【正文】 F(x)是奇函數(shù) ? f(x)是偶函數(shù) . (C) F(x)是周期函數(shù) ? f(x)是周期函數(shù) . (D) F(x)是單調(diào)函數(shù) ? f(x)是單調(diào)函數(shù) . [ ] （ 9） 設(shè)函數(shù) y=y(x)由參數(shù)方程??? ?? ?? )1ln( ,22 ty ttx 確定，則曲線 y=y(x)在 x=3 處的法線與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 (A) 32ln81 ?. (B) 32ln81 ??(C) 32ln8 ?? . (D) 32ln8 ? . [ ] （ 10） 設(shè)區(qū)域 }0,0,4),{( 22 ????? yxyxyxD ， f(x)為 D 上的正值連續(xù)函數(shù)， a,b 為常數(shù)，則 ????? ?dyfxf yfbxfaD )()( )()((A) ?ab . (B) ?2ab. (C) ?)( ba? . (D) ?2ba? . [ ] （ 11） 設(shè)函數(shù) ? ??????? yx yx dttyxyxyxu )()()(),( ???, 其中函數(shù) ? 具有二階導(dǎo)數(shù)， ? 具有一階導(dǎo)數(shù)，則必有 [ ] (A) 2222 yuxu ??????. （ B）2222 yuxu ?????.(C) 222 yuyxu ?????? . (D) 222 xuyxu ??????. 蘇潤教育考研 2022 年數(shù)學(xué)考研強(qiáng)化資料 歷年真題解析 68 （ 12） 設(shè)函數(shù) ,11)(1 ???xxexf 則 (A) x=0,x=1 都是 f(x)的第一類間斷點(diǎn) . （ B） x=0,x=1 都是 f(x)的第二類間斷點(diǎn) . (C) x=0 是 f(x)的第一類間斷點(diǎn)， x=1 是 f(x)的第二類間斷點(diǎn) . （ D） x=0 是 f(x)的第二類間斷點(diǎn)， x=1 是 f(x)的第一類間斷點(diǎn) . [ ] （ 13） 設(shè) 21,?? 是矩陣 A 的兩個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為 21,?? ，則 1? ，)( 21 ?? ?A 線性無關(guān)的充分必要條件是 (A) 01?? . (B) 02?? . (C) 01?? . (D) 02?? . [ ] （ 14） 設(shè) A 為 n（ 2?n ）階可逆矩陣，交換 A 的第 1 行與第 2 行得矩陣 B, **,BA 分別為 A,B 的伴隨矩陣，則 (A) 交換 *A 的第 1 列與第 2 列得 *B . (B) 交換 *A 的第 1 行與第 2 行得 *B . (C) 交換 *A 的第 1 列與第 2 列得 *B? . (D) 交換 *A 的第 1 行與第 2 行得 *B? . [ ] 三 、解答題（本題共 9 小題，滿分 94 分 .解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 .） （ 15）（本題滿分 11 分） 設(shè)函數(shù) f(x)連續(xù)，且 0)0( ?f ，求極限 .)()()(lim000 ?? ??? xxx dttxfxdttftx （ 16）（本題滿分 11 分） 如圖， 1C 和 2C 分別是 )1(21 xey ?? 和 xey? 的圖象，過點(diǎn) (0,1)的曲線 3C 是一單調(diào)增函數(shù)的圖象 . 過 2C 上任一點(diǎn) M(x,y)分別作垂直于 x 軸和 y 軸的直線 xl 和 yl . 記 21,CC 與 xl 所圍圖形的面積為 )(1xS ； 32,CC 與 yl 所圍圖形的面積為 ).(2 yS 如果總有)()( 21 ySxS ? ，求曲線 3C 的方程 ).(yx ?? （ 17）（本題滿分 11 分） 如圖， 曲線 C 的方程為 y=f(x)，點(diǎn) (3,2)是它的一個(gè)拐點(diǎn)，直線 1l 與2l 分別是曲線 C 在點(diǎn) (0,0)與 (3,2)處的切線，其交點(diǎn)為 (2,4). 設(shè)函蘇潤教育考研 2022 年數(shù)學(xué)考研強(qiáng)化資料 歷年真題解析 69 數(shù) f(x)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計(jì)算定積分 ? ????30 2 .)()( dxxfxx （ 18）（本題滿分 12 分） 用變量代換 )0(cos ???? ttx 化簡微分方程 0)1( 2 ??????? yyxyx ，并求其滿足 2,100 ??? ?? xx yy的特解 . （ 19）（本題滿分 12 分） 已知函數(shù) f(x)在 [0， 1]上連續(xù)，在 (0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且 f(0)=0,f(1)=1. 證明： （ I）存在 ),1,0(?? 使得 ?? ??1)(f ； （ II）存在兩個(gè)不同的點(diǎn) )1,0(, ??? ，使得 .1)()( ??? ?? ff （ 20）（本題滿分 10 分） 已知函數(shù) z=f(x,y) 的全微分 ydyxdxdz 22 ?? ，并且 f(1,1,)=2. 求 f(x,y)在橢圓域}14),{( 22 ??? yxyxD 上的最大值和最小值 . （ 21）（本題滿分 9 分） 計(jì)算二重積分 ?dyxD?? ?? 122，其中 }10,10),{( ????? yxyxD . （ 22）（本題滿分 9 分） 確 定 常 數(shù) a, 使向量組 ,),1,1(1 Ta?? ,)1,1(2 Ta?? Ta )1,1,(3?? 可 由 向 量 組,),1,1(1 Ta?? ,)4,2(2 Ta??? Taa ),2(3 ??? 線性表示，但向 量組 321 , ??? 不能由向量組 321 , ??? 