【文章內(nèi)容簡介】 （ C） 3(3) (2)4FF? （ D） 5(3) ( 2)4FF? ? ? [ ] （ 4）設(shè)函數(shù) ()fx在 0x? 處連續(xù)，下列命題錯誤的是： 數(shù)學(xué)二歷年考研試題 26 （ A）若0()limxfxx?存在，則 (0) 0f ? （ B）若0( ) ( )limxf x f xx???存在，則 (0) 0f ? . （ C）若0()limxfxx?存在，則 (0) 0f? ? （ D）若0( ) ( )limxf x f xx???存在，則 (0) 0f? ? . [ ] （ 5）曲線 ? ?1 ln 1 e xy x? ? ? 的漸近線的條數(shù)為 （ A） 0. （ B） 1. （ C） 2. （ D） 3. [ ] （ 6）設(shè)函數(shù) ()fx在 (0, )?? 上具有二階導(dǎo)數(shù)，且 ( ) 0fx?? ? ，令 ()nu f n? ，則下列結(jié)論正確的是： (A) 若 12uu? ，則 ??nu 必收斂 . (B) 若 12uu? ，則 ??nu 必發(fā)散 (C) 若 12uu? ，則 ??nu 必收斂 . (D) 若 12uu? ，則 ??nu 必發(fā)散 . [ ] （ 7）二元函數(shù) ( , )f xy 在點 ? ?0,0 處可微的一個充要條件是 [ ] （ A）? ?? ?( , ) 0 , 0lim ( , ) ( 0 , 0 ) 0xy f x y f? ??. （ B）00( , 0 ) ( 0 , 0 ) ( 0 , ) ( 0 , 0 )l im 0 , l im 0f x f f y fxy??????且. （ C）? ? 22( , ) 0 , 0 ( , ) ( 0 , 0 )lim 0xy f x y fxy? ? ??. （ D）00l im ( , 0 ) ( 0 , 0 ) 0 , l im ( 0 , ) ( 0 , 0 ) 0x x y yf x f f y f??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?且. （ 8）設(shè)函數(shù) ( , )f xy 連續(xù)，則二次積分 1sin2 d ( , )dxx f x y y???? 等于 （ A） 10 a rc sind ( , )dyy f x y x?? ??? （ B） 10 a rc sind ( , )dyy f x y x?? ??? （ C） 1 a rc s in0 2d ( , )dyy f x y x?? ??? （ D） 1 a rc s in0 2d ( , )dyy f x y x?? ??? （ 9）設(shè)向量組 1 2 3,? ? ? 線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是 線性相關(guān)，則 (A) 1 2 2 3 3 1,? ? ? ? ? ?? ? ? (B) 1 2 2 3 3 1,? ? ? ? ? ?? ? ? (C) 1 2 2 3 3 12 , 2 , 2? ? ? ? ? ?? ? ?. (D) 1 2 2 3 3 12 , 2 , 2? ? ? ? ? ?? ? ?. [ ] 數(shù)學(xué)二歷年考研試題 27 （ 10） 設(shè)矩陣2 1 1 1 0 01 2 1 , 0 1 01 1 2 0 0 0AB??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?，則 A 與 B (A) 合同且相似 （ B）合同，但不相似 . (C) 不合同，但相似 . (D) 既不合同也不相似 [ ] 二、填空題 ： 11～ 16 小題，每小題 4 分，共 24 分 . 把答案填在題中橫線上 . （ 11） 30 arcta n si nlimx xxx? ? ? __________. （ 12）曲線 2cos cos1 sinx t tyt? ??? ???上對應(yīng)于 4t ?? 的點處的法線斜率為 _________. （ 13）設(shè)函數(shù) 123y x? ? ，則 ()(0)ny ? ________. （ 14） 二階常系數(shù)非齊次微分方程 24 3 2e xy y y?? ?? ? ?的通解為 y? ________. （ 15） 設(shè) ( , )f uv 是二元可微函數(shù)， ,yxzfxy??? ????，則 zzxyxy???? __________. （ 16）設(shè)矩陣0 1 0 00 0 1 00 0 0 10000A????? ????，則 3A 的秩為 . 三、解答題： 17～ 24 小題，共 86 分 . 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . （ 17 ） ( 本 題 滿 分 10 分 ) 設(shè) ()fx 是區(qū)間 0,4???????上 單 調(diào) 、 可 導(dǎo) 的 函 數(shù) ， 且 滿 足() 100 c o s s in( ) d ds in c o sf x x ttf t t t t? ?? ??? ，其中 1f? 是 f 的反函數(shù)，求 ()fx . （ 18）（本題滿分 11 分） 設(shè) D 是位于曲線 2 ( 1 , 0 )xay x a a x?? ? ? ? ??下方、 x 軸上方的無界區(qū)域 . （ Ⅰ ）求區(qū)域 D 繞 x數(shù)學(xué)二歷年考研試題 28 軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積 ()Va；（ Ⅱ ）當(dāng) a 為何值時， ()Va最??？并求此最小值 . （ 19）（本題滿分 10 分）求微分方程 2()y x y y?? ? ???滿足初始條件 (1) (1) 1yy???的特解 . （ 20）（本題滿分 11 分）已知函數(shù) ()fu 具有二階導(dǎo)數(shù)，且 (0) 1f? ? ，函數(shù) ()y yx? 