【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ?? yxyxD . （ 18）（本題滿分 9 分） 求冪級(jí)數(shù) ??? ??12)112 1(nnxn在區(qū)間 (1,1)內(nèi)的和函數(shù) S(x). （ 19）（本題滿分 8 分） 設(shè) f(x),g(x)在 [0， 1]上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且 f(0)=0, 0)( ??xf , 0)( ?? xg .證明：對(duì)任何 a ]1,0[? ,有 ? ? ????a gafdxxgxfdxxfxg0 10 ).1()()()()()( （ 20）（本題滿分 13 分） 已知齊次線性方程組 （ i） ??????????????,0,0532,032321321321axxxxxxxxx 和（ ii） ??? ???? ??? ,0)1(2 ,03221 321 xcxbx cxbxx同解，求 a,b, c 的值 . （ 21）（本題滿分 13 分） 設(shè) ??????? BC CAD T為正定矩陣，其中 A,B 分別為 m 階， n 階對(duì)稱矩陣， C 為 nm? 矩陣 . (I) 計(jì)算 DPPT ，其中 ?????? ???nm Eo CAEP 1； （ II）利用 (I)的結(jié)果判斷矩陣 CACB T 1?? 是否為正定矩陣，并證明你的結(jié)論 . （ 22）（本題滿分 13 分） 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X,Y)的概率密度為 . ,20,10,0,1),( 其他 xyxyxf ???????? 求：（ I） (X,Y)的邊緣概率密度 )(),( yfxf YX ； （ II） YXZ ??2 的概率密度 ).(zfZ ( III ) }.2121{ ?? XYP （ 23）（本題滿分 13 分） 設(shè) )2(, 21 ?nXXX n? 為來自總體 N(0, 2? )的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本， X 為樣本均值，記蘇潤(rùn)教育考研 2022 年數(shù)學(xué)考研強(qiáng)化資料 歷年真題解析 76 .,2,1, niXXY ii ???? 求：（ I） iY 的方差 niDYi ,2,1, ?? ； （ II） 1Y 與 nY 的協(xié)方差 ).,( 1 nYYCov （ III）若 21 )( nYYc ? 是 2? 的無偏估計(jì)量，求常數(shù) c. 2022 年考研數(shù)學(xué)三試題解析 一、填空題 （ 1） .【 詳解 】 12sinlim 2??? x xxx= .212lim 2 ???? x xxx （ 2） 【 詳解 】 0??? yyx ， xCCeCeyxxyy nxxdx ?????????? ?? 1),0(0 由 2,2)1( ???? xyxyCy 即故所求特解為得 （ 3） 【 詳解 】應(yīng)用二元復(fù)合函數(shù)求編導(dǎo)數(shù)法則得 )1l n( yxeexz yxyx ?????? ??,yxxeyz yx ?????? ? 1 1, 于是 ?)0,1(dz dyeedx )2(2 ?? . （ 4） .【 詳解 】 由題設(shè)，有 ?1234123121112aaa 0)12)(1( ??? aa , 得 21,1 ?? aa ，但題設(shè) 1?a ，故 .21?a （ 5） 【 詳解 】 }2{?YP = }12{}1{ ??? XYPXP + }22{}2{ ??? XYPXP + }32{}3{ ??? XYPXP + }42{}4{ ??? XYPXP = .4813)4131210(41 ????? （ 6） 【 詳解 】 由題設(shè)，知 a+b= 又事件 }0{ ?X 與 }1{ ??YX 相互獨(dú)立，于是有 }1{}0{}1,0{ ??????? YXPXPYXXP ，即 a= ))(( baa ?? , 由此可解得 a=, b= 二、選擇題 （ 7） 【 詳解 】 12186)( 2 ???? xxxf = )2)(1(6 ?? xx ，知可能極值點(diǎn)為 x=1,x=2，且 afaf ???? 4)2(,5)1( ，可見當(dāng) a=4 時(shí)，函數(shù) f(x) 恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，故應(yīng)選 (B). （ 8 ） 【 詳解 】 在 區(qū) 域 }1),{( 22 ??? yxyxD 上，有 10 22 ??? yx ， 從 而 有 蘇潤(rùn)教育考研 2022 年數(shù)學(xué)考研強(qiáng)化資料 歷年真題解析 77 2212 yx ???? ? 22 yx? ? 0)( 222 ??yx 由于 cosx 在 )2,0( ? 上 為 單 調(diào) 減 函 數(shù) ， 于 是 22cos0 yx ?? )cos( 22 yx ?? ? 222 )cos( yx ? 因此 ???? ?dyxD 22cos ???? ?dyxD )cos( 22 ?dyxD?? ? 222 )cos(，故應(yīng)選 (A). （ 9） 【 詳解 】 取nan 1?，則 ???1n na發(fā)散， ?????11)1(n nn a收斂， 但 ??? ?1 12n na與 ???1 2n na均發(fā)散，排除 (A),(B)選項(xiàng)，且 )(1 212??? ? ?n nn aa發(fā)散，進(jìn)一步排除 (C), 故應(yīng)選 (D). 事實(shí)上，級(jí)數(shù) )(1 212??? ? ?n nn aa的部分和數(shù)列極限存在 . （ 10） 【 詳解 】 xxxxxxxf c o ss i nc o ss i n)( ????? ，顯然 0)2(,0)0( ???? ?ff， 又 xxxxf s inc o s)( ???? ，且 02)2(,01)0( ????????? ??ff，故 f(0)是極小值， )2(?f 是極大值，應(yīng)選 (B). （ 11） 【 詳解 】 設(shè) f(x)=x1 , 則 f(x)及21)( xxf ???