上任一點，則又P關于點（1/2,1/2）對稱點為Q（1x,1y）所以，函數y=f(x)的圖象關于點（1/2,1/2）對稱；（2）由對稱性知f(1x)+f(x)=1,所以f(2)+ f(1)+ f(0)+ f(1)+ f(2)+ f(3)=3。歸納方法：（1）會求對稱點的坐標。 ：證對稱性就是證圖象上任一點（x,y）關于“xx“對稱的點仍在圖象上；（2）注意解析式的變換運用和既得結論的應用?！纠?】 (88年全國)給定實數a，a≠0且a≠1，設函數y＝ (其中x∈R且x≠)，證明：①.經過這個函數圖像上任意兩個不同點的直線不平行于x軸； ②.這個函數的圖像關于直線y＝x成軸對稱圖像。【證明】 ① 設是函數圖像上任意兩個不同的點，則,假設直線平行于x軸，則必有，即＝，整理得 ∵ ∴ a＝1， 這與已知“a≠1”矛盾， 因此假設不對，即直線不平行于x軸。② 由y＝得axy－y＝x－1,即(ay－1)x＝y(tǒng)－1,所以x＝，即原函數y＝的反函數為y＝，圖像一致。由互為反函數的兩個圖像關于直線y＝x對稱可以得到，函數y＝的圖像關于直線y＝x成軸對稱圖像。對于“不平行”這樣否定性結論可使用反證法，假設“平行”，經推理，導出矛盾。第②問中，對稱問題運用了反函數圖象的對稱性，方法巧妙，體現(xiàn)了知識間的聯(lián)系和解題思路的靈活性。【】(2006春上海) 設函數.（1）在區(qū)間上畫出函數的圖像；（2）設集合. 試判斷集合和之間的關系，并給出證明；（3）當時，求證：在區(qū)間上，的圖像位于函數圖像的上方.解:（1） （2）方程的解分別是和，由于在和上單調遞減，在和上單調遞增，因此. 由于（3）[解法一] 當時，. . 又， ① 當，即時，取， . ， 則. ② 當，即時，取， ＝. 由 ①、②可知，當時，. 因此，在區(qū)間上，的圖像位于函數圖像的上方. [解法二] 當時，.由 得， 令 ，解得 或， 在區(qū)間上，當時，的圖像與函數的圖像只交于一點； 當時，的圖像與函數的圖像沒有交點. 如圖可知，由于直線過點，當時，直線是由直線繞點逆時針方向旋轉得到. 因此，在區(qū)間上，的圖像位于函數圖像的上方. 五．提煉總結以為師函數圖象的意義——兩種畫圖方法——理解圖象變換與函數式變換之間的關系——平移變換、伸縮變換、對稱變換、對稱軸、對稱中心和函數式表示——利用函數的圖象討論函數的性質、方程的根和不等式的解；例題簡答：同步練習 函數圖象與變換【選擇題】(2006陜西4) 設函數f(x)=loga(x+b)(a0,a≠1)的圖象過點(2,1),其反函數的圖像過點(2,8),則a+b等于 ( )A 6 B 5 C 4 D 3（2005福建）函數的圖象如圖，其中a、b為常數，則下列結論正確的是 （ ）A． B．C． D． 設函數y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱，在x≤1時，f(x)=(x+1)2－1,則x1時f(x)等于 ( )A f(x)=(x+3)2－1 B f(x)=(x
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