【文章內(nèi)容簡介】 01 0 0?????? ????nnnnn ＝ 120 0 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 0 1 01 1 1????? ? ? ? ? ????nnnnn nn ＝ 2 541 1 3 1 12( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?nnn n n n nnn ＝ 222 ( 1 ) 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )??? ? ?? ? ? ? ? ?n n n nn n nnn 8 解 : 按第一行展開，? ? 10000 0 00 0 00 0 010000 0 01 0 0 0naaaaDaaa?? ? ?． 再將上式等號右邊的第二個行列式按第一列展開，則可得到 ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 2 2 2 21 1 1nnn n n n nD a a a a a a? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 三證明題 1 解： 用數(shù)學歸納法做 當 n＝ 2 時，即僅為二階行列式，取前兩行兩列構(gòu)成行列式顯然滿足結(jié)論 設(shè)對于 ? ?1n? 階行列式命 題成立，即 121 1 2 1...nnn n nD x a x a x a??? ? ?? ? ? ? ? 則 將行列式按第一列展開 ? ? ? ?1111 0 ... 0 01 ... 0 01... ... ... ... ...0 0 ... 1nn n n n nxD x D a x D ax?????? ? ? ? ? ??右 邊 2 證 : 9644129644129644129644124,3,2)3()2()1( )3()2()1()3()2()1()3()2()1(222212222222222222222?????????????? ? ? ? ? ??????????????ddddccccbbbbaaaaiccddddccccbbbbaaaai 042124212421242122 222213234??????? ? ? ? ? ? ? ? ? ???ddccbbaaccccc 3 證 : ?? TDD Dn)1(?? ，于是 0)1( ??? DD n ，當 n 為奇數(shù)時有 02 ?D ，故 0?D 4 證明 按第一列展開，得 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 01 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 020 0 0 1 2 1 0 0 0 1 2 10 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 2nD ??． 其中，等號右邊的第一個行列式是與 nD 有相同結(jié)構(gòu)但階數(shù)為 1n? 的行列式，記作1nD? ；第二個行列式，若將它按第一列展開就得到一個也與 nD 有相同結(jié)構(gòu)但階數(shù)為 2n? 的行列式，記作 2nD? ．這樣，就有遞推關(guān)系式： 122n n nD D D????． 因為已將原行列式的結(jié)果給出，我們可根據(jù)得到的遞推關(guān)系式來證明這個結(jié)果是正確的． 當 1n? 時， 1 2D? ，結(jié)論正確． 當 2n? 時，2 21 312D ??，結(jié)論正確． 設(shè)對 1kn?≤ 的情形結(jié)論正確，往證 kn? 時結(jié)論也正確． 由 ? ?122 2 1 1n n nD D D n n n??? ? ? ? ? ? ? 可知，對 n階行列式結(jié)果也成立． 根據(jù)歸納法原理，對任意的正整數(shù) n，結(jié)論成立 第三章 矩陣的運算 第一節(jié) 一． 3 3 71 3 7???????? ， 1 8 75 8 14? ? ???????? 二 ．（ 1） 2517 4???????。?2） 6 5 30 1 0422?????????（ 3） 000000000?????? （ 4） 1 11322n? ??????（ 5） 1100??????（ 6）000000nnnabc?????? 三．（ 1） 兩矩陣為同階方陣。 （ 2） AB BA? （ A 和 B 可交換） 四． ABC 和 BCA 有意義。 五． 證： 2 2 2( ) ( ) ( )A B A B A B A A B B A B? ? ? ? ? ? ? ? 因為： 22,A A B B??，所以： 2()A B A AB BA B? ? ? ? ? 若 2( ) 0A B A A B B A B A B A B B A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0AB BA AAB ABA AB BA AB BA? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 若 0AB BA??，則 2()A B A AB BA B A B? ? ? ? ? ? ? 六．解：設(shè) 30520B?????????， ? ? ? ?1260 00 35 00 42 0 , 58 00 40 00 50 0 ,AA?? ? ?3 59 00 38 00 45 0 ,A ? 則 ? ?1 3060 00 35 00 42 0 5 20 59 0020AB?????? ????， ? ?23058 00 40 00 50 0 5 20 40 0020AB?????? ????，? ?333059 00 38 00 45 0 5 20 50 0020A B A????? ? ????? 所以應(yīng)該選擇公司乙。 第二節(jié) 一．（ 1） B（ 2） D（ 3） A（ 4） C（ 5） A 二． （ 1） 1 2 0 2 2 8 63 4 0 3 4 18 101 2 1 1 0 3 10?