帶有不同余項泰勒公式的應(yīng)用畢業(yè)論(編輯修改稿)
2025-07-11 20:39 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 頁 共 10 頁 小結(jié)： 在高階倒數(shù)的求解中能更加直接的借助 Taylor 公式的特殊形式更快更直接的對其進行展開，再對展開的各項進行最基本的導數(shù)求解使計算更加的簡潔方便 . 判斷斂散性 例 3[4] 討論級數(shù)11[ ln [1 ] ]npne n????? ， 0p? 的斂散性 . 解： 11l n [1 ] e x p [ l n [1 ] ]ne e nnn? ? ? ? ? 221 1 1e x p [ [ ( ) ] ]2en n n n?? ? ? ? 11[1 e x p [ ( )]]2e n?? ? ? ? 11[1 [1 ( ) ] ]22ee nn?? ? ? ? ， n?? 于是當 1p? 時，級數(shù)11[ ln[1 ] ]npn e n?? ???收斂，當 01p??時，級數(shù)發(fā)散 . 例 5 討論無窮積分 1 1( 1)xa e dxx?? ??? 的斂散性 . 解： 1221 1 1 1 1 1( ) 1 1 ( ) 12xf x e x x x x x?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 221 1 1()2 xx?? ? ? 選取211pxx?，因為 2221 1 1()( ) 12l im l im1 2pxxfx xxxx?? ? ? ?????，而 21p??， 由無窮積分的斂散性判別定理知 1 1( 1)xa e dxx?? ??? 收斂 . 對于 Taylor 公式在判斷數(shù)學積分問題中收斂性起到的作用通過以上例子有了具體的說明 .數(shù)學中的斂散性根據(jù)不同的積分形式有不同的方法判斷，而 Taylor 公式在很多的積分都有其運用其主要原因就是其能使得式子在經(jīng)過展開后變成簡單的式子更加直觀方便的計算 . 證明中值定理 [5] 陜西理工學院畢業(yè)論文 第 5 頁 共 10 頁 例 6 設(shè)函數(shù) ()fx在 [, ]ab 上三階可導 .證明存在一點 ( , )c a b? ，使得39。 39。39。39。1( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2abf b f a b a f f c?? ? ? ?（ 1） 證明：設(shè)存在一個常數(shù) k ，使得 39。31( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 02 1 2abf b f a b a f k b a?? ? ? ? ? ?（ 2） 這時，我們的問題歸為證明： ( , )c a b?? ，使得 39。39。39。()k f c? （ 3） 令 39。31( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2axg x f x f a x a f k x a?? ? ? ? ? ? （ 4） 則 ( ) ( ) 0g a g b??. 根據(jù) Rolle 定理可知，至少存在一點 ( , )ab?? ，使得 39。( ) 0g ? ? .即39。 39。 211( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 02 2 2 4aaf f a f k x a??????? ? ? ? ? ? （ 5） 這是關(guān)于 k的方程，注意到 39。()f ? 在點 2a?? 處的泰勒公式： 39。 39。 39。39。39。 21( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2a a a af f f f c? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?（ 6） 其中 ( , )c a b? .比較（ 5）（ 6）可得到（ 3）式 .即得證 小結(jié)：本題是對帶有拉格朗日型余項的泰勒公式的應(yīng)用，其中還應(yīng)用到了中值定理。 利用 Taylor 證明不等式 證明積分不等式 [6] 例 設(shè) ()fx是 [0, ]a 上的連續(xù)正值函數(shù)，且 ( ) 0fx? ， 0a? ，證：
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