由方程 1e1yyx???所確定，設(shè) ? ?ln sinz f y x??，求 2002dd,xxzz??. （ 21） (本題滿分 11 分 )設(shè)函數(shù) ( ), ( )f x g x 在 ? ?,ab 上連續(xù)，在 (, )ab 內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，( ) ( ) , ( ) ( )f a g a f b g b??，證明：存在 ( , )ab?? ，使得 ( ) ( )fg???? ??? . 數(shù)學(xué)二歷年考研試題 29 （ 22 ） ( 本題滿分 11 分 ) 設(shè)二元函數(shù)222, | | | | 11( , ) , 1 | | | | 2x x yf x y xyxy? ???? ? ? ? ?? ??，計算二重積分D ( , )df x y ???，其中 ? ?? ?, | | | | 2D x y x y? ? ?. （ 23） (本題滿分 11 分 ) 設(shè)線性方程組 1 2 31 2 321 2 302040x x xx x axx x a x? ? ? ??? ? ??? ? ? ??與方程 1 2 321x x x a? ? ? ?有公共解，求 a 的值及所有公共解 . （ 24） (本題滿分 11 分 ) 設(shè)三階對稱矩陣 A 的特征向量值 1 2 31, 2 , 2? ? ?? ? ? ?， T1 (1, 1,1)? ?? 是 A 的屬于 1? 的一個特征向量，記 534B A A E? ? ?，其中 E 為 3 階單位矩陣 . （ I） 驗證 1? 是矩陣 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值與特征向量； 數(shù)學(xué)二歷年考研試題 30 （ II） 求矩陣 B . 2022 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題 一、 填空題 ： 1－ 6 小題，每小題 4 分，共 24 分 . 把答案填在題中橫線上 . （ 1）曲線 4 sin5 2 cosxxy ?? ? 的水平漸近線方程為 （ 2） 設(shè)函數(shù) 23 01 si n d , 0(),0x t t xfx xax? ??? ?????　 　 　 　 在 0x? 處連續(xù)，則 a? . （ 3）廣義積分220 d(1 )xxx?? ??? . （ 4） 微分方程 (1 )yxy x??? 的通解是 （ 5）設(shè)函數(shù) ()y yx? 由方程 1eyyx?? 確定，則 0dd xyx ? ? （ 6） 設(shè)矩陣 2112A ????????， E 為 2 階單位矩陣，矩陣 B 滿足 2BA B E?? ，則 ?B . 二、選擇題： 7－ 14 小題，每小題 4 分， 共 32 分 . 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi) . （ 7） 設(shè)函數(shù) ()y f x? 具有二階導(dǎo)數(shù)，且 ( ) 0, ( ) 0f x f x? ????， x? 為自變量 x 在點 0x 處的增量， dyy?與分別為 ()fx在點 0x 處對應(yīng)的增量與微分，若 0x?? ，則 [ ] (A) 0dyy? ?? . (B) 0dyy?? ? . 數(shù)學(xué)二歷年考研試題 31 (C) d0yy? ? ? . (D) d0yy?? ? . （ 8） 設(shè) ()fx是奇函數(shù)，除 0x? 外處處連續(xù)， 0x? 是其第一類間斷點，則0 ( )dx f t t?是 （ A）連續(xù)的奇函數(shù) . （ B）連續(xù)的偶函數(shù) （ C）在 0x? 間斷的奇函數(shù) （ D）在 0x? 間斷的偶函數(shù) . [ ] （ 9） 設(shè) 函數(shù) ()gx 可微， 1 ( )( ) e , (1 ) 1 , (1 ) 2gxh x h g? ??? ? ?，則 (1)g 等于 （ A） ln3 1? . （ B） ln3 1.?? （ C） ln2 1.?? （ D） ln2 1.? [ ] （ 10） 函數(shù) 212e e ex x xy C C x?? ? ?滿足的一個微分方程是 （ A） 2 3 e .xy y y x?? ?? ? ? （ B） 2 3e .xy y y?? ?? ? ? （ C） 2 3 e .xy y y x?? ?? ? ? （ D） 2 3e .xy y y?? ?? ? ? [ ] （ 11） 設(shè) ( , )f xy 為連續(xù)函數(shù)，則 1400d ( c o s , si n ) df r r r r? ? ? ??? 等于 （Ａ） 22 120 d ( , )dxxx f x y y??? . （ B） 22 1200d ( , )dxx f x y y??? . (C) 22 120 d ( , )dyyy f x y x??? . (D) 22 1200d ( , )dyy f x y x??? . [ ] （ 12） 設(shè) ( , ) ( , )f x y x y?與 均為可微函數(shù)，且 ( , ) 0y xy?? ? ，已知 00( , )xy 是 ( , )f xy 在約束條件( , ) 0xy? ? 下的一個極值點，下列選項正確的是 [ ] (A) 若 00( , ) 0xf x y? ? ，則 00( , ) 0yf x y? ? . (B) 若 00( , ) 0xf x y? ? ，則 00( , ) 0yf x y? ? . (C) 若 00( , ) 0xf x y? ? ，則 00( , ) 0yf x y? ? . (D) 若 00( , ) 0xf x y? ? ，則 00( , ) 0yf x y? ? . （ 13） 設(shè) 12, , , s? ? ? 均為 n 維列向量， A 為 mn? 矩陣 ，下列選項正確的是 [ ] 數(shù)學(xué)二歷年考研試題 32