【文章內(nèi)容簡介】 ?? ?nnknkk xxnfxxk xfxf ? . （ ? 介于 x 與 0x 之間） 2．麥克勞林 如果函數(shù) )(xf 在含 0 的一個開區(qū)間 ),( ba 內(nèi)有直到 1?n 階導數(shù)，則對 ),( bax? ，有 1)1(0)()!1( )(! )0()( ??? ??? ?nnknkk xn xfxkfxf ? . （ 10 ??? ） 3．帶有皮亞諾余項的 泰勒公式 如果函數(shù) )(xf 在含 0x 的一個開區(qū)間 ),( ba 內(nèi)有直到 1?n 階導數(shù)，且 )()1( xf n? 有界， 14 則對 ),( bax? ，有 ])[()(! )()( 1000 0)( ?? ???? ?nknkk xxoxxk xfxf . 4． 幾個簡單函數(shù)的麥克勞林展開式（下列各式中 ? 都滿足（ 10 ??? ）） ① 132)!1(!!3!21 ????????? nxnx xn enxxxxe??； ② 1212153)!12( ]2/)12(s i n[)!12( )1(!5!3s i n ???? ?????????? nnn xn nxn xxxxx ???； ③ 22242)!22( ])1(c os [)!2( )1(!4!21c os ?? ????????? nnn xn nxn xxxx ???； ④ 11132)1)(1( )1()1(32)1l n( ????? ?????????? nnnnn xxnn xxxxx ?? ⑤ nm xn nmmmxmmmxx ! )1()1(!2 )1(1)1( 2 ?????????? ?? 11)!1( )1)()(1()1( ???? ?????? nnm xn xnmnmmm ??； 5． 泰勒公式應用 ① 用 n 次多項式逼近函數(shù) )(xf ，進 行函數(shù)值的近似計算。誤差不超過)!1(10???n xxMn ，其中 M 是函數(shù) )(xf 的 1?n 階導數(shù)的界，即 .)()1( Mxf n ?? ② 用帶有皮亞諾余項的 泰勒公式求極限：將分子、分母分別展開為 用帶有皮亞諾余項的 泰勒公式，展開次數(shù)到出現(xiàn)系數(shù)非零的冪次為止。 ③ 證明不等式：在 帶有 拉格朗日 余項的泰勒公式中對 )()( ?nf 進行放縮（偶爾也有對其它部分進行放縮的）得到不等式。 ④ 研究函數(shù)的性質(zhì)：如果在 )(,),(),(),( )( xfxfxfxf n???? 中已知的 n 個函數(shù)的性質(zhì)，可用 )(xf 的 1?n 階泰勒展開式研究另一個函數(shù)性質(zhì)。 三． 洛必達法則 1． 洛必達法則：若函數(shù) )(xf 、 )(xF 滿足條件 15 （ 1） 0)(lim)(lim ???? xFxf axax； （ 2）在 ax ? 的某一個去心鄰域內(nèi)， )(xf? 、 )(xF? 存在，且 0)( ?? xF ； （ 3）)( )(lim xF xfax ???存在或為無窮 大， 則 .)( )(lim)( )(lim xF xfxF xf axax ??? ?? 3． 未定式極限求法（續(xù)習題課（一）） 極限類型 極限形式 極限求法 00 型 )( )(lim xg xf 用 洛必達法則)( )(lim)( )(lim xF xfxF xf axax ??? ?? 分子分母同除一個適當?shù)臒o窮?。ㄍǔＪ羌s分） 將函數(shù)恒等變形（如有理化、三角變形等），然后再約分 湊幾個常用的 00 型重要極限 利用等價無窮小進行替代 湊導數(shù)定義 )()()(lim afax afxfax ????? 利用帶有皮亞諾余項的泰勒公式 ?? 型 )( )(lim xg xf 用 洛必達法則)( )(lim)( )(lim xg xfxg xf axax ??? ?? 分子分母同除一個適當?shù)臒o窮大 利用 ??x 時，有理函數(shù)的重要極限 ??? 型 )]()(lim[ xgxf ? 通過通分、有理化或?qū)?shù)運算性質(zhì)等手段化為00 或 ?? 