【文章內(nèi)容簡介】 0220 ??????? ?? xaxxaxxx= .6213lim 220 axaxx ????? 4s in1lim)(lim)00( 200 xxaxxexff axxx???????? ?? = .422 2lim41lim4 20220 ?????????? ?? axaxaex axxe axxaxx 令 )00()00( ??? ff ，有 426 2 ??? aa ，得 1??a 或 2??a . 當(dāng) a=1 時， )0(6)(lim0 fxfx ???，即 f(x)在 x=0 處連續(xù) . 當(dāng) a=2 時， )0(12)(lim0 fxfx ???，因而 x=0 是 f(x)的可去間斷點 . 例 5： 確定 ba, 的值，使得)1)(()( ?? ?? xax bexfx 有第二類間斷點 0?x 及可去間斷點 1?x 。 【解】 Axax bexfxxx ??????? )1)((lim)(lim 11 常數(shù) 0lim1 ??? ）（ be xx， eb? ， 0?a ???? ?? ?? )1)((lim)(lim 00 xax eexf xxx 14 第三講 導(dǎo)數(shù)與微分法研究 教學(xué) 目的 通過教學(xué)使學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)的定義，導(dǎo)數(shù)的幾何意義及微分的概念，熟練掌握導(dǎo)數(shù)的各種求導(dǎo)方法。 重 點 難 點 1． 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法 2． 參數(shù)方程 確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法 3． 形如 )()( xgxfy ? 的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法――取對數(shù)求導(dǎo)法 ４ . 變動上線的積分表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 教 學(xué) 提 綱 一、基本概念 1．導(dǎo)數(shù)及其變形 2．分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)通過左右導(dǎo)數(shù)來求 ３ .導(dǎo)數(shù)的幾何意義 二、求導(dǎo)方法 １ .求導(dǎo)公式及其應(yīng)用 ２ .復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法 ３．隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法 4．參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法 5．極坐標(biāo)方程表示的的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法 ６．形如 )()( xgxfy ? 的函 數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法――取對數(shù)求導(dǎo)法 ７．分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ８．變動上線的積分表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 15 第三講 導(dǎo)數(shù)與微分法研究 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分是微積分的基礎(chǔ)，經(jīng)常出選擇題與填空題，可作為求極限、求駐點、求拐點、求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分等問題的基礎(chǔ)。重點掌握分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、參數(shù)（極坐標(biāo)）方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。變動上限的積分表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)每年都考。 一、基本概念 1．導(dǎo)數(shù)及其變形 h xfhxfx xfxxfxx xfxf hxxx )()(lim)()(lim)()(lim 0000000 00 ???? ?????? ???? 例 1： 設(shè) )(xf 在 0x 可導(dǎo)，求 (1) h xfhxfh)()3(lim 000???， (2) h hxfhxfh)2()2(lim 000???? (3) )]21()1([lim000 nxfnxfnn ???? 2．分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)通過左右導(dǎo)數(shù)來求 例 2： 設(shè) )(),(||)( xxaxxf ???? 在 ax? 連續(xù)，文在什么條件下 )(xf 在 ax? 可導(dǎo)？ 【解】 )()(lim)()(lim axax afxfaxax ?? ???????? ?? )()(lim)()(lim axax afxfaxax ?? ?????? ?? 當(dāng) )()( aa ?? ?? ，即 0)( ?a? 時， )(xf 在 ax? 可導(dǎo)。 【討論】 ||)( xxf ? ， ||)( xxxf ? ， |1|)1)(1()( 2 ???? xxxxxf 分別有幾個不可導(dǎo)點。 例 3： 已知函數(shù)??? ?? ?? 11)( 2 xbax xxxf 處處可導(dǎo)，試確定 ba、 的值。 【解】 (1)欲使 )(xf 在 1?x 處可導(dǎo)，必先在 1?x 處連續(xù)， 故有 )1()(lim)(lim11 fxfxf xx ?? ?? ??，即 1??ba （ 2）又 )(xf 在 1?x 處的左、右導(dǎo)數(shù)分別為 21)1(lim)1( 20 ?? ????? ???? xxf x ， axxax bxaf xx ????? ?????? ?? ????? 00 lim1)1(lim)1( ， 故 2?a ，從而 1??b ，所以，當(dāng) 2?a ， 1??b 時 )(xf 處處可導(dǎo)。 ３ .導(dǎo)數(shù)的幾何意義 設(shè)函數(shù) )(xfy? 在點 0x 的導(dǎo)數(shù)存在，為 )(39。 0xf ，則導(dǎo)數(shù)值為函數(shù) )(xfy? 上一點（ 0x ， )( 0xf ）處的切線的斜率。此時，切線方程為： ))((39。 000 xxxfyy ??? ；法線方程為：0001 ()39。( )y y x xfx? ? ? ?。 例 4： 求 2xy? 的切線方程，使此切線與直線 1??xy 的斜率相同。 【解】設(shè)切點為（ 0x ， 0y ），則有： 200 xy ? ， 16 由已知，切線斜率與 1??xy 相同，則 1|39。0?xy， 可解得：210?x，410 ??y 切線方程為：2141 ??? xy 即41??xy。 例 5： 函數(shù) )(xfy? 