洛必達(dá)法則泰勒公式(編輯修改稿)
2024-08-20 23:08 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 60。；(或)；(或)；(或) ．最后我們指出，洛必達(dá)法則是求未定式極限的一種方法．當(dāng)定理的條件滿足時(shí)，所求的極限當(dāng)然存在(或?yàn)?，但當(dāng)定理的條件不滿足時(shí)，所求極限不一定不存在．也就是說，當(dāng)不存在時(shí)(無窮大的情況除外)，仍可能存在,見下面的例題．例12求.解這是一個(gè)型未定式，我們有．由于上式右端極限不存在，所以未定式的極限不能用洛必達(dá)法則去求，但不能據(jù)此斷定極限不存在．這時(shí)我們需要另辟新徑，重新考慮這個(gè)極限．．由此可見極限是存在的．二、泰勒公式把一個(gè)復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單的問題去研究是我們研究復(fù)雜問題時(shí)經(jīng)常采用的方法，那么對(duì)于一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)，為了便于研究，我們也希望用一些簡(jiǎn)單的函數(shù)來近似表達(dá)．說到簡(jiǎn)單函數(shù)，我們想到了用多項(xiàng)式表示的函數(shù)，它的運(yùn)算非常簡(jiǎn)單．那么是否任意一個(gè)函數(shù)都可以用多項(xiàng)式去近似表達(dá)呢？關(guān)于這個(gè)問題我們?cè)?jīng)在微分近似計(jì)算中討論過．設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且，則在該鄰域內(nèi)．用上述的一次多項(xiàng)式去近似表達(dá)函數(shù)存在兩點(diǎn)不足：(1) 精確度不高，它所產(chǎn)生的誤差僅是比高階的無窮??；(2) 用它做近似計(jì)算時(shí)，不能具體估算出誤差大小．因此，在一些精度要求較高且要求估計(jì)誤差的問題中，上述近似表達(dá)是滿足不了要求的．這時(shí)我們就想，是否可以找到一個(gè)關(guān)于的更高次多項(xiàng)式去近似地表達(dá)函數(shù)，從而使誤差變得更小呢？這就是下面我們要解決的問題．設(shè)函數(shù)在含有的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù)，并設(shè)用于近似表達(dá)函數(shù)的多項(xiàng)式為. (1)既然我們要用去近似地表達(dá)，自然要求在處的函數(shù)值及它的直到階的導(dǎo)數(shù)在處的值依次與，相等，即，… ，．這樣我們就得到了如下個(gè)等式，,…,，即，，…,．將所求得的多項(xiàng)式的系數(shù)，,…,代入(1)式，得.(2)下面的泰勒(Ｔaylor)中值定理告訴我們，多項(xiàng)式(2)就是我們要找的多項(xiàng)式，并且用它去近似表達(dá)函數(shù)f(x),其誤差的確變小了．泰勒中值定理若函數(shù)f(x)在含有x的某個(gè)開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到(n+1)階的導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任意x,有f(x)=.(3)其中，1
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