型 ??0 型 )()(lim xgxf 將無窮小部分利用等價無窮小進行替代 由)(/1 )(lim)()(lim xg xfxgxf ?將其化為 00 或 ?? 型 其中函數(shù) )(xg 的取法要遵循下列原則：三角函數(shù)優(yōu)先，冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)次之，最后考慮其它函數(shù) 16 ?1 、 0 及0? 型 )()(lim[ xgxf 對 ?1 型，一般湊重要極限 )(/1)](1lim[ xx ??? 用換底， )](ln [)()( lim)](lim [ xfxgxg exf ?（化為 ??0 型） 取對數(shù)，若 axy ?)(lnlim ，則 aexy ?)(lim 4． 用 洛必達法則求極限要注意的幾個問題 ① 洛必達法則可以連續(xù)使用，直到定式極限為止； ② 定式極限絕對不能使用 洛必達法則； ③ )( )(lim xF xfax ???不存在且不為無窮大，也 不能使用 洛必達法則，要考慮用其它方法； ④ 對數(shù)列極限 若要使用 洛必達法則，必須先 n 變?yōu)?x ，轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限，然后再用洛必達法則 ⑤ 若連續(xù)使用 洛必達法則，永遠為未定式極限，應立即改用其它方法； ⑥ 洛必達法則只能直接用于 00 或 ?? 型，其它五種未定式極限，要轉(zhuǎn)化為 00 或 ?? 這兩種基本類型后再用 洛必達法則； ⑦ 為更好地使用 洛必達法則，還要注意以下細節(jié)： i）能用等價無窮小替代的部分，要用簡單的無窮小作替代進行化簡； ii）隨時對函數(shù)進行化簡，并及時求出非零因子部分的極限。 四 函數(shù)單調(diào)性及極值 1． 函數(shù)單調(diào)性的判定： 在區(qū)間 I 內(nèi)，如果 0)( ?? xf （等號只在個別點成立），則 )(xf 在 I 內(nèi)單調(diào)增加。 在區(qū)間 I 內(nèi)，如果 0)( ?? xf （等號只在個別點成立），則 )(xf 在 I 內(nèi)單調(diào)減少。 2． 函數(shù)在 0x 點取極值的必要條件： 0)( 0 ?? xf （即 0x 為駐點），或 )( 0xf? 不存在（即 0x 為不可點）。 3．函數(shù)在 0x 點取極值的充分條件： ① 函數(shù) )(xf 在 0x 點連續(xù)，且 )(xf? 在 0x 點左、右兩側(cè)附近異號。 若從 0x 點左側(cè)到右側(cè) )(xf? 的符號從正變到負，則 )( 0xf 為極大值。 17 若從 0x 點左側(cè)到右側(cè) )(xf? 的符號從負變到正，則 )( 0xf 為極小值。 ② 函數(shù) )(xf 在 0x 點有二階導數(shù)，且 0)( 0 ?? xf ， 0)( 0 ??? xf 若 0)( 0 ??? xf ，則 )( 0xf 為極大值。 若 0)( 0 ??? xf ，則 )( 0xf 為極小值。 4．求函數(shù) )(xf 單調(diào)區(qū)間及極值的步驟： ① 確定函數(shù) )(xf 的定義域； ② 求 )(xf? ，找駐點及不可點； ③ 列表（用駐點及不可點將定義域分成若干個區(qū)間，在每個區(qū)間內(nèi)確定 )(xf? 的符號； ④ 下結(jié)論（指出單調(diào)區(qū)間，給出極值）。 五 曲線凹凸性及拐點 1．曲線凹凸性的判 定： 在區(qū)間 I 內(nèi)，若 0)( ??? xf （等號只在個別點成立），則曲線在 I 內(nèi)上凹（下凸）。 在區(qū)間 I 內(nèi)，若 0)( ??? xf （等號只在個別點成立），則曲線在 I 內(nèi)上凸（下凹）。 2． 曲線 )(xfy? 在 ))(,( 00 xfx 點取拐點 的必要條件： 0)( 0 ??? xf ，或 )( 0xf? 不存在。 3． 曲線 )(xfy? 在 ))(,( 00 xfx 點取拐點的充分條件： 函數(shù) )(xf 在 0x 點連續(xù)，且 )(xf? 