【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 . 下面我們結(jié)合著函數(shù)左、右極限的概念再來(lái)學(xué)習(xí)一下 函數(shù)左、右連續(xù) 的概念：設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 (a,b]內(nèi)有定義，如果左極限 存在且等于 ，即： = ，那末我們就稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn) b 左連續(xù) .設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 [a,b)內(nèi)有定義，如果右極限 存在且等于 ，即：= ，那末我們就稱(chēng)函數(shù) 在點(diǎn) a右連續(xù) . 一個(gè)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間 (a,b)內(nèi)每點(diǎn)連續(xù) ,則為在 (a,b)連續(xù)，若又在 a 點(diǎn)右連續(xù)， b 點(diǎn)左連續(xù)，則在閉區(qū)間[a， b]連續(xù)，如果在整個(gè)定義域內(nèi)連續(xù)，則稱(chēng)為 連續(xù)函數(shù) 。 注： 一個(gè)函數(shù)若在定義域內(nèi)某一點(diǎn)左、右都連續(xù)，則稱(chēng)函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)，否則在此點(diǎn)不連續(xù) . 注： 連續(xù)函 數(shù)圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。 通過(guò)上面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道函數(shù)的連續(xù)性了，同時(shí)我們可以想到若函數(shù)在某一點(diǎn)要是不連續(xù)會(huì)出現(xiàn)什么情形呢？接著我們就來(lái)學(xué)習(xí)這個(gè)問(wèn)題： 函數(shù)的間斷點(diǎn) 函數(shù)的間斷點(diǎn) 定義： 我們把不滿(mǎn)足函數(shù)連續(xù)性的點(diǎn)稱(chēng)之為 間斷點(diǎn) . 它包括三種情形： a)： 在 x0無(wú)定義； b)： 在 x→x 0時(shí)無(wú)極限； 15 c)： 在 x→x0時(shí)有極限但不等于 ； 下面我們通過(guò)例題來(lái)學(xué)習(xí)一下間斷點(diǎn)的類(lèi)型： 例 1： 正切函數(shù) 在 處沒(méi)有定義，所以點(diǎn) 是函數(shù) 的間斷點(diǎn)，因，我們就稱(chēng) 為函數(shù) 的 無(wú)窮間斷點(diǎn) ； 例 2： 函數(shù) 在 點(diǎn) x=0 處沒(méi)有定義；故當(dāng) x→0 時(shí)，函數(shù)值在 1 與 +1 之間變動(dòng)無(wú)限多次，我們就稱(chēng)點(diǎn) x=0 叫做函數(shù) 的 振蕩間斷點(diǎn) ； 例 3： 函數(shù) 當(dāng) x→0 時(shí)，左極限 ，右極限 ，從這我們可以看出函數(shù)左、右極限雖然都存在，但不相等，故函數(shù)在點(diǎn) x=0 是不存在極限。我們還可以發(fā)現(xiàn)在點(diǎn) x=0 時(shí)，函數(shù)值產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，為此我們把這種間斷點(diǎn)稱(chēng)為 跳躍間斷點(diǎn) ；我們把上述三種間斷點(diǎn)用幾何圖形表示出來(lái)如下 : 可去間斷點(diǎn) 若 x0是函數(shù) 的間斷點(diǎn)，但極限 存在，那末 x0是函數(shù) 的第一類(lèi)間斷點(diǎn)。 此時(shí)函數(shù)不連續(xù)原因是： 不存在或者是存在但 ≠ 。我們令 ，則可使函數(shù) 在點(diǎn) x0處連續(xù)，故這種間斷點(diǎn) x0稱(chēng)為 可去間斷點(diǎn) 。 間斷點(diǎn)的分類(lèi) 我們通常把間斷點(diǎn)分成兩類(lèi)：如果 x0是函數(shù) 的間斷點(diǎn)，且其左、右極限都存在，我們把 x0稱(chēng)為 16 函數(shù) 的 第一類(lèi)間斷點(diǎn) ；不是第一類(lèi)間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，稱(chēng)為 第二類(lèi)間斷點(diǎn) . 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及初等函數(shù)的連續(xù)性 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù)的和、積、商的連續(xù)性 我們通過(guò)函數(shù)在某點(diǎn) 連續(xù)的定義和極限的四則運(yùn)算法則，可得出以下結(jié)論： a)：有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的和是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)； b)：有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的乘積是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)； c)：兩個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的商是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù) (分母在該點(diǎn)不為零 )； 反函數(shù)的連續(xù)性 若函數(shù) 在某區(qū)間上單調(diào)增 (或單調(diào)減 )且連續(xù)，那末它的反函數(shù) 也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上單調(diào)增 (單調(diào)減 )且連續(xù) 例： 函數(shù) 在閉區(qū)間 上單 調(diào)增且連續(xù)，故它的反函數(shù) 在閉區(qū)間 [1,1]上也是單調(diào)增且連續(xù)的 。 