由方程 4ln2 yxxy ?? 確定，求 )(xfy? 在 )1,1( 處的切線方程?！窘狻柯? 設(shè)函數(shù) ? ?xfy? 在某區(qū)間內(nèi)有定義， 0x 及 xx ??0 在這區(qū)間內(nèi)，如果因變量的增量? ? ? ?00 xfxxfy ????? 可表示為 ? ?xxAy ????? 0 ，其中 A 是不依賴于 x? 的常數(shù)，而 ? ?x?0 是0??x 時比 x? 高階的無窮小，那么稱函數(shù) ? ?xfy? 在點 0x 是可微的。而 xA? 叫做函數(shù) ? ?xfy? 在點 0x 相應(yīng)于自變量增量 x? 的微分，記作 dy 。即 xAdy ?? 。 二、求導(dǎo)方法 １ .求導(dǎo)公式及其應(yīng)用 (略 )２ .復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法（略）３．隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法 例 6： 求由方程 0sin21 ??? yyx 所確定的隱函數(shù) ? ?xfy? 的二階導(dǎo)數(shù)22dxyd 【解】兩邊對 x 求導(dǎo)得： 0cos21 ????? yyy ??? ??????? （ *） yy cos2 2????由此得 ? ? ? ?3222c o s2 s in4c o s2 s in2c o s2 2 yyy yyydxddx yd ???? ???????????? ?? 方法二 ：對（ * ） 式 再 兩 端 求 導(dǎo) 得 ： ? ? 0s inc os21 ??????????? yyyyyy ? ? 3222c o s2s i n4c o s2s i nc o s2 2c o s2s i nc o s211s i n21yyyyyyyyyyyy ????????????????????????? 4．參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法 （ 1）若參數(shù)方程 ??????? ?? ty tx ??確定 x 與 y 之間函數(shù)關(guān)系，則稱此函數(shù)為由參數(shù)方程所確定的函數(shù)。 （ 2） 計算導(dǎo)數(shù)的方法 ? ?? ? ? ?? ?ttdtt dttdxdy ???? ?????? ， dxddxyd dxdy?22 例 7:函數(shù) )(xfy? 由參數(shù)方程????????tyudux tasinsin 確定，求 dxdy ， 22dxyd 【解】??? ?? td tdy td tdx c o ssin tdxdy cot? 17 tdtdxdyd 2csc)( ?? tdx yd 322 sin1?? 例 8:函數(shù) )(xfy? 由方程??? ??? ?? 1sin 222yyt ttx確定，求 22dxyd 【解】略 5．極坐標(biāo)方程表示的的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法 設(shè)極坐標(biāo)方程為 )(???＝ ，化為直角坐標(biāo)??? ?? ??? ??? sin)( cos)(yx，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)求解。 例 9: 函數(shù) )(xfy? 的極坐標(biāo)方程為 ?? 2e＝ ，求dxdy 【解】??? ?? ????sincos22ey ex ??? ?? ?? ??? ?????dedy dedx )c o ss in2( )s inc o s2(22 ?? ?? cossin2 sincos2 ???dxdy ６．形如 )()( xgxfy ? 的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法――取對數(shù)求導(dǎo)法 例 10: xxy cos)1(sin ?＝ ，求 dxdy 【解】 )1ln(s inc o sln ?xxy＝ 方程兩邊關(guān)于 x 求導(dǎo) 1s inc o s)1ln ( s ins in12????? x xxxyy ＝ ?????? ?????? 1s inc o s)1ln ( s ins in)1( s in 2c o s x xxxxy x＝ 7．分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在分段點通過左右倒數(shù)來討論。 例 11:設(shè)????????? ?000)()(xxx exgxf x， )(xg 有二解連續(xù)的導(dǎo)數(shù)， ,1)0( ?g ,1)0( ???g 求 )(xf? 【解】 當(dāng) 0?x 時 2 )(])([)( x exgxexgxfxx ?? ?????? 當(dāng) 0?x 時 2 1)0(2)(lim2)(lim)(lim)0( 0020 ????????????? ?????? gexgx exgx exgf xxxxxx )(xf 連續(xù)，若 ?? xa dttfxF )()(，則 )()( xfxF ?? 18 例 12： 求導(dǎo)數(shù) （ 1） xxa t exdtetdxd )2c os ()2c os ( ?? （ 2） xx t exdtetdxd 232 )4c os (2)2c os ( ??? （ 3） xxxx t exexxdtetdxd 222 )2c os (2)c os (2)2c os (22 ??? （ 4） xxaxa ttxa t exxdtetdxddtetxxdxddtetxdxd )2c o s ()2c o s (])2c o s ([)2c o s ( ??? ? ?? （ 5） ?10 )()( dttxfdxdxf 是連續(xù)函數(shù)，求 ?? ?? x dyyfxdttxftxy 010 )(1)(, 則令 所以， )(1)(1)(0210 xfxdyyfxdttxfdxdx?? ??? 例 13： 設(shè) )(xf 可導(dǎo)， 4)1()( ????? xfxxf ，并且 ? ? ??10 0 )1()( x dttfdtxtf xxx 223 ??? 求 )(xf 【解】 ?? ?? x dyyfxdttxftxy010 )(1)(, 則令 代入 ? ? ??10 0 )1()( x dttfdtxtfxxx 223 ??? 得 ? ? ??x x dttfxdttf0 0 )1()(234 2xxx ??? 兩邊兩次求導(dǎo) xxxf 36)1( 2 ??? 9156)( 2 ??? xxxf 例 14： 設(shè)函數(shù) f(x)連續(xù)，且 0)0( ?f ，求極限 .)()()(lim000 ????? xxx dttxfxdttftx 【解】 由于 ? ?? ???? ?? 000 )())(()( x xxutx duufduufdttxf ,于是 ?? ??? ?????? xx xxxxx duufxdtttfdttfxdttxfxdttftx00 00000 )()()(lim)()()(lim =?????? xxx xxfduufxxfxxfdttf000 )()()()()(lim =???? xxx xxfduufdttf000 )()()(lim = = .)0()( )(0 xfxf xflinx