均在（ 0， 1）內(nèi)連續(xù)，但 f(x)在（ 0， 1）內(nèi)無界，排除 (A)、 (B)。 又 xxf ?)( 在（ 0， 1）內(nèi)有界，但xxf 21)( ??在（ 0， 1）內(nèi)無界，排除 (D). 故應(yīng)選 (C). （ 12） 【 詳解 】 由 TAA ?* 及 EAAAAA ?? ** ，有 3,2,1, ?? jiAa ijij ，其中 ijA 為 ija 的代數(shù)余子式，且 032 ????? AAAEAAA T 或 1?A 而 03 211131312121111 ????? aAaAaAaA ，于是 1?A ，且 .3311?a 故正確選項(xiàng)為 (A). （ 13） 【 詳解 】 方 法一：令 0)( 21211 ??? ??? Akk ，則 022211211 ??? ????? kkk ， 0)( 2221121 ??? ???? kkk . 由于 21,?? 線性無關(guān)，于是有 ??? ??? .0 ,022 121 ??k kk 當(dāng) 02?? 時(shí)，顯然有 0,0 21 ?? kk ，此時(shí) 1? ， )( 21 ?? ?A 線性無關(guān)；反過來，若 1? ，)( 21 ???A 線性無關(guān)，則必然有 02?? (,否則， 1? 與 )( 21 ???A = 11?? 線性相關(guān) )，故應(yīng)選 (B). 方法二： 由于 ?????????? 212122111211 01],[],[)](,[ ???????????? A， 可見 1? ， )( 21 ???A 線性無關(guān)的充要條件是 .001 221 ?????故應(yīng)選 (D). 蘇潤(rùn)教育考研 2022 年數(shù)學(xué)考研強(qiáng)化資料 歷年真題解析 78 （ 14） 【 詳解 】 由正態(tài)總體抽樣分布的性質(zhì)知，)1(~ ?? ntnsx ?， 故 ? 的置信度為 的置信區(qū)間是 ))1(1),1(1(22 ???? ntnxntnx ??，即 )).15(4120),15(4120( tt ??故應(yīng)選 (C). 三 、解答題 （ 15） 【 詳解 】 )1( 1l i m)111(l i m 200 x xxxx ex exxxe x ? ???? ? ??????? =220 1lim x exx xx ?? ??? =x ex xx 221lim0 ?? ?? = .2322lim0 ?? ?? xx e （ 16） 【 詳解 】 由已知條件可得 )()(2 yxfxyfxyxg ???????， )(1)()(242322 yxfyyxfxyxyfx yx g ?????????? ， )()()(1yxfyxyxfxyfxyg ???????， )()()()(1 3222222 yxfyxyxfyxyxfyxxyfxy g ???????????? ， 所以 222222 ygyxgx ????? = )()()(2 222 yxfyxyxfxyxyfx y ??????? )()( 222 yxfyxxyfxy ?????? = ).(2xyfxy ? （ 17） 【 詳解 】 記 }),(,1),{( 221 DyxyxyxD ????， }),(,1),{( 222 DyxyxyxD ???? ， 于是 ?dyxD?? ?? 122= ?????1)1( 22D dx dyyx ?? ???2)1( 22D dx dyyx = ? ? ?? 20 210 )1(? ? rdrrd ?? ???D dx dyyx )1(22 ?? ???1)1( 22D dx dyyx =8? + ? ??? ???? 20 10 2210 210 )1()1(? ? r drrddyyxdx = .314? （ 18） 【 詳解 】 設(shè) ??? ??? 1 2)1121()(n nxnxS， ??? ?? 1 21 121)(n nxnxS， ???? 122 )(nnxxS ， 則 )()()( 21 xSxSxS ?? ， ).1,1(??x 由于 ???? 122 )(nnxxS = 221xx? ， 蘇潤(rùn)教育考研 2022 年數(shù)學(xué)考研強(qiáng)化資料 歷年真題解析 79 )1,1(,1))(( 221 21 ?????? ??? xxxxxxS n n, 因此 ???????? x xxxdtttxxS 0 221 11ln211)(， 又由于 0)0(1 ?S ，故 .0 ,1,0 ,11ln211)(1 ??????? ????? xxxxxxS 所以 )()()( 21 xSxSxS ??.0 ,1,0 ,1111ln21 2??????? ?????xxxxxx （ 19） 【 詳解 】 方法一：設(shè) ?)(xF ? ? ????x gxfdttgtfdttftg0 10 )1()()()()()(， 則 F(x)在 [0， 1]上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，并且 ?? )(xF )]1()()[()1()()()( gxgxfgxfxfxg ?????? ， 由于 ]1,0[?x 時(shí)， 0)(,0)( ???? xgxf ，因此 0)( ?? xF ，即 F(x)在 [0， 1]上單調(diào)遞減 . 注意到 ?)1(F ? ? ????10 10 )1()1()()()()( gfdttgtfdttftg，而? ? ? ?????10 10 1010 )()()()()()()()( dttgtftftgtdftgdttftg = ? ?? 10 )()()1()1( dttgtfgf，故 F(1)= ]1,0[?x 時(shí)， 0)( ?xF ，由此可得對(duì)任何 ]1,0[?a ， 有 ? ? ????a gafdxxgxfdxxfxg0 10 ).1()()()()()( 方法二： ? ? ????a aa dxxgxfxfxgdxxfxg0 00 )()()()()()( = ? ?? a dxxgxfagaf0 )()()()(，