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 設(shè)函數(shù) 當(dāng) x→x 0時(shí)的極限存在且等于 a，即： .而函數(shù) 在點(diǎn) u=a連續(xù)，那末復(fù)合函數(shù) 當(dāng) x→x 0時(shí)的 極限也存在 且等于 .即： 例題： 求 解答： 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) x=x0連續(xù)，且 ，而函數(shù) 在點(diǎn) u=u0連續(xù)，那末復(fù)合函數(shù)在點(diǎn) x=x0也是連續(xù) 的 初等函數(shù)的連續(xù)性 通過(guò)前面我們所學(xué)的概念和性質(zhì)，我們可得出以下結(jié)論 ： 基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的；一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)也 都是連續(xù)的 . 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)則是在其連續(xù)區(qū)間的左端點(diǎn)右連續(xù)，右端點(diǎn)左連續(xù) .對(duì)于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有幾條重要的性質(zhì)，下面我們來(lái)學(xué)習(xí)一下： 17 最大值最小值定理 ： 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值 。 (在此不作證明 ) 例： 函數(shù) y=sinx 在閉區(qū)間 [0， 2π] 上連續(xù)，則在點(diǎn) x=π/2 處，它的函數(shù)值為 1，且大于閉區(qū)間 [0， 2π]上其它各點(diǎn)出的函數(shù)值；則在點(diǎn) x=3π/2 處，它的函數(shù)值為 1，且小于閉區(qū)間 [0， 2π] 上其它各點(diǎn)出的函數(shù)值 。 介值定理 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定取得介 于區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值間的任何值。即： ， μ 在 α 、 β 之間，則在 [a， b]間一定有一個(gè) ξ ，使 推論： 在閉區(qū)間連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值最小值之間的任何值。 二、導(dǎo)數(shù)與微分 導(dǎo)數(shù)的概念 導(dǎo)數(shù)的定義 ： 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) x0的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量 x 在 x0處有增量 △x(x+△x 也在該鄰域內(nèi) )時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量 ，若 △y 與 △x 之比當(dāng) △x→0 時(shí)極限存在，則稱(chēng)這個(gè)極限值為 在 x0處的 導(dǎo)數(shù) 。 函數(shù) 在點(diǎn) x0處存 在導(dǎo)數(shù)簡(jiǎn)稱(chēng)函數(shù) 在點(diǎn) x0處 可導(dǎo) ，否則不可導(dǎo)。若函數(shù) 在區(qū)間 (a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，就稱(chēng)函數(shù) 在區(qū)間 (a,b)內(nèi)可導(dǎo)。這時(shí)函數(shù) 對(duì)于區(qū)間 (a,b)內(nèi)的每一個(gè)確定的 x 值，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)，這就構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們就稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為原來(lái)函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)。 注 ： 導(dǎo)數(shù)也就是差商的極限 左、右導(dǎo)數(shù) 前面我們有了左、右極限的概念，導(dǎo)數(shù)是差商的極限，因此我們可以給出左、右導(dǎo)數(shù)的概念。若極限存在，我們就稱(chēng)它為函數(shù) 在 x=x0處的 左導(dǎo)數(shù) 。若極限 存在，我們就稱(chēng)它為函數(shù) 在 x=x0處的 右導(dǎo)數(shù) 。 注： 函數(shù) 在 x0處的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是函數(shù) 在 x0處的可導(dǎo)的充分必要條件 函數(shù)的和、差求導(dǎo)法則 函數(shù)的和差求導(dǎo)法則 法則： 兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的和 (差 )的導(dǎo)數(shù)等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和 (差 ).用公式可寫(xiě)為：。其中 u、 v 為可導(dǎo)函數(shù)。 18 函數(shù)的積商求導(dǎo)法則 常數(shù)與函數(shù)的積的求導(dǎo)法則 法則： 在求一個(gè)常數(shù)與一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)時(shí)，常數(shù)因子可以提到求導(dǎo)記號(hào)外面去。用公式可寫(xiě)成： 函數(shù)的積的求導(dǎo)法則 法則： 函數(shù)的商的求導(dǎo)法則 法則： 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則 規(guī)則： 兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘上中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)。 