[研究生入學考試]高等數(shù)學二(編輯修改稿)
2025-09-13 03:02 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 定積分?！ ±?[9722]計算 【答疑編號11030313】 [解析] 本小題主要考查求簡單有理函數(shù)的不定積分。滿分6分?！ ? 求不定積分的歌： 微分積分逆運算，先后積微必還原，不定積分是求原函數(shù)，不加常數(shù)不算完，不定積分提限外，一表三法記心間，牢記基本積分表，通過求導可檢驗。直接積分最基本，恒等變型需熟練，換原積分繁化簡，積完分后再還原，第一換元最重要，能湊便湊最簡單，第二換元不能湊，根式代換常出現(xiàn)，三角代換有兩種，只需弦變與切變，分部積分未轉化，確定dv是關鍵，冪指弦冪在前，冪對反后為先，指乘弦出循環(huán)，尋求規(guī)律抓典型，掌握技巧會再練，今日唱起積分歌，積分運算不算難。第二節(jié) 定積分及其應用 [復習考試要求] ，了解函數(shù)可積的條件 ，掌握對變上限積分求導數(shù)的方法?！ R布尼茨公式?！ ！ ?，掌握其計算方法?！ ?。 [主要知識內(nèi)容] ?。ㄒ唬┒ǚe分有關概念 設函數(shù)y=f（x）在區(qū)間 [a, b]上連續(xù)，用分點 a=x0x1x2……xn=b, 將區(qū)間[a, b]分成n個小區(qū)間 [xi1,xi]，其長度為 在每個小區(qū)間[xi1,xi]上任取一點，作乘積，并求和 設f（x）在區(qū)間 [a, b]上連續(xù)且f（x）≥0 如果當n→∞，時，上述和的極限存在，且與對[a, b]的分法及的取法無關，則稱此極限值為函數(shù)f（x）在區(qū)間[a, b]上的定積分，記作 即 并稱f（x）在區(qū)間[a, b]上可積?！ ∑渲衒（x）稱為被積函數(shù)，f（x）dx稱為被積表達式，x稱為積分變量，[a, b]稱為積分區(qū)間，a稱為積分上限，b稱為積分下限。 由定積分的定義可以得到 ?、佟 、凇 、邸 。?）如果f（x）在區(qū)間[a, b]上連續(xù)，則f（x）在[a, b]上可積?！ 。?）如果f（x）在區(qū)間[a, b]上只有有限個有界間斷點，則f（x）在[a, b]上可積?！ 《ǚe分幾何上表示由曲線y=f（x），直線x=a, x=b及x軸圍成的各部分面積的代數(shù)和?！ 。?）。（k為常數(shù)）?！ 。?）?！ 。?）?！ 。?）如果f（x）在區(qū)間[a, b]上總有f（x）≤g（x），則。 ?。?） ?。?）設M和m分別為f（x）在區(qū)間[a, b]上的最大值和最小值，則有 ?。?）積分中值定理 如果f（x）在區(qū)間[a, b]上連續(xù)，則在區(qū)間[a, b]上至少存在一點，使得 ?。ǘ┳兩舷薅ǚe分求導定理 定義 積分上限x為變量時的定積分稱為變上限定積分。變上限定積分是積分上限x的函數(shù)，記作，一般有 定理 如果函數(shù)f（x）在區(qū)間[a, b]上連續(xù)，則有 推論 ① ?、凇 、邸 《ɡ?如果函數(shù)f（x）在區(qū)間[a, b]上連續(xù)，則是f（x）在該區(qū)間上的一個原函數(shù)。 例1[0003]設函數(shù)f（x）在區(qū)間[a, b]上連續(xù)，則下列結論不正確的是 （x）的一個原函數(shù) ?。▁）的一個原函數(shù)（axb） ?。璮（x）的一個原函數(shù)（axb） （x）在區(qū)間 [a,b]上可積 【答疑編號11030401】 [答]A 例2[0113] 設，則 【答疑編號11030402】 [答] arctanx 例3[9912] 若，則 【答疑編號11030403】 [解析]本小題主要考查變上限定積分求導定理。滿分4分。 例4[9718]設 試討論f（x）在x=0處的連續(xù)性?！ 敬鹨删幪?1030404】
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