在 0x 點左、右兩側(cè)附近異號。 4．求曲線 )(xfy? 凹凸區(qū)間及拐點的步驟： ① 確定函數(shù) )(xf 的定義域； ② 求 )(xf? ，找出使得 )(xf? 為零的點及不存在點； ③ 列表（用上述點將定義域分成若干個區(qū)間，在每個區(qū)間內(nèi)確定 )(xf? 的符號； ④ 下結(jié)論（指出凹凸區(qū)間，給出拐點）。 六 ．函數(shù)最大、小值求法 18 1．閉區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)函數(shù) )(xf 的最值求法： 由 )(xf? 找出 )(xf 在開區(qū)間內(nèi) ),( ba 的所有駐點及不可點 nxxx , 21 ? ， 并計算函數(shù)值 )(),(,),(),(),( 21 bfxfxfxfaf n?，則 最大值 )}(),(,),(),(),(m a x { 21 bfxfxfxfafM n?? ； 最小值 )}(),(,),(),(),(m i n { 21 bfxfxfxfafm n?? . 2．有惟一極值點函數(shù) )(xf 的最值求法： 設(shè) 0x 是函數(shù) )(xfy? 在區(qū)間 I 內(nèi)惟一的極值點，有 ① 如果 0x 是函數(shù) )(xfy? 的極大 值點，則 )(0xf 是函數(shù) )(xf 在 I 內(nèi)的最大值； ② 如果 0x 是函數(shù) )(xfy? 的極小值點，則 )(0xf 是函數(shù) )(xf 在 I 內(nèi)的最小值。 3．實際問題中的最值求法的步驟 ： ① 建立目標函數(shù) )(xfy? （即建立數(shù)學模型）； ② 求 )(xf? ，找出駐點及不可點； ③ 判定并下結(jié)論（常?？梢杂蓪嶋H意義判定）。 七 ．不等式證明方法 1．利用中值定理或泰勒展開式。 2．利用函數(shù)的單調(diào)性。 ① 為證明 )()( bfaf ? ：可先判定函數(shù) )(xf 的單調(diào)性，從而得到不等式； ② 為在區(qū)間 ],[ ba 是證明 )()( xgxf ? ：可先判定函數(shù) )()()( xgxfxF ?? 的單調(diào)性，再與函數(shù)值 )(af （或 )(bf ）進行比較，從而得到不等式。 3．利用函數(shù)的最大值及最小值。 當在區(qū)間 ],[ ba 是證明 )()( xgxf ? 時，如果函數(shù) )()()( xgxfxF ?? 不是單調(diào)的，可以轉(zhuǎn)化為求 )(xF 的最大值 M ，若 0?M ，則 0)( ?xF ，從而得到不等式。其它情況類似。 4．利用曲線凹凸性定義。 19 如果在證明的不等式中出現(xiàn)了 )2( yxf ? 和 )]()([21 yfxf ? 的形式，應當考慮用曲線凹凸性定義證明。先判定曲線 )(xfy? 的凹凸性， 如果曲線上凹，則育不等式 ?? )2( yxf )]()([21 yfxf ? ； 如果曲線上凸，則育不等式 ?? )2( yxf )]()([21 yfxf ? . 八 ．方程 0)( ?xf 實根個數(shù)的討論方法 1．用零點定理和單調(diào)性。 用零點定理證明方程至 少有一個實根：若函數(shù) )(xfy? 在區(qū)間 ],[ ba 是連續(xù)，且 )(af 與)(bf 異號，則方程 0)( ?xf 在區(qū)間 ),( ba 內(nèi)至少有一個實根； 用單調(diào)性證明方程至多有一個實根：若函數(shù) )(xfy? 在區(qū)間 ],[ ba 上單調(diào)，則方程0)( ?xf 在區(qū)間 ),( ba 內(nèi)至多有一個實根 綜上：方程 0)( ?xf 在區(qū)間 ),( ba 內(nèi)有且僅有一個實根。 2．用作函數(shù)圖形法。 如果討論方程 kxf ?)( 的實根個數(shù)，可以先作函數(shù) )(xfy? ，然后通過曲線 )(xfy?與直線 ky? 的交點個數(shù)，得 到方程 kxf ?)( 的實根個數(shù)。 九 ．曲線的漸近線求法 （