線性表示 . （ 23）（本題滿分 9 分） 已知 3 階矩陣 A 的第一行是 cbacba ,),( 不全為零，矩陣???????????kB 63 642321 （ k 為常數(shù)），且 AB=O, 求線性方程組Ax=0 的通解 . 2022 年數(shù)學(xué)二試題解析 1..填空題 . （ 1） 【 詳解 】 xxy )sin1( ?? = )sin1ln( xxe ? ，于是 ]s i n1 c os)s i n1[l n()s i n1l n( xxxxey xx ??????? ? ， 從而 ??xdy= .)( dxdxy ?? ??? .（ 2） 【 詳解 】 因?yàn)?a= ,1)1(lim)(lim 23 ????????? xxxxxfxx ? ?23)1(l i m)(l i m 2323 ???????????? xxxaxxfbxx，于是所求斜漸近線方程為 .23??xy 蘇潤教育考研 2022 年數(shù)學(xué)考研強(qiáng)化資料 歷年真題解析 70 （ 3） 【 詳解 】 令 tx sin? ，則 ????10 22 1)2( xx xdx ? ?20 2 cos)sin2( cossin? dttt tt = .4)a rc t a n(c osc os1 c os20 202 ?? ? ????? ? tttd 4 【 分析 】 （同 2022 年數(shù)學(xué)一題一（ 2），這里從略） 5… 【 詳解 】 由題設(shè)，200 c osa rc s in1lim)( )(lim kx xxxxx xx ??? ?? ?? =)c osa rc s in1( c os1a rc s inlim 20 xxxkx xxxx ?? ??? = k21 143c os1a rc s inlim 20 ????? kx xxxx，得 .43?k 6… .【 分析 】 （同 2022 年數(shù)學(xué)一題一（ 5），這里從略） 二、選擇題 7… .【 分析 】 （同 2022 年數(shù)學(xué)一題二（ 7），這里從略） 8… 【 分析 】 （同 2022 年數(shù)學(xué)一題二（ 8），這里從略） 9..【 詳解 】 當(dāng) x=3 時(shí)，有 322 ?? tt ，得 3,1 ??? tt （舍去，此時(shí) y 無意義），于是 81221111 ???? ?? tt t tdxdy ，可見過點(diǎn) x=3(此時(shí) y=ln2)的法線方程為： )3(82ln ???? xy ， 令 y=0, 得其與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為： 32ln81 ? , 故應(yīng) (A). 10… 【 詳解 】 由輪換對(duì)稱性，有 ????? ?dyfxf yfbxfaD )()( )()( ?dxfyf xfbyfaD?? ?? )()( )()( = ?dxfyf xfbyfayfxf yfbxfaD?? ????? ])()( )()()()( )()([21 = .224122 2 ??? babadba D ??????? ?? 應(yīng)選 (D). 11… 【 分析 】 （同 2022 年數(shù)學(xué)一題二（ 9），這里從略） 12...【 詳解 】 由于函數(shù) f(x)在 x=0,x=1 點(diǎn)處無定義，因此是間斷點(diǎn) . 且 ??? )(lim0 xfx，所以 x=0 為第二類間斷點(diǎn)； 0)(lim1 ??? xfx， 1)(lim1 ???? xfx，所以 x=1 為第一類間斷點(diǎn)，故應(yīng)選 (D). 【 評(píng)注 】 應(yīng)特別注意： ?????? 1lim1 xxx， .1lim1 ?????? x xx 從而 ?????? 11lim xxx e， .0lim 11 ???? xxx e 13… .【 分析 】 (同 2022 年數(shù)學(xué)一題二（ 11），這里從略 ) 14… 【 分析 】 (同 2022 年數(shù)學(xué)一題二（ 12），這里從略 ) 三、 解答題 15… 【 分析 】 此類未定式極限，典型方法是用洛必塔法則，但分子分母求導(dǎo)前應(yīng)先變形 . 【 詳解 】 由于 ? ?? ???? ?? 000 )())(()( x xx utx duufduufdttxf,于是 蘇潤教育考研 2022 年數(shù)學(xué)考研強(qiáng)化資料 歷年真題解析 71 ?? ????????? xx xxxxx duufxdtttfdttfxdttxfxdttftx00 00000 )()()(l i m)()()(l i m =?? ? ??? xxx xxfduufxxfxxfdttf000 )()()()()(lim = ? ??? xxx xxfduufdttf000 )())lim =)()()(lim000xfxduufxdttfxxx????= .21)0()0( )0( ?? ff f 16… .【 詳解 】 如圖，有 ? ?????? x xtt xedteexS01 )1(21)]1(21[)(， ? ?? y dtttyS12 ))((ln)( ?，由題設(shè)，得 ? ???? yx dtttxe 1 ))((l n)1(21 ?， 而 xey? ，于是 ? ???? y dtttyy1 ))((l n)1ln(21 ? 兩邊對(duì) y 求導(dǎo)得 )(ln)11(21 yyy ????， 故所求的函數(shù)關(guān)系為： .2 1ln)( yyyyx ????? 17… 【 分析 】 （同 2022 年數(shù)學(xué)一題三（ 17） ,這里從略） 18… 【 分析 】 先將 yy ??, 轉(zhuǎn)化為22,dtyddtdy ，再用二階常系數(shù)線性微分方程的方法求解即可 . 【 詳解 】 dtdytdxdtdtdyy sin1?????， )s i n1(]s i n1s i nc os[ 222 tdt ydtdtdyttdxdtdtydy ?????????， 代入原方程，得 022 ??ydtyd. 解此微分方程，得 22121 1s i nc o s xCxCtCtCy ????? ， 將初始條件 2,100 ??? ?? xx yy代入