62一元方程的不動點迭代法(編輯修改稿)
2024-11-17 16:31 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ** )( xxx ?? ?收斂的。）是局部，則稱迭代法（且收斂到）生成的序列滿足），有迭代法（，（使得對任何初值),(,0],[),(***0***xxsxxsxxxxsk????????????第六章非線性方程組的迭代解法 定理 的某個鄰域在的一個不動點，是設(shè) ** )(39。)( xxxx ??）局部收斂。則迭代法（上連續(xù)，并且有 ,1)(39。 * ?x?證 所以存在處連續(xù)，且在因為 ,1)(39。)(39。 ** ?xxx ??并且有在其上的一個閉鄰域 ,1)(39。],[ *** ???? Lxxxx ???,)()()( ** ???? ?????? xxLxxxx? ?收斂。定理得證。）迭代法（，對任意根據(jù)定理。，有即對一切],[],[],[**0****????????????????xxxxxxxxx上述定理稱為局部收斂定理，它給出了局部收斂的一個 第六章非線性方程組的迭代解法 充分條件。當?shù)諗繒r，收斂的快慢用下述收斂階段來衡量。 ? ? 。若存記誤差收斂到設(shè)序列 ** , xxexx kkk ??定義 ，使得和在實數(shù) 01 ?? cpcee pkkk ????1lim （ ） ? ?方收斂。時，稱為平當時，稱為超線性收斂。斂。當時，稱為線性收階收斂的，當是則稱序列211???ppppx k階無窮小量的是時，）表明，當式（ peek kk ???。）中的常數(shù)滿足（是線性收斂的，越大，收斂越快。如果因此，階數(shù) ?? cp則滿足即中，還有如果在定理 ,1)(39。0)(39。,0)(39。 *** ??? xxx ???第六章非線性方程組的迭代解法 對 ，必有 ,k=1,2,… ，而且 *0 xx ? *xxk ?kkkkk exxxxe )()()( 39。**11 ???? ????? ??其中在 與 之間。于是 k? *x。0)()(limlim *39。39。1 ????????xee kkkkk??? 從而，在這種情況下， {x k }是線性收斂的。可見，提高收斂階的一個途徑是選擇迭代函數(shù) ，使它足 。下面給出整數(shù)階超線形收斂的一個充分條件。 )(x? 0)( *39。 ?x? 定理 設(shè) 是 的一個不動點，若有正整數(shù) p 2,使得 在 的領(lǐng)域上連續(xù)，并且滿足 *x )(x?)(xp? *x?,0*)(,0)()()( )(*)1(*39。39。*39。 ????? ? xxxx pp ???? ?第六章非線性方程組的迭代解法 則由迭代法生成的序列在的領(lǐng)域是 p階收斂的，且有 !)( *)(1l i mpxee pkkk?????證 因 ，由定理 ()是局部收斂的。取充分接近 的 , 設(shè) 有 ， k=1,2,… 。由 Taylor展開式有 0)( *39。 ?x?*x0x *0 xx ? *xxk ?,)(!)()()!1()())(()()(*)(1**1**39。*1pkkppkpkkkxxpxxpxxxxxxx??????????????????? ?其中 在 與 之間。由 ()有 kxk?*x第六章非線性方程組的迭代解法 ).(!( *1))(*1 xxpxx kkpk ??? ??
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