[理學(xué)]taylor泰勒(編輯修改稿)
2025-01-04 00:46 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 如 , 3 2xy ?2) 如果函數(shù)在某駐點兩邊導(dǎo)數(shù)同號 , 則不改變函數(shù)的單調(diào)性 . 例如 , yo x3xy ?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 . 證明 時 , 成立不等式 證 : 令 ,2si n)( ??? x xxf2s i nc o s)(xxxxxf ???? )t a n(c o2 xxxx ??1xtanx0?從而 因此 且 證 證明 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 函數(shù)的極值 定義 在其中當(dāng) 時 , (1) 則稱 為 的 極大點 , 稱 為函數(shù)的 極大值 。 (2) 則稱 為 的 極小點 , 稱 為函數(shù)的 極小值 . 極大點與極小點統(tǒng)稱為 極值點 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注意 : 3x1x 4x2x 5xxa boy41, xx 為極大點 52 , xx 為極小點 3x 不是極值點 2) 對常見函數(shù) , 極值可能出現(xiàn)在 導(dǎo)數(shù)為 0 或 不存在的點 . 1) 函數(shù)的極值是函數(shù)的 局部性質(zhì) . 31292)( 23 ???? xxxxf例如 為極大點 , 是極大值 是極小值 為極小點 , 12xoy1 2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理 (極值第一判別法 ) ,)( 0 的某鄰域內(nèi)連續(xù)在設(shè)函數(shù) xxf 且在空心鄰域 內(nèi)有導(dǎo)數(shù) , ,0 時由小到大通過當(dāng) xx(1) )(xf? “左 正 右 負 ” , 。)( 0 取極小值在則 xxf(2) )(xf? “左 負 右 正 ” , .)( 0 取極大值在則 xxf(自證 ) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 點擊圖中任意處動畫播放 \暫停 例 4. 的極值 . 解 : 1) 求導(dǎo)數(shù) ??? 32)( xxf 3132)1( ??? xx 3 5235 xx???2) 求極值可疑點 令 ,0)( ?? xf 得 。521 ?x 令 ,)( ??? xf 得 02 ?x3) 列表判別 x)(xf?)(xf? 0520? ? ?0 ?)0,(?? ),0( 52 ),( 52 ??是極大點， 其極大值為 是極小點， 其極小值為 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理 (極值第二判別法 ) 二階導(dǎo)數(shù) , 且 則 在點 取極大值 。 則 在點 取極小值 . ??證 : (1) )( 0xf ??00 )()(lim0 xxxfxfxx ?????? 0)(l i m0 xxxfxx ????,0)( 0 知由 ??? xf 存在 ,0?? ,0 0 時當(dāng) ???? xx時，故當(dāng) 00 xxx ??? ? 。0)( ?? xf時，當(dāng) ???? 00 xxx ,0)( ?? xf0x 0x ???0x ?? ?由第一判別法知 .)( 0 取極大值在 xxf(2) 類似可證 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 求函數(shù) 的極值 . 解 : 1) 求導(dǎo)數(shù) ,)1(6)( 22 ??? xxxf )15)(1(6)( 22 ????? xxxf2) 求駐點 令 ,0)( ?? xf 得駐點 1,0,1 321 ???? xxx3) 判別 因 ,06)0( ????f 故 為極小值 。 又 ,0)1()1( ??????? ff 故需用第一判別法判別 . 1 xy1?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 AB定義 . 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 I 上連續(xù) , (1) 若恒有 則稱 圖形是 凹 的 。 (2) 若恒有 則稱 連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點 稱為 拐點 . 圖形是 凸 的 . yox2x1x2 21xx ?yox1x2 21xx ?2xyox 函數(shù)曲線的凸性與拐點 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理 . (1) 在 I 內(nèi) 則 在 I 內(nèi)圖形是凹的 。 (2) 在 I 內(nèi) 則 在 I 內(nèi)圖形是凸的 . ??證 : 利用一階泰勒公式可得 )()( 1 fxf ?221 xx ?!2)( 1?f ???21 )( ?x221 xx ?)()( 2 fxf ?221 xx ? )(f ??221 xx ? )( 2 ?x221 xx ?!2)( 2?f ???22 )( ?x221 xx ?兩
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