用公式表示為： ，其中 u 為中間變量 反函數(shù)求導(dǎo)法則 根據(jù)反函數(shù)的定義，函數(shù) 為單調(diào)連續(xù)函數(shù)，則它的反函數(shù) ,它也是單調(diào)連續(xù)的 .為此我們 可給出反函數(shù)的求導(dǎo)法則，如下 (我們以定理的形式給出 )： 定理： 若 是單調(diào)連續(xù)的，且 ，則它的反函數(shù) 在點(diǎn) x 可導(dǎo)，且有： 注： 通過(guò)此定理我們可以發(fā)現(xiàn)：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于 原函數(shù)導(dǎo)數(shù) 的 倒數(shù) 。 注： 這里的反函數(shù)是以 y 為自變量的，我們沒(méi)有對(duì)它作記號(hào)變換。 即： 是對(duì) y 求導(dǎo)， 是對(duì) x 求導(dǎo) 例題： 求 的導(dǎo)數(shù) . 解答： 此函數(shù)的反函數(shù)為 ，故 則： 19 例題： 求 的導(dǎo)數(shù) . 解答： 此函數(shù)的反函數(shù)為 ，故 則： 高階導(dǎo)數(shù) 定義 ：函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) 仍然是 x 的函數(shù) .我們把 的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的 二階導(dǎo)數(shù) ，記作 或 ，即： 或 .相應(yīng)地，把的導(dǎo)數(shù) 叫做函數(shù) 的 一階導(dǎo)數(shù) .類(lèi)似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做 三階導(dǎo)數(shù) ，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo) 數(shù)，叫做 四階導(dǎo)數(shù) ， … ，一般地 (n1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做 n 階導(dǎo)數(shù) . 分別記作： ， ， … ， 或 ， ， … ， 二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng) 高階導(dǎo)數(shù) 。由此可見(jiàn)，求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連地求導(dǎo)，所以，在求高階導(dǎo)數(shù)時(shí)可運(yùn)用前面所學(xué)的求導(dǎo)方法。 例題： 求對(duì)數(shù)函數(shù) 的 n 階導(dǎo)數(shù)。 解答： ， ， ， ， 一般地，可得 隱函數(shù)及其求導(dǎo)法則 我們知道用解析法表示函數(shù)，可以有不同的形式 .若函數(shù) y 可以用含自變量 x 的算式表示，像 y=sinx，y=1+3x 等，這樣的函數(shù)叫 顯函數(shù) .前面我們所遇到的函數(shù)大多都是顯函數(shù) . 一般地，如果方程 F(x,y)=0 中，令 x 在某一區(qū)間內(nèi)任取一值時(shí)，相應(yīng)地總有滿(mǎn)足此方程的 y 值存在，則我們就說(shuō)方程 F(x,y)=0 在該區(qū)間上確定了 x 的 隱函數(shù) ，叫做 隱函數(shù)的顯化 。 隱函數(shù)的求導(dǎo) 若已知 F(x,y)=0，求 時(shí)，一般按下列步驟進(jìn)行求解： 20 a)：若方程 F(x,y)=0，能化為 的形式，則用前面我們所學(xué)的方法進(jìn)行求導(dǎo)； b)：若方程 F(x,y)=0，不能化為 的形式，則是方程兩邊對(duì) x進(jìn)行求導(dǎo)，并把y看成 x的函數(shù) ，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行。 例題： 求隱函數(shù) ，在 x=0 處的導(dǎo)數(shù) 解答： 兩邊對(duì) x 求導(dǎo) ， 故 ， 當(dāng) x=0 時(shí)， y=。 有些函數(shù)在求導(dǎo)數(shù)時(shí)，若對(duì)其直接求導(dǎo)有時(shí)很不方便，像對(duì)某些冪函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)時(shí)，有沒(méi)有一種比較直觀的方法呢？下面我們?cè)賮?lái)學(xué)習(xí)一種求導(dǎo)的方法： 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 對(duì)數(shù)求導(dǎo)的法則 ： 根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)的方法，對(duì) 某一函數(shù)先取函數(shù)的自然對(duì)數(shù)，然后在求導(dǎo)。 注： 此方法特別適用于冪函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題。 例題： 已知 x＞ 0，求 此題若對(duì)其直接求導(dǎo)比較麻煩，我們可以先對(duì)其兩邊取自然對(duì)數(shù)，然后再把它看成隱函數(shù)進(jìn)行求 導(dǎo)，就比較簡(jiǎn)便些。如下 解答： 先兩邊取對(duì)數(shù)： ， 把其看成隱函數(shù)，再兩邊求導(dǎo) 因?yàn)?，所以 例題： 已知 ，求 此題可用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)，但是比較麻煩，下面我們利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法進(jìn)行求導(dǎo) 解答： 先兩邊取對(duì)數(shù) 再兩邊求導(dǎo) 21 因?yàn)?，所以 函數(shù)的微分 函數(shù)微分的定義 ： 設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義， x0 及 x0+△x 在這區(qū)間內(nèi)，若函數(shù)的增量可表示為，其中 A 是不依賴(lài)于 △x 的常數(shù)， 是 △x 的高階無(wú)窮小，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn) x0可微的 。 叫做函數(shù) 在點(diǎn) x0相應(yīng)于自變量增量 △x 的 微分 ，記作 dy，即： = 。