【文章內(nèi)容簡介】 數(shù)的方法。 1．代入法 某一個函數(shù)中的自變量用另一個函數(shù)的表達式來替代，這種構(gòu)成復合函數(shù)的方法，稱之為代入法，該法適用于初等函數(shù)的復合，關(guān)健搞清誰是內(nèi)函數(shù)，誰是外函數(shù)。 2．分析法 根據(jù)外函數(shù)定義的各區(qū)間段，結(jié)合中間變量的表達式及中間變量的定義域進行分析，從而得出復合函數(shù) 的方法，該方法用于初等函數(shù)與分段函數(shù)或分段函數(shù)與分段函數(shù)的復合。 例 8 設(shè) ? ? ? ? ? ?? ?.,1 2 ?? ??? ?? ?? 次求 nn xfffxfxxxf ???. 15 解 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?22222222 21111111 xxxxxxxfxxxfxfxffxf???????????? ， ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?xf xfxffxfffxf 22223 1 ???? 22223121121xxxxxx?????? ， 猜想 ? ?21 nxxxfn ?? 。 當 n=1 時，結(jié)論已成立，假設(shè) n=k 時， ? ?21 kxxxfk ??成立，當 n=k+1 時， ? ? ? ?? ? ? ?22221 11111xkxkxxkxxxffxf kk ????????? 。 即 n=k+1 時結(jié)論成立，故 ? ?21 nxxxfn ??。 例 9 設(shè) ? ? ? ?? ?xffxxxf 求????????,1,0,1,1 。 解 當 ? ? ? ?? ? ? ? 11,1,1 ???? fxffxfx 時 ， 當 ? ? ? ?? ? ? ? 10,0,1 ???? fxffxfx 時 。 故 f(f(x))=1。 例 10 設(shè) ? ? ? ? ? ?? ?xfxx xxxxx xexf x ?? 求??? ?? ?????? ??? ,0,1 ,0, ,1,2。 解 由 ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ??? .1, ,1, xx xexf x ?? ?? ? （ 1）當 ? ? 1?x? 時 或 ? ? 1,1,0,12,0 ????? ??????? xxxxxx 有即? 。 16 或 ? ? .20,22 ,0,11,0 2 ????? ??? ????? xxxxxx 有即? （ 2）當 ?? 1?x? 時 或 ? ? 01,1,0,12,0 ?????? ??????? xxxxxx 有即? 。 或 ? ? .2,22,0,11,0 2 ???? ???????? xxxxxxx 有或即?得 ? ?? ?????????????? ?????2,1,20,01,2 ,1,2122xxxexx xexfxx? 六、判斷奇偶函數(shù)的方法 偶函數(shù) f(x)的圖象關(guān)于 y 軸對稱；奇函數(shù) f(x)的圖象關(guān)于原點對稱。 奇偶函數(shù)的運算性質(zhì) 1. 奇函數(shù)的代 數(shù)和仍為奇函數(shù)，偶函數(shù)的代數(shù)和仍為偶函數(shù)。 2. 偶數(shù)個奇（偶）函數(shù)之積為偶函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的積為奇函數(shù)。 3. 一奇一偶的乘積為奇函數(shù) 4. 兩個奇函數(shù)復合仍為奇函數(shù)，一奇一偶復合為偶函數(shù)，兩個偶函數(shù)復合仍為偶函數(shù)。 判斷方法 1．用定義 2． .若 f(x)+f(x)=0，則 f(x)為奇函數(shù)，這種方法適合用定義比較困難的題目。 例 11 判斷下列函數(shù)的奇偶性： （ 1） ? ? ? ? ? ?3 23 2 11 xxxf ???? ； （ 2） ? ? xxxf ??? 11ln ； （ 3） ? ? 2111 ???xaxf（ a0,a≠ 1 常數(shù)） 解（ 1）由 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?xfxxxxxf ??????????? 3 23 23 223 1111 ，知 f(x)為偶函數(shù) （ 2）由 ? ? ? ? ? ?? ?xxxxxfxf ?? ???????? 11ln11ln ,01ln1111ln11ln11ln ?????????????? xxxxxxxx 知 f(x)為奇函數(shù)。 （ 3）由 ? ?211112111 ??????? ? xx aaxf 2111211 ??????? xxx aaaa 17 ? ?xfaaa aa xxx xx ??????????? ??? 2111211 1211 1，知 f(x)為奇函數(shù) 七、周期函數(shù)的判斷與周期的求法 1．周期函數(shù)周期的求法 （ 1）若 T 為 f(x) 的周期，則 f(ax+b)的周期為 ? ?0?aaT （ 2）若 f(x)的周期為 T1， g(x)的周期為 T2，則 c1f(x)+c2g(x)的周期為 T1， T2 的最小公倍數(shù)。 2．周期函數(shù)的判斷方法。 （ 1）用定義。 （ 2）用周期函數(shù)的運算性質(zhì)。 常見函數(shù)的周期： sinx,cosx,其 周期 T=2π ； ,c o s,sin,c o t,ta n xxxx 其周期 T=π 。 例 12 求下列函數(shù)周期 （ 1） ? ? 3ta n32ta n2 xxxf ?? ； （ 2） ? ? xxxf 44 co ssin ?? ； （ 3） ? ? ? ?xxxf ?? 。 解（ 1）由 2tanx 的周期 ?? 2211 ??T， 3tanx 的周期 ?? 3312 ??T。故 f(x)的周期性期為 6π 。 （ 2）由 ? ? ? ? xxxxxf 22222 c o ss in2c o ss in ???? ? ?xx 4c os14112s in211 2 ????? x4cos4143 ? ，知 f(x)的周期 ?? 2142 ??T 。 （ 3）設(shè) ? ? Znrrnx ????? ，10 ， T 為任意整數(shù) ,由 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?xfrnrnrnTrTnrTnrTnrTnfTxf ?????????????????????知任意整數(shù)均為其周期，則最小周期 T=1。 例 13 若函數(shù) ? ?? ??????? xxf 的圖形關(guān)于兩條直線 x=a和 x=b對稱（ ba），則 f(x)為周期函數(shù)。 證 由條件函數(shù)的對稱性知 ? ? ? ?xafxaf ??? ， （ 1） ? ? ? ?xbfxbf ??? ， （ 2） 故函數(shù)在 a,b 中點 (a+b)/2 處的值等于點 a 2ab?? /和 2abb ?? 處的函數(shù)值 從而猜想如果 f(x)為周期函數(shù)，則周期應為 ? ?ababaabb ???????? ????????? ?? 222。 18 事實上 ? ?? ? ? ?? ?abxbfabxf 22 ?????? ? ?? ? ? ?xafabxbf ????? 22 ? ?? ? ? ?? ? ? ?xfxaafxaaf ??????? 所以 f(x)是以 2(ba)為周期的周期函數(shù)。 八、單調(diào)函數(shù)的判斷方法 1．用定義。 2．利用單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)。 （ 1）兩個遞減（增）函數(shù)的復合是遞增函數(shù)，一個遞增、一個遞減函數(shù)的復合是遞減 函數(shù)。 例 14 設(shè) ? ? ? ?xx ?? , 及 f(x)為遞增函數(shù)證明：若 ? ? ? ? ? ?xxfx ?? ?? （ 1） 則 ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?xxffx ???? ?? （ 2） 證 設(shè) x0 為三個函數(shù)公共域內(nèi)的任一點，則 ? ? ? ? ? ?000 xxfx ?? ?? 由（ 1）以及函數(shù) f(x)的遞增性知 ? ?? ? ? ?? ?00 xffxf ?? ， ? ?? ? ? ?? ?00 xfx ??? ? ； 從而 ? ?? ? ? ?? ?00 xffx ??? 同理可證 ? ?? ? ? ?? ?00 xxff ??? 。 由 x0 的任意性知，于是（ 2）式成立。 九、函數(shù)有界性的判斷 判斷函數(shù)是否有界，經(jīng)常用定義。 例 15 判斷下列函數(shù)是否有界： （ 1） ? ?21 xxxf ?? ； （ 2） ? ? ? ?1,0,12 ?? xxxf 。 解（ 1）由 f(x)的定義域是 R。 當 ? ?21211,0 22 ??????? xxxxxxxfx 時，當 ? ? ? ? 210,00,0 ??? ffx 有時 ， 知 ? ? 21, ?? xfRx 時 ，所以 f(x)為有界函數(shù)。 （ 2） ? ?1,011,0 0 ????? MxM 取。 ? ? .111110 MMMMxf ??????? 由無界函數(shù)的定義知 f(x)在（ 0， 1）上無界。 19 第二節(jié) 函數(shù)極限與連續(xù) 167。 函數(shù)極限內(nèi)容網(wǎng)絡(luò)圖 ?????????????????????)(lim)(lim)(lim)(lim00xfxfAxfAxfxxxxxx函數(shù)極限定義 四則運算保號性不等式有界性唯一性性質(zhì) ,?? 夾逼定理 判斷函數(shù)極限存在準則 單調(diào)有界定理 單側(cè)極限與雙側(cè)極限 函數(shù)極限與數(shù)列極限 —— 歸結(jié)原則。 關(guān)系定理 函數(shù)極限與無窮小 無窮大與無窮小 無窮小的階 —— 高階 、同階、等價。 函數(shù)連續(xù)定義 —— 0lim)()(lim000 ??? ??? yxfxf xxx 或 可去間斷點 第一類間斷點 跳躍間斷點 間斷點分類 第二類間斷點 167。 一、函數(shù)極限的概念 1. 都有時當若存在一個常數(shù) ,0,0,:)(lim XxXAAxfx ????????? ????Axf )(。 2. :)(lim Axfx ????把 1 中“ Xx? ”換成“ Xx ?? ”。 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的 閉區(qū)間上連續(xù) 最大（小）值定理 零值點定理（根的存在定理） 介值定理 函數(shù)極限與連續(xù) 20 3． :)(lim Axfx ???把 1 中“ Xx? ”換成“ Xx? ”。 定理 ???? Axfx )(lim Axfx ???? )(lim且 .)(lim Axfx ???? 4． :)(lim0 Axfxx ??設(shè) )(xf 在 0x 的某空心鄰域內(nèi) ? ?00 xU 有定義，若存在一個常數(shù) A，時當 ??? ??????? 00,0,0 xx，都有 ???Axf )( 。 5． :)(lim0 Axfxx ??? 設(shè) )(xf 在 0x 的某左半鄰域 )( 00 xU? 內(nèi)有定義，若存在一個常數(shù) A，0,0,0 0 ???????? xx??? 當時，都有 ???Axf )( 。 此 時 也 可 用 記 號 )0( 0?xf 或 )( 0?xf 表 示 左 極 限 值 A ，因此可寫成???? ?? ? )(lim)0()(lim 00 0 xfxfxf xxxx 或)( 0?xf 6. :)(lim0 Axfxx ???設(shè) )(xf 在 0x 的某右半鄰域 )( 00 xU? 內(nèi)有定