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? （ 2） 34 4 64A A A??， 而 1 2 03 4 0 21 2 1A ? ? ??. 所以 34 4 64 12 8A A A? ? ? ? 三．解： abc????????????， ? ?2221 1 11 1 11 1 1Ta a a b a cb a b c a b b b cc a c b c c???? ? ?????? ?????? ???????? ???? ?? 所以： 2 2 2 1abc? ? ? 四．（ 1） 證： ,AB為同階對稱矩陣，所以 ： ,TTA A B B?? () T T T T TA B B A B A A B B A A B A B B A? ? ? ? ? ? ? ? 所以： AB BA? 也 是對稱矩陣。 ? ? 2 2 2 3Taa b c b a b cc??????? ? ? ? ???????（ 2） 證明：1 1 1 2 1 1 1 1 2 12 1 2 2 2 2 1 2 2 221 2 1 2nnn n n n n n n na a a a a aa a a a a aAa a a a a a?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 其主對角線上的元素為10n ik kikaa??? 又， A 是實對稱矩陣 ik kiaa? 2 2 212 0i i ina a a? ? ? ?? 12 0i i ina a a? ? ? ?? 即 0A 第三節(jié) 一 ．（ 1 ） 4231???????? （ 2 ） 9 （ 3 ） 12? （ 4 ） 8 （ 5） 3 3 11 4 0 42 5 1 3?????????? （ 6） 0 （ 7）1 0020 2 10 1 1???????????? （ 8） 1 二．（ 1） D（ 2） A（ 3） B 三．（ 1） 解： 111 1 1( 3 ) 933A A A AA? ? ? ?? ? ? 21 3 3(3 ) 1 8 ) 9 1 8 9 ( 9) ( 9) 1A A A A A A A? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 2） 解： 1 0 0 1 2 12 1 1 0 1 21 2 2 0 1 2TBB?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?， 13 8 14 12 40 1 2TTA X B X A B?? ? ?????? ? ? ????? （ 3） 解：容易證明矩陣 ,AB都可逆，所以： 11AX B C X A C B??? ? ? 11 0 0 1 0 00 5 3 0 1 30 2 1 0 2 5AA ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?， 12 3 5 33 5 3 2BB ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 111 0 0 2 3 1 0530 1 3 1 2 3 4 1 0320 2 5 1 2 7 7X A CB???? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? （ 4） 解： 11 1 111 2 1 21 1 3A A? ? ? ? 11 1 1 1 1 1 11 1 11( ) ( ) ( ) 2( ) 2 1 2 11 1 3A A A A AA?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ????????? 5115 2 1222 1 1 0 2 2 01 1 1 0 1022?? ??? ? ? ??????? ?????????????? （ 5） 解： 12 214P ??P?可逆。又 1AP PB A PB P ?? ? ? 從而得到： 1nnA PB P?? 1211 2 1 0 1 0, 111 4 0 2 0 222nnP B P B???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? 所以： 211 2 1 0 111 4 0 2 22n nA??? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ??? 112 2 2 12 2 2 1nn??????? ???? 四．（ 1） 證： 2 ()2 0 ( ) 2 2AEA A E A A E E A E?? ? ? ? ? ? ? ? 所以： A 可逆，且其逆陣為 2AE? 。 （ 2） 證： * * *nnA A A E A A A E A A A A? ? ? ? ? ? 因為 0A? ，所以： 1* nAA?? （ 3） 證明：因為矩陣 A 為非奇異矩陣，所以 11AA A A E???? 11( ) ( )T T TA A A A E??? ? ?，即： 11( ) ( )T T T TA A A A E???? 因為矩陣 A 為對稱矩陣，所以 TAA? ，則有： 11( ) ( )TTA A A A E???? 所以： 11()TAA??? ，即 1A? 也是對稱矩陣 .。 （ 4） 證：因為 1( ) ( )mmE A E A A E A?? ? ? ? ?，又因為 0m? ，所 以： 1( ) ( )mE A E A A E?? ? ? ?，顯然 EA? 可逆，且 11() mE A E A A??? ? ? ?。 （ 5） 證：有 ij ijaA? 得： * TAA? 所以： ** TTA A A A A E A A A A A E? ? ? ? ? 假設(shè) A 不可逆，則 0A? ，所以： 0TTA A AA?? 10 . 0 0 ( 1 , 2 , . . . )nTTi k i k i kkA A A A a a a i n?? ? ? ? ? ? ?? 所以